Задача с доказательством того, что для всякого времениподобного вектора существует инерциальная система координат, в которой его пространственные координаты равны нулю

Question

Задача с доказательством того, что для всякого времениподобного вектора существует инерциальная система координат, в которой его пространственные координаты равны нулю

Ансони Бодо

Я читаю конспекты лекций по специальной теории относительности, и у меня возникла проблема с доказательством следующего утверждения.

Предложение . Если $X$ времениподобна, то существует инерциальная система координат, в которой $X^1 = X^2 = X^3 = 0$ .

Доказательство утверждает, что как $X$ времениподобна, она имеет компоненты вида $(a, p\,\mathbf{e})$ , где $\mathbf{e}$ является единичным пространственным вектором и $\lvert a \rvert > \lvert p \rvert$ . Затем рассматриваются следующие четыре четырехвектора:

\begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{а^{2} - п^{2}}} (а, п е) & \frac{1}{\sqrt{а^{2} - п^{2}}} (п, а е) & (0, д) & (0, р), \end{aligned}

$\begin{align*} \frac{1}{\sqrt{a^2 - p^2}}(a, p\,\mathbf{e}) & & \frac{1}{\sqrt{a^2 - p^2}}(p, a\,\mathbf{e}) & & (0, \mathbf{q}) & & (0, \mathbf{r})\,, \end{align*}$ где

q

$\mathbf{q}$ и

r

$\mathbf{r}$ выбраны так, что

(e, q, r)

$(\mathbf{e}, \mathbf{q}, \mathbf{r})$ образуют ортонормированную триаду в евклидовом пространстве. Затем доказательство заключает, что эти четыре вектора определяют явное преобразование Лоренца, и на этом останавливается.

Для меня это явное преобразование Лоренца представлено следующей матрицей.

[\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{а^{2} - п^{2}}} а & \frac{п}{\sqrt{а^{2} - п^{2}}} & 0 & 0 \\ \frac{п}{\sqrt{а^{2} - п^{2}}} е^{1} & \frac{а}{\sqrt{а^{2} - п^{2}}} е^{1} & д^{1} & р^{1} \\ \frac{п}{\sqrt{а^{2} - п^{2}}} е^{2} & \frac{а}{\sqrt{а^{2} - п^{2}}} е^{2} & д^{2} & р^{2} \\ \frac{п}{\sqrt{а^{2} - п^{2}}} е^{3} & \frac{а}{\sqrt{а^{2} - п^{2}}} е^{3} & д^{3} & р^{3} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{a^2 - p^2}} a & \frac{p}{\sqrt{a^2 - p^2}} & 0 & 0 \\ \frac{p}{\sqrt{a^2 - p^2}} e^1 & \frac{a}{\sqrt{a^2 - p^2}} e^1 & q^1 & r^1 \\ \frac{p}{\sqrt{a^2 - p^2}} e^2 & \frac{a}{\sqrt{a^2 - p^2}} e^2 & q^2 & r^2 \\ \frac{p}{\sqrt{a^2 - p^2}} e^3 & \frac{a}{\sqrt{a^2 - p^2}} e^3 & q^3 & r^3 \\ \end{bmatrix}$ Однако, умножая вектор-столбец

(X^{0}, X^{1}, X^{2}, X^{3})

$(X^0, X^1, X^2, X^3)$ по приведенной выше матрице, похоже, не дает вектор-столбца, пространственные компоненты которого равны нулю.
Что я пропустил?

Вальтер Моретти

Лучшей стратегией будет сначала повернуть пространственные координаты, чтобы не обращалась только пространственная компонента z, и, наконец, использовать ускорение вдоль z.

Ансони Бодо

Я с вами согласен и обнаружил, что после первого вращения нужен прирост скорости

v = - \frac{p c}{a}

$v = -\frac{pc}{a}$ в направлении z, чтобы выполнить работу. Тем не менее, мне все еще любопытно более алгебраическое доказательство, изложенное в моем посте.

Вальтер Моретти

Матрица, которую вы написали, преобразует вектор-столбец

(1, 0, 0, 0)^{t}

$(1,0,0,0)^t$ к

X

$X$ . Матрица, которую вы ищете, является обратной той, которую вы написали. Он трансформирует

X

$X$ к единичному временному вектору другого опорного кадра.

Ответы (3)

Задача с доказательством того, что для всякого времениподобного вектора существует инерциальная система координат, в которой его пространственные координаты равны нулю

Лучшей стратегией будет сначала повернуть пространственные координаты, чтобы не обращалась только пространственная компонента z, и, наконец, использовать ускорение вдоль z.
Я с вами согласен и обнаружил, что после первого вращения нужен прирост скорости $v = -\frac{pc}{a}$ в направлении z, чтобы выполнить работу. Тем не менее, мне все еще любопытно более алгебраическое доказательство, изложенное в моем посте.
Матрица, которую вы написали, преобразует вектор-столбец $(1,0,0,0)^t$ к $X$ . Матрица, которую вы ищете, является обратной той, которую вы написали. Он трансформирует $X$ к единичному временному вектору другого опорного кадра.

А. Бордж · Answer 1

На самом деле, ваша матрица может быть значительно упрощена как

М "=" [\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{а^{2} - п^{2}}} а & \frac{п}{\sqrt{а^{2} - п^{2}}} & 0 & 0 \\ \frac{п}{\sqrt{а^{2} - п^{2}}} & \frac{а}{\sqrt{а^{2} - п^{2}}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

$M = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{a^2 - p^2}} a & \frac{p}{\sqrt{a^2 - p^2}} & 0 & 0 \\ \frac{p}{\sqrt{a^2 - p^2}} & \frac{a}{\sqrt{a^2 - p^2}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$ с

(e, q, r)

$(\mathbf{e}, \mathbf{q}, \mathbf{r})$ образует ортонормированную триаду, поэтому

e_{1} = q_{2} = r_{3} = 1

$e_1 = q_2 = r_3 = 1$ а остальные коэффициенты равны нулю.
Теперь, как указал Вальтер Моретти в своем комментарии, матрица, которую вы ищете, является обратной этой матрице. Несложный расчет дает обратное.

