Является ли число π эмпирическим или априорным?

Я использовал пример π, но это относится и к другим трансцендентным числам, таким как e

Кант разделил утверждения на 4 эпистемологические категории на основе двух критериев: аналитическое/синтетическое различие (являются ли утверждения истинными по определению или нам нужна внешняя информация, чтобы определить их истинность) и априорное/апостериорное различие (независимы ли они от эмпирических данных или нет).

В частности, он пришел к выводу о существовании синтетических априорных истин, в отличие от Юма, который считал, что все утверждения являются либо аналитическими априорно, либо синтетическими апостериорно.

Ни Кант, ни Юм не считали возможными аналитические апостериорные истины.

Мой вопрос касается расчета π до произвольного количества цифр:

  • Это число, поэтому, по-видимому, оно содержит собственное определение: высказывание «π до 88 цифр = 3,141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034» является аналитическим утверждением вроде «два априорных утверждения»?
  • Но за пределами определенного количества цифр никто не может прийти с новыми цифрами самостоятельно, им пришлось бы полагаться на компьютер для выполнения вычислений, так что это апостериорная аналитика (и Кант был не прав, придумывая аналитические апостериорные истины). не существовало)?
  • π на самом деле не число, это символ, который является сокращением для сложного математического отношения, и как таковое «π до 88 цифр = 3,141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034»
  • Но мы не можем вычислить «π до 2288 цифр» без выполнения механической процедуры. Таким образом, число π на самом деле является эмпирическим фактом о мире, т. е. апостериорным синтетическим фактом. Является ли тогда π эмпирической постоянной, подобной гравитационной постоянной или заряду электрона?

Как бы Кант классифицировал π? Как бы Хьюм? Если π является эмпирическим, не делает ли это обременительной теорию согласно тезису Куайна-Дюгема, и π будет меняться в зависимости от некоторых изменений в аксиомах математики или геометрии? Каков эпистемологический статус π? Учитывая, что мы никогда не сможем полностью узнать «истинное значение» числа π, является ли оно вещью в себе, частью ноумена?

Ваши первые три пункта неверны: 1) "π = 3,1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078" - это просто ложь. 2) Каждый расчет, который может сделать компьютер, человек может сделать вручную (медленнее). Мы используем компьютеры только для того, чтобы выполнять эти вычисления быстрее и проще. Здесь это не актуально. 3) Вы смешиваете пи-символ и пи-число. В предложениях с числом «пи» используется символ «пи», но сами предложения относятся к числу. Число может быть определено или представлено множеством качественно различных способов.
@Era, спасибо, что указали на это. Я внес некоторые изменения.
Связанный: Как Кант определял знание? . Как и в его «Метафизических основаниях естествознания», математика изображена как пример конструкции с аподиктической достоверностью, т. е. науки в собственном смысле.
Я с @Era, проблема в том, что пи - это не последовательность цифр, это геометрическое отношение, отношение длины окружности к ее диаметру. Все «синтетические» приближения не имеют ничего общего с аналитической природой фактического числа. То, что число пи постоянно, является апостериорным открытием. Мы могли бы жить в каком-нибудь гиперболическом многообразии, где мы не могли бы обнаружить, что соотношение выполняется. Однако, если он существует, правила о нем не являются синтетическими, и даже его ценность не является синтетической. Это аналитический апостериорный факт, как и большая часть математики.
Цифры — это не факты или вещи, которые нужно открыть. То, о чем вы говорите, - это факты о pi , такие как его десятичное расширение. Любой данный факт о pi является аналитическим, учитывая определения всех терминов в утверждении. В более общем смысле любой факт о числе «пи» имеет такой же статус, как практически любой другой математический факт. Существование или иной метафизический статус чисел как объектов — это отдельный вопрос. Возможно, более интересными, чем трансцендентальные числа, такие как пи или е, являются те, цифры которых нельзя вычислить с помощью какого-либо механического процесса, что оказывается почти всеми числами.
Цифры числа пи полностью описываются компьютерной программой конечной длины . en.wikipedia.org/wiki/Computable_number Вычислимые числа не представляют большого онтологического интереса, поскольку старшеклассник может целый день вычислять цифры при условии наличия вычислительных ресурсов. Более интересным вопросом является существование невычислимых чисел.

Ответы (2)

У Канта было только три эпистемологических категории, апостериорные аналитические весьма проблематичны (даже Крипке говорит только о необходимых апостериорных). Что же касается числа π, то оно первоначально определялось как отношение длины окружности к диаметру, и лишь две тысячи лет спустя относилось к числам и десятичным разложениям. Тем не менее, его можно было бы определить как число, используя одно из многих разложений в ряды, цепных дробей и т. д., известных во времена Канта. Тем не менее, как и всякая арифметика и геометрия, все подобные определения (или, вернее, подразумеваемые ими конструкции) являются априорными синтетическими, разница лишь в том, является ли это априорным синтезом в пространстве (геометрия) или во времени (арифметика).

