Неабелевы глобальные симметрии, заряды SO(N)SO(N)SO(N) в терминах операторов рождения и уничтожения

Question

Неабелевы глобальные симметрии, заряды SO(N)SO(N)SO(N) в терминах операторов рождения и уничтожения

Антонио

Рассмотрим $SO(N)$ симметричная теория $N$ реальные скалярные поля,

л "=" \frac{1}{2} \partial_{мю} Φ^{а} \partial^{мю} Φ^{а} - \frac{1}{2} м^{2} Φ^{а} Φ^{а} - \frac{1}{4} λ (Φ^{а} Φ^{а})^{2} .

$\mathcal{L} = {1\over2} \partial_\mu \Phi^a \partial^\mu \Phi^a - {1\over2} m^2 \Phi^a \Phi^a - {1\over4} \lambda (\Phi^a \Phi^a)^2.$ Нётеровский заряд

{Вопрос}_{а б} "=" \int_{{Ом}^{3}} г^{3} Икс {Дж}_{а б}^{0},

$Q_{ab} = \int_{\Omega^3} d^3x\,J_{ab}^0,$ где

Ω^{3}

$\Omega^3$ это все пространство.

Q

$Q$ постоянна во времени. Мы можем выразить

J^{0}

$J^0$ с точки зрения

π

$\pi$ и

Φ

$\Phi$ как

{Дж}_{а б}^{0} "=" \partial^{0} Φ_{а} ϵ_{а б} Φ_{б} "=" π_{а} ϵ_{а б} Φ_{б} .

$J_{ab}^0 = \partial^0 \Phi_a \epsilon_{ab}\Phi_b = \pi_a \epsilon_{ab} \Phi_b.$ Определять

ϵ^{я Дж} "=" {\begin{cases} 1 & если (я, Дж) "=" (а, б) \\ 0 & в противном случае. \end{cases}} "=" - ϵ^{Дж я},

$\epsilon^{ij} = \begin{cases} 1 & \text{if }(i, j) = (a, b) \\ 0 & \text{otherwise.}\end{cases}\Big\} = -\epsilon^{ji},$ так

ϵ^{a b} = 1 = - ϵ^{b a}

$\epsilon^{ab} = 1 = -\epsilon^{ba}$ а все остальные записи

0

$0$ . Тогда заряд Нётер становится

{Вопрос}_{а б} "=" \int г^{3} Икс {Дж}_{а б}^{0} "=" \int г^{3} Икс π_{а} ϵ_{а б} Φ_{б} "=" \frac{1}{2} \int г^{3} Икс (π_{а} Φ_{б} - π_{б} Φ_{а}) .

$Q_{ab} = \int d^3x\,J_{ab}^0 = \int d^3x\,\pi_a \epsilon_{ab} \Phi_b = {1\over2} \int d^3x(\pi_a \Phi_b - \pi_b \Phi_a).$ При подведении итогов

S O (N)

$SO(N)$ индексы, мы подбираем множитель

\frac{1}{2}

${1\over2}$ поскольку косая симметрия

ϵ

$\epsilon$ заставляет нас считать дважды.

Мой вопрос в том, какие $SO(N)$ обвинения $Q_{ab}$ здесь с точки зрения бозонных операторов рождения и уничтожения?

Ответы (1)

Неабелевы глобальные симметрии, заряды SO(N)SO(N)SO(N) в терминах операторов рождения и уничтожения

Нуаралеф · Answer 1

Прежде всего, есть несколько проблем с вашим вопросом:

$J_{ab}^0 = \pi^a \epsilon^{ab} \Phi^b$ не является допустимым выражением, так как в правой части уравнения есть суммирование, но a и b являются свободными индексами в левой части. Ваше определение $\epsilon$ тоже немного странно. Что вы имеете в виду ${Дж}_{а б}^{0} "=" π^{я} ϵ_{а б}^{я Дж} Φ^{Дж}$ $J_{ab}^0 = \pi^i \epsilon_{ab}^{ij} \Phi^j$ где матрицы $\epsilon_{ab}$ являются образующими алгебры Ли $so(N)$ , дх $ϵ_{а б}^{я Дж} "=" {\begin{cases} 1 & если (а, б) "=" (я, Дж) \\ - 1 & если (а, б) "=" (Дж, я) \\ 0 & в противном случае \end{cases}$ $\epsilon_{ab}^{ij} = \begin{cases} 1 & \text{if } (a,b)=(i,j) \\ -1 & \text{if } (a,b)=(j,i) \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$
На самом деле, $\pi^i \epsilon_{ab}^{ij} \Phi^j = \pi^a \Phi^b - \pi^b \Phi^a$ , Итак $\frac 1 2$ слишком много в последней строке.

Что касается вашего вопроса, вы сами пробовали? Вы должны вставить

Φ^{а} "=" \int \frac{г^{3} п}{(2 π)^{3} \sqrt{2 Е}} (а^{а} (п) е^{я п Икс} + (а^{а})^{†} (п) е^{- я п Икс})

$\Phi^a = \int \frac{d^3 p}{(2\pi)^3 \sqrt{2E}} \left( a^a(p) e^{ipx} + (a^a)^\dagger(p) e^{-ipx} \right)$ (плюс аналогичное выражение для

π^{a}

$\pi^a$ ) и использовать

\int d^{3} x e^{i (p - p^{'}) x} = (2 π)^{3} δ (p - p^{'})

$\int d^3x e^{i(p-p')x} = (2\pi)^3 \delta(p-p')$ , то вы должны получить результат.

Неабелевы глобальные симметрии, заряды SO(N)SO(N)SO(N) в терминах операторов рождения и уничтожения

Антонио

Ответы (1)

Нуаралеф

Базовая КЭД. Как получаются выражения сохраняющихся зарядов с помощью лестничных операторов?

Вывод гамильтониана одиночного тела в КТП

Унитарный оператор пространственно-временного перевода

Коммутационные соотношения при вторичном квантовании

Явные выражения для операторов создания и уничтожения

Расширение продукта оператора в безмассовой 2D QED

Доказательство квантовых корреляционных функций

Градиентный коммутатор в теории ϕ4ϕ4\phi^4

Восстановление QM из QFT

Вопрос об алгебре зарядов Нётер