Почему голографическая перенормировка?

Тот факт, что граничная теория является конформной, означает, что перенормировка не приводит к запуску связи. Однако существуют расходимости, которые необходимо регуляризовать и перенормировать. Регуляризация требует введения произвольного масштаба, который не является инвариантным по Вейлю и приводит к конформной аномалии (в четных измерениях).

Соответственно, и объемную теорию необходимо регуляризовать, введя обрезание$\epsilon$по радиальной координате. Поля супергравитации должны быть расширены близко к горизонту и должны быть введены локальные контрчлены, чтобы вычесть расхождения при взятии предела$\epsilon\to 0$. Для метрики процедура регуляризации требует выбора эталонной метрики$g_{(0)}$из конформной структуры на границе. Для$d$(граничная размерность) зависимость контрчлена от выбранной эталонной метрики приводит к перенормированному лагранжиану, не являющемуся инвариантом Вейля. Один улавливает именно ожидаемую аномалию Вейля.

Это очень хороший пример соединения граничной УФ-физики (отсечение) и объемной ИК-физики (расхождения вблизи границы), которые приводят к одной и той же аномалии Вейля.

Подробности см. в статье Хеннингсона и Скендериса. Есть еще очень поучительные конспекты лекций по голографической перенормировке на примере перенормировки действия массивного объемного скаляра.

Приложение : Пример того, почему корреляторы CFT нуждаются в регуляризации/перенормировке
Хорошо известно, что конформная инвариантность сильно ограничивает форму корреляционных функций CFT. Например, двухточечные функции скалярного оператора$\mathcal{O}$ограничены

$$\langle\mathcal{O}(x)\mathcal{O}(0)\rangle=\frac{C}{x^{2\Delta}}$$ где $\Delta$масштабное измерение $\mathcal{O}$и $C$является нормировочной константой. Однако гораздо менее известно, что это всего лишь голый коррелятор , и он недействителен при $x^{2}=0$. Коррелятор должен быть четко определенным распределением и иметь четко определенные преобразования Фурье: $$G(p)=\int d^dx\, e^{-ipx}\frac{C}{x^{2\Delta}}=\frac{C\pi^{d/2}2^{d-2\Delta}\Gamma\left(\frac{d-2\Delta}{2}\right)}{\Gamma{\Delta}}p^{2\Delta-d}.$$ Поскольку $\Gamma$-функция не определена для отрицательных целых аргументов, мы можем видеть, что регуляризация необходима, когда $\Delta=\frac{d}{2}+n$, где $n$является положительным целым числом. Это можно сделать, например, с помощью размерной регуляризации. После добавления контрчлена в действие коррелятор становится $$G(p)=p^{2\Delta-d}\left(C_1 \log\frac{p^2}{\mu^2}+C_2\right),$$ что явно зависит от масштаба. Масштабная инвариантность является аномальной симметрией в полной квантовой теории . Однако в $\mathcal{N}=4$super Yang-Mills муфта защищена от запуска суперсимметрией. Таким образом, не конформная симметрия приводит к исчезновению $\beta$-функция, но это SUSY. Исчезновение $\beta$-функция для этой конкретной теории обсуждается здесь, включая некоторые ссылки.