Вывод уравнения 7.12 в обзорной статье Крауса

Question

Вывод уравнения 7.12 в обзорной статье Крауса

реклама-cft
Физика
перенормировка
голографический принцип
конформная теория поля

Сатоши Навата

Читаю "Лекции о черных дырах и $AdS_3/CFT_2$ переписка» Крауса.

Я не знаю, как можно получить уравнение 7.12. Мой глупый вопрос, как получить это уравнение. После этого уравнения утверждается, что «необходимо позаботиться о том, чтобы рассматривать только варианты, согласующиеся с уравнениями движения и предполагаемыми граничными условиями». Какие вариации согласуются с уравнениями движения и принятыми граничными условиями? Красу говорит следующее.

Чтобы вычислить объемный функциональный интеграл, нам необходимо оценить объемное действие для решений, которые вносят вклад, включая, при необходимости, граничные контрчлены. Для встроенного решения вокруг $AdS_{3}$ вакууме, можно оценить действие на $AdS_3$ вакуум с помощью вариации действия по граничной метрике $g^{(0)}$ и калибровочные поля $A^{(0)}, \tilde A^{(0)}$

дельта С "=" \int г^{2} Икс \sqrt{г} [\frac{1}{2} Т^{я Дж} дельта г_{я Дж} + \frac{я}{2 π} {Дж}^{я} дельта А_{я} + \frac{я}{2 π} {\tilde{Дж}}^{я} дельта {\tilde{А}}_{я}] .

$\begin{equation} \delta S= \int d^2x \sqrt{g}\,\left[ \frac12 T^{ij} \delta g_{ij}+\frac{i}{2\pi} J^{i} \delta A_{i} +\frac{i}{2\pi}\tilde J^{i} \delta \tilde A_{i} \right]~. \end{equation}$ где верхний индекс

(0)

$(0)$ опущен для краткости. Выражая это в комплексных координатах граничной метрики, получаем:

дельта С "=" 4 π я (Т_{ж ж} дельта т + Т_{\bar{ж} \bar{ж}} дельта \bar{т} + \frac{т_{2}}{π} {Дж}_{ж} дельта А_{\bar{ж}} + \frac{т_{2}}{π} {\tilde{Дж}}_{\bar{ж}} дельта {\tilde{А}}_{ж}) .

$\begin{equation} \delta S=4\pi i \left(T_{ww}\delta \tau+T_{\bar w\bar w}\delta \bar\tau +\frac{\tau_2}{\pi} J_{w}\delta A_{\bar w}+\frac{\tau_2}{\pi} \tilde J_{\bar w}\delta \tilde A_{w}\right)~. \end{equation}$

Можно проинтегрировать приведенное выше уравнение, чтобы получить:

\begin{array}{rcl} С (т) & "=" & - 2 π я т (л_{0} - \frac{с}{24}) + 2 π я \bar{т} ({\tilde{л}}_{0} - \frac{\tilde{с}}{24}) \\ - \frac{я π}{2} к (т А_{ж}^{2} + \bar{т} А_{\bar{ж}}^{2} + 2 \bar{т} А_{ж} А_{\bar{ж}}) + \frac{я π}{2} \tilde{к} (т {\tilde{А}}_{ж}^{2} + \bar{т} {\tilde{А}}_{\bar{ж}}^{2} + 2 т {\tilde{А}}_{ж} {\tilde{А}}_{\bar{ж}}) . \end{array}

$\begin{eqnarray} \mathcal{S}(\tau) & = & - 2 \pi i \tau \big(L_{0} - \frac{c}{24} \big) + 2 \pi i \bar\tau \big(\tilde L_{0} - \frac{\tilde c}{24} \big) \cr && \; - \frac{i\pi}{2} k \big( \tau A_{w}^{2} + \bar \tau A_{\bar w}^{2} + 2 \bar \tau A_{w} A_{\bar w} \big) + \frac{i\pi}{2} \tilde k \big( \tau \tilde A_{w}^{2} + \bar\tau \tilde A_{\bar w}^{2} + 2 \tau \tilde A_{w} \tilde A_{\bar w} \big) \, . \end{eqnarray}$

Я хотел бы знать вывод последнего уравнения.