Кант приводит знаменитый пример подобного априорного синтеза в « Критике чистого разума» 7+5=12 :Понятие двенадцати никоим образом не мыслится путем простого размышления о комбинации семи и пяти; и как бы мы ни анализировали эту возможную сумму, мы не обнаружим двенадцати в понятии. Мы должны выйти за пределы этих понятий, призвав себе на помощь какой-нибудь конкретный образ [Anschauung], т. е. либо наши пять пальцев, либо пять точек (как у Зегнера в его «Арифметике»), и мы должны последовательно сложить единицы пяти, данное в каком-то конкретном образе [Anschauung], понятию семи. Следовательно, наше понятие действительно расширяется предложением 7 + 5 = 12, и мы добавляем к первому второе, не мыслимое в нем. Таким образом, арифметические суждения являются синтетическими и тем более соответствующими, чем больше мы берем чисел...«Очевидно, что по мере того, как мы берем большие числа, у живого человека может не хватить времени для синтеза необходимой интуиции. Но наше понимание также способно проецировать неопределенное расширение наших интуитивных представлений (как, например, в случае математической индукции), поэтому мы можем интуитивно догадываться. что это возможно в принципе.Эта последняя часть была систематически развита математическими потомками Канта, Гильбертом и интуиционистами, см. Было ли кантианское влияние на формалистическую программу Гильберта?

У Юма также не было бы проблемы, логика и математика для него суть отношения идей, и все в них априорно аналитично, т. е. тавтологично. Кант был чересчур оптимистичен, когда писал: « Ибо тогда он признал бы, что, согласно его собственному рассуждению, чистая математика, безусловно содержащая априорные синтетические положения, также была бы невозможна; и от такого утверждения его здравый смысл спас бы его", ему следовало бы прочитать "Трактат" Юма, а не только его "Исследование". Это был бы более интересный вопрос для Фреге, для которого арифметика была априорно аналитической, а геометрия априорно синтетической, но он, вероятно, сказал бы, что приравнивание геометрического и аналитического π именно здесь оно становится синтетическим Практические соображения обычно не занимали традиционных эпистемологов, будь то Платон, Юм, Кант, Фреге или Гуссерль.

Однако вопрос интересен даже с современной точки зрения. Если все знания эмпиричны, как утверждает натурализованная эпистемология Куайна, а π — еще одна фундаментальная константа природы, то почему мы должны измерять скорость света, в то время как никакие физические измерения не используются для вычисления π с какой-либо точностью? См. Является ли геометрия математической или эмпирической?

Кант косвенно касается его в первой критике; Кавалье расширяет его - он использует круги, тогда как Кант использовал треугольники.

Первое число пи , как уже указывалось в комментариях, не определяется каким-либо десятичным выражением; это определено геометрически как отношение.

Отсюда априорный , но и синтетический , поскольку он должен учитывать предметы синтетического построения геометрического пространства — картезианский театр.

Следовательно, он будет судить о числе пи как об априорном синтетическом значении .

Я бы воспринял этот момент так же, как Гаусс использовал «небрежность», введенную Кантом, для теоретизирования недекартовых пространств.

Как известно каждому школьнику или девочке, сумма внутренних углов треугольника составляет 180 градусов; но Кант возражает и говорит, что это не обязательно так, на чисто априорных основаниях; Кавалье вслед за Кантом или, вернее, расширив его линию или полет мысли, привел пример с кругом, и, похоже, тот же самый аргумент применим и к pi .

Пи не требует геометрии, чтобы быть определенным, просто впервые столкнулись с ним в геометрии.
@Mozibur Ullah Кажется, Кант должен пойти в школу, верно?
@Mozibur Ullah Думаю, да.
@Era Почему для определения Пи не требуется геометрия?
@RamTobolski его можно определить несколькими способами, не все из которых являются геометрическими. Например, его можно определить как предел бесконечного ряда. Есть также определение, основанное на вероятности, хотя я думаю, что в нем действительно используется некоторая геометрия.
@MoziburUllah Arcsin и arctan представляют собой определения бесконечных рядов этих функций , т. Е. Они не используют геометрические определения этих функций. Точно так же любое определение, использующее те или иные трансцендентные функции (например, последний пример на этой странице), может быть переформулировано с помощью расширения ряда. В итоге вы получите что-то уродливое, но правильное и негеометрическое.
@MoziburUllah Я вижу, что он кажется круглым, но это не так. В математике не имеет значения, как что-то на самом деле было получено в первую очередь. Поскольку определения являются эквивалентностями, мы можем заставить их идти любым путем, т. е. мы можем выбрать, с каких определений начать, и вывести все остальные. Хорошо известно, что в математике нет единого основополагающего набора аксиом. Таким образом, человек может знать число пи и его свойства, ничего не зная о геометрии.
@muz: вряд ли это не имеет значения, если взглянуть на генеалогическую картину математики; слово, часто используемое там в момент изменения, — мотивация ; это также изображение, используемое в педагогике. Но давайте оставим это здесь, комментарии на самом деле не для аргументов, а для разъяснений.
Каким бы ни было ваше основное представление о числе пи, оно все равно не является последовательностью десятичных разложений. Даже если это предел последовательности, эта последовательность не является ее набором десятичных расширений.
@jobermark: согласен; однако мне приходит в голову, что хотя мы и не делим бесконечные целые числа друг на друга, такое деление можно было бы сделать строгим, определив предел последовательности частичных делений; тем не менее, я думаю, что геометрическое определение, если бы кто-то должен был сделать какой-то свободный выбор, было бы лучшим; поскольку он связывает числа с геометрией, он исторически точен; достаточно взглянуть на геометризацию теории чисел с помощью схем или физики с помощью калибровочной теории, чтобы увидеть, что «становление геометрическим» является всеохватывающей математической стратегией — я не буду говорить философией.
(Пенроуз делает это в построении сюрреалистических чисел.) Согласен. Я просто указал, что первое возражение Эры не имеет отношения к делу. Какое бы определение ни было основным, оно является основным, и данная мотивация не имеет отношения к рассматриваемому вопросу.
Является ли число π эмпирическим или априорным?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v