Майкл Дженесерет и Эрик Као описывают семантику Хербранда следующим образом:
Семантика Гербранда - это альтернативная семантика для логики первого порядка, основанная на присвоении истинности для основных предложений, а не на интерпретациях констант объекта, функции и отношения. Модель — это просто определение истинности для основных атомов в нашем языке. (То же самое, что это произвольное подмножество основных атомов в нашем языке.) В семантике Гербранда нет ни внешней вселенной, ни функции интерпретации констант. По сути, все основные термины рассматриваются как непрозрачные — они «репрезентируют» себя.
Это контрастирует с семантикой Тарского , которая «основана на понятии интерпретации констант».
Алан Вейр различает две формы формализма. С одной стороны, термин формализм :
Термин «формалист» рассматривает выражения математики, например арифметические, как значимые, единичные термины как относящиеся, но как относящиеся к символам, таким как они сами, а не к числам, истолковываемым как объекты, отличные от символов.
С другой — игровой формализм :
Формалист игры придерживается точки зрения, что математические высказывания не имеют смысла; или, во всяком случае, термины, встречающиеся в нем, не выделяют объекты и свойства, и высказывания не могут использоваться для констатации фактов. Скорее, математика — это исчисление, в котором «пустые» строки символов преобразуются в соответствии с фиксированными правилами.
Это заставляет меня думать, что семантику Жака Эрбранда лучше всего использовать термин формалист (если только формалист не требует неисчислимой области). Я также подозреваю, что формалисту игр вообще не нужна семантика, поскольку математика — это просто исчисление. Однако я не уверен, что нахожусь на правильном пути.
Меня в первую очередь интересует семантика Эрбранда для счетных областей в логике, не обязательно математике, и отсюда вопрос: является ли семантика Эрбранда своего рода формализмом терминов?
Генесерет, М. и Као, Э. Семантика Хербранда. Стэнфорд. Получено 5 октября 2019 г. по адресу http://logic.stanford.edu/herbrand/herbrand.html .
Вейр, Алан, «Формализм в философии математики», Стэнфордская философская энциклопедия (осеннее издание 2019 г.), Эдвард Н. Залта (редактор), URL = https://plato.stanford.edu/archives/fall2019/entries /формализм-математика/ .
Я согласен с тем, что философская позиция, которая самым непосредственным образом защищает семантику Гербранда как «правильную» семантику, — это формализм терминов. Однако, как заметил Конифолд, семантика Гербранда не привязана к какой-либо конкретной философской структуре. (Действительно, одна из сильных сторон математики — ее независимость от фундамента.)
Однако здесь возникает интересное противоречие между формалистической позицией в целом и «логической дикостью» семантики Гербранда. Вывод Эрбранда чрезвычайно сложен : в частности, множество предложений, которые выводятся по Гербранду даже такой слабой (в обычном смысле) теорией, как арифметика Робинсона , чрезвычайно сложны (это можно уточнить и доказать с помощью теории вычислимости).. Таким образом, семантику Гербранда трудно принять тому, кто придерживается того, что я бы назвал «строгим формалистическим тезисом» о том, что имеет смысл только математика, сводимая к формальным манипуляциям с символами. прямо не востребовано игровым формализмом. Таким образом, трудно избежать вывода, что семантика Гербранда (или, точнее, позиция, согласно которой семантика Гербранда является «правильным» понятием семантики) содержит в себе нетривиальный элемент реализма.
Конечно, мы можем «приручить» семантику Эрбранда с помощью канонического трюка: если Т — какая-то теория, то если позволить Т' быть той же самой теорией в более широком языке, полученной путем добавления бесконечного числа новых постоянных символов, мы получим, что следствие Тарского и следствие Гербранда совпадают. для Т' , и поэтому, в частности, каждое предложение на исходном языке Т , которое является выводом Гербранда из Т', является Тарским, вытекающим из Т. Но трудно считать, что это действительно удовлетворительно, поскольку (i) это заставляет нас принять бесконечный язык и (ii) трудно мотивировать, не придавая уже некоторой ценности тарскианскому подходу.
Здесь есть своего рода ирония. По сути — и сформулированная с реалистической точки зрения для краткости — сложность вывода в семантике Гербранда проистекает из способности, необходимой для количественной оценки точно «(хорошо) определяемых» объектов. То есть неограниченная квантификация становится проблематичной, потому что область дискурса вынуждена быть маленькой ! Когда мы работаем с семантикой Тарского, диапазон «допущенных моделей» настолько велик, что все, что не является «явно запрещенным», на самом деле разрешено , что приводит к простоте вычислений . В более общем плане я бы сказал, что одна из тем, вытекающих из современной логики, такова:
Логические понятия, связанные с «наивным реализмом», чрезвычайно хорошо себя ведут с формалистической точки зрения, несмотря на противоречие между формализмом и реализмом как философскими позициями.
И это, на мой взгляд, Действительно Классная Вещь (что, как ни странно, и формалисты, и реалисты могут утверждать как доказательство своей позиции!) .
Конифолд
Конифолд