кубайт

Джон ответил на ваш вопрос? Если это так, пожалуйста, пометьте это как правильное. Если вы получили больше информации от авторов, рассмотрите возможность добавления деталей к вопросу или предоставления собственного ответа на основе вашей переписки.

Ответы (1)

Вывод уравнения 7.12 в обзорной статье Крауса

Джон ответил на ваш вопрос? Если это так, пожалуйста, пометьте это как правильное. Если вы получили больше информации от авторов, рассмотрите возможность добавления деталей к вопросу или предоставления собственного ответа на основе вашей переписки.

Джон · Answer 1

Ответ довольно прост! Вы должны использовать уравнения (6.8) в статье. Вы помещаете их в последний член уравнения (7.11), тогда прямое интегрирование, я имею в виду что-то вроде $\delta\tau\rightarrow\tau$ , $\delta A_{\bar w}\rightarrow A_{\bar w}$ и так далее, должны сделать работу.

Итак, давайте посчитаем (обратите внимание, что в вашем посте неверный знак)

дельта С "=" (2 π)^{2} я {(- Т_{ж ж} дельта т + Т_{\bar{ж} \bar{ж}} дельта \bar{т} + \frac{т_{2}}{π} {Дж}_{ж}^{я} дельта А_{я \bar{ж}} + \frac{т_{2}}{π} {\tilde{Дж}}_{\bar{ж}}^{я} дельта {\tilde{А}}_{я ж})}_{с о н с т а н т} .

$\delta S=(2\pi)^2 i \left(-T_{ww}\delta \tau+T_{\bar w\bar w}\delta \bar\tau +\frac{\tau_2}{\pi} J_{w}^I\delta A_{I\bar w}+\frac{\tau_2}{\pi} \tilde J_{\bar w}^I\delta \tilde A_{Iw}\right)_{constant}~.$

(здесь «постоянная» означает, что сохраняется только нулевая мода) и соответствующие уравнения (6.8) в обзоре Крауса

\begin{aligned} Т_{ж ж} & "=" - \frac{к}{8 π} + \frac{1}{8 π} А_{ж}^{2} + \frac{1}{8 π} {\tilde{А}}_{ж}^{2}, \\ Т_{\bar{ж} \bar{ж}} & "=" - \frac{\tilde{к}}{8 π} + \frac{1}{8 π} А_{\bar{ж}}^{2} + \frac{1}{8 π} {\tilde{А}}_{\bar{ж}}^{2}, \\ {Дж}_{ж}^{я} & "=" \frac{я}{2} к^{я Дж} А_{Дж ж}, \\ {\tilde{Дж}}_{\bar{ж}}^{я} & "=" \frac{я}{2} {\tilde{к}}^{я Дж} {\tilde{А}}_{Дж \bar{ж}} . \end{aligned}

$\eqalign{ T_{ww}&=-{k \over 8\pi} +{1 \over 8\pi} A_w^2+{1 \over 8\pi} {\tilde A}_w^2~, \cr T_{{\bar w}{\bar w}}&= -{{\tilde k} \over 8\pi} +{1 \over 8\pi}A_{{\bar w}}^2+{1 \over 8\pi}{\tilde A}_{{\bar w}}^2~, \cr J^I_w &= {i\over 2} k^{IJ} A_{Jw}~, \cr {\tilde J}^I_{{\bar w}}& = {i\over 2} {\tilde k}^{IJ} {\tilde A}_{J{\bar w}}~.}$

По замене есть

дельта С "=" (2 π)^{2} я [- (- \frac{к}{8 π} + \frac{1}{8 π} А_{ж}^{2} + \frac{1}{8 π} {\tilde{А}}_{ж}^{2}) дельта т + (- \frac{\tilde{к}}{8 π} + \frac{1}{8 π} А_{\bar{ж}}^{2} + \frac{1}{8 π} {\tilde{А}}_{\bar{ж}}^{2}) дельта \bar{т}

