Имеют ли канонические коммутационные соотношения какое-либо отношение к геометрии?

Ну, это довольно обширная тема.

1. Вот один из способов, которым CCR возникают из довольно большого класса геометрий: Для многообразия Федосова $(M,\omega, \nabla)$[т.е. многообразие$M$наделен симплектическим$2$-форма$\omega$с совместимым соединением без кручения$^1$ $\nabla$], Федосов доказал существование ассоциативного звездного произведения

   $$f\star g~=~fg +{\cal O}(\hbar)\tag{1}$$ функций$f,g\in C^{\infty}(M)$в контексте деформационного квантования$^2$. Звездный коммутатор $$[f\stackrel{\star}{,}g]~:=~f\star g-g\star f~=~i\hbar\{f,g\}_{PB}+{\cal O}(\hbar^2) \tag{2}$$ соответствует коммутатору операторов через карту соответствия символ-оператор. Теорема Дарбу обеспечивает локальное существование канонических координат$(q^1, \ldots, q^n,p_1, \ldots, p_n)$. Поэтому CCR имеют смысл.

2. Для элементарного обсуждения связи между коммутаторами и скобками Пуассона см., например, этот пост Phys.SE.

--

$^1$Симплектическое многообразие$(M,\omega)$всегда есть такая связь$\nabla$; однако он не уникален. См. также, например, этот связанный пост Phys.SE.

$^2$Концевич распространил конструкцию ассоциативного звездчатого произведения (1) на произвольное пуассоново многообразие .

Грубо говоря, калибровочный потенциал идентичен соединению, где калибровочный потенциал связан с амплитудой (полевой переменной).

Коммутационное соотношение в квантовой теории можно записать как коммутационное соотношение переменных поля (амплитуды).

Поэтому естественно иметь выражение коммутационного отношения через соединение.