$\delta S = (2\pi)^2 i\left[-\left(-{k \over 8\pi} +{1 \over 8\pi} A_w^2+{1 \over 8\pi} {\tilde A}_w^2~\right)\delta\tau+\left(-{{\tilde k} \over 8\pi} +{1 \over 8\pi}A_{{\bar w}}^2+{1 \over 8\pi}{\tilde A}_{{\bar w}}^2~\right)\delta{\bar\tau}\right.$

{+ \frac{я т_{2}}{2 π} к^{я Дж} А_{Дж ж} дельта А_{я \bar{ж}} + \frac{я т_{2}}{2 π} {\tilde{к}}^{я Дж} {\tilde{А}}_{Дж \bar{ж}} дельта {\tilde{А}}_{я ж}]}_{с о н с т а н т} .

$\left.+\frac{i\tau_2}{2\pi}k^{IJ} A_{Jw}\delta A_{I\bar w}+\frac{i\tau_2}{2\pi}{\tilde k}^{IJ}{\tilde A}_{J{\bar w}}\delta \tilde A_{Iw}\right]_{constant}.$

Из этого вы немедленно получаете результат, когда замечаете, что вариация по отношению к калибровочному полю просто компенсирует $\tau_1$ вклад, наличие ${\bar\tau}-\tau$ это происходит из квадратов членов и восстанавливается после интегрирования.

Чем бы вы заменили тензоры энергии-импульса? $T_{ww}, T_{\bar w \bar w}$ и токи $J_w, \tilde J_{\bar w}$ ?
Я думал, что подключение 6.8 к 7.11 даст нам 7.12. Но это не так. Как бы вы объяснили относительный знак между $A^2_w$ и $\widetilde A^2_w$ ? Почему нет такого термина, как $\tau A_wA_{\bar w}$ хотя у тебя есть $\tau_2$ в 7.11? –
Я только что расширил вычисления в своем предыдущем ответе.
Большое спасибо. Но не могли бы вы более подробно объяснить, как вы получаете из последнего уравнения, которое вы написали, 7.12 в статье? Я получил последнее уравнение, которое вы написали, прежде чем опубликовать этот вопрос на веб-сайте. Я хотел бы знать разрыв между этим уравнением и 7.12. Прошу прощения за глупый вопрос, но я все равно не понимаю.
Вопрос в том, что уравнение (7.11) было бы правильным, если бы вместо $\tau_2$ ты положишь $\tau$ и $\bar\tau$ соответственно в текущих условиях. Кроме того, Краус ссылается на несуществующую сек. 4.4. Я боюсь, что этот обзор должен иметь некоторые проблемы в презентации.
Как бы вы объяснили относительный знак между $A_w^2$ и $\tilde A_w^2$ даже если вы замените $\tau$ и $\bar\tau$ соответственно, как вы упомянули. Раздел 4.4 должен быть разделом 6.4, поскольку этот обзорный документ во многом зависит от документа. Крауса и Ларсена. Значит, вы не можете воспроизвести 7.12, не так ли?
Если вы имеете в виду в текущих терминах, эта разница знаков должна возникать из-за $k$ и $\tilde k$ факторы.
В любом случае, не могли бы вы написать, как вы воспроизводите 7.12?
Если я посмотрю на уравнение (4.14) в статье Крауса и Ларсена, мое подозрение в том, что они допустили ошибку, усилится. На данный момент лучшим решением будет связаться с ними.

Вывод уравнения 7.12 в обзорной статье Крауса

Сатоши Навата

кубайт

Ответы (1)

Джон

Сатоши Навата

Джон

Сатоши Навата

Джон

Сатоши Навата

Джон

Сатоши Навата

Джон

Сатоши Навата

Джон

Голографическая перенормировка в не-AdS/не-CFT

Почему важна модель модели Сачдева-Е-Китаева (SYK)?

О c-теореме

Проблемы с пространством де Ситтера и конформной теорией поля

Начисленные наблюдения CFT и AdS/CFT

Почему голографическая перенормировка?

Связь между CS/WZW и AdS/CFT

Объемные границы в AdS/CFT

Критическая 2d модель Изинга

Что в AdS/CFT находится на стороне AdS, супергравитации или теории струн?