М^{- 1} "=" \frac{1}{(а^{2} - п^{2})^{\frac{3}{2}}} [\begin{matrix} а (а^{2} - п^{2}) & - п (а^{2} - п^{2}) & 0 & 0 \\ - п (а^{2} - п^{2}) & а (а^{2} - п^{2}) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & (а^{2} - п^{2})^{\frac{3}{2}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & (а^{2} - п^{2})^{\frac{3}{2}} \end{matrix}]

$M^{-1} = \frac{1}{(a^2 - p^2)^{\frac{3}{2}}} \begin{bmatrix} a(a^2 - p^2) & -p(a^2 - p^2) & 0 & 0 \\ -p(a^2 - p^2) & a(a^2 - p^2) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & (a^2 - p^2)^{\frac{3}{2}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & (a^2 - p^2)^{\frac{3}{2}} \end{bmatrix}$ Наконец, легко проверить результат следующим образом.

М^{- 1} \times [\begin{matrix} а \\ п \\ 0 \\ 0 \end{matrix}] "=" [\begin{matrix} \sqrt{а^{2} - п^{2}} \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}]

$M^{-1} \times \begin{bmatrix} a \\ p \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sqrt{a^2 - p^2} \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ Обратите внимание, что принимая

q

$\mathbf{q}$ и

r

$\mathbf{r}$ такой, что

(e, q, r)

$(\mathbf{e}, \mathbf{q}, \mathbf{r})$ образует ортонормированную триаду, эквивалентно выполнению пространственного вращения таким образом, что только

X^{1}

$X^1$ не исчезает. Таким образом, более геометрическое, менее алгебраическое доказательство начнется с пространственного вращения, а затем продолжится с ускорением вдоль

x

$x$ -ось.

Хавьер · Answer 2

Написанная вами матрица возьмет стандартную основу $\{(1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0), (0,0,0,1)\}$ в основу, построенную из $\mathbf{X}$ . Следовательно, взять $\mathbf{X}$ во что-то пропорциональное $(1,0,0,0)$ , вам нужно использовать обратную матрицу.

Фробениус · Answer 3

Преобразование 3+1-Лоренца

\begin{aligned} (01а) & {Икс}^{'} & "=" Икс + \frac{γ_{ты}^{2}}{с^{2} (γ_{ты} + 1)} (ты \cdot Икс) ты - \frac{γ_{ты} ты}{с} с т \\ (01б) & с т^{'} & "=" γ_{ты} (с т - \frac{ты \cdot Икс}{с}) \\ (01с) & γ_{ты} & "=" {(1 - \frac{{ты}^{2}}{с^{2}})}^{- \frac{1}{2}} \end{aligned}

$\begin{align} \mathbf{x}^{\boldsymbol{\prime}} & \boldsymbol{=} \mathbf{x}\boldsymbol{+} \dfrac{\gamma^2_{\mathrm u}}{c^2 \left(\gamma_{\mathrm u}\boldsymbol{+}1\right)}\left(\mathbf{u}\boldsymbol{\cdot} \mathbf{x}\right)\mathbf{u}\boldsymbol{-}\dfrac{\gamma_{\mathrm u}\mathbf{u}}{c}c\,t \tag{01a}\label{01a}\\ c\,t^{\boldsymbol{\prime}} & \boldsymbol{=} \gamma_{\mathrm u}\left(c\,t\boldsymbol{-} \dfrac{\mathbf{u}\boldsymbol{\cdot} \mathbf{x}}{c}\right) \tag{01b}\label{01b}\\ \gamma_{\mathrm u} & \boldsymbol{=} \left(1\boldsymbol{-}\dfrac{\mathrm u^2}{c^2}\right)^{\boldsymbol{-}\frac12} \tag{01c}\label{01c} \end{align}$ и в дифференциальной форме

\begin{aligned} (02а) & д {Икс}^{'} & "=" д Икс + \frac{γ_{ты}^{2}}{с^{2} (γ_{ты} + 1)} (ты \cdot д Икс) ты - \frac{γ_{ты} ты}{с} с д т \\ (02б) & с д т^{'} & "=" γ_{ты} (с д т - \frac{ты \cdot д Икс}{с}) \end{aligned}

$\begin{align} \mathrm d\mathbf{x}^{\boldsymbol{\prime}} & \boldsymbol{=} \mathrm d\mathbf{x}\boldsymbol{+}\dfrac{\gamma^2_{\mathrm u}}{c^2 \left(\gamma_{\mathrm u}\boldsymbol{+}1\right)} \left(\mathbf{u}\boldsymbol{\cdot} \mathrm d\mathbf{x}\right)\mathbf{u}\boldsymbol{-}\dfrac{\gamma_{\mathrm u}\mathbf{u}}{c}c\,\mathrm dt \tag{02a}\label{02a}\\ c\, \mathrm dt^{\boldsymbol{\prime}} & \boldsymbol{=} \gamma_{\mathrm u}\left(c\,\mathrm dt\boldsymbol{-} \dfrac{\mathbf{u}\boldsymbol{\cdot} \mathrm d\mathbf{x}}{c}\right) \tag{02b}\label{02b} \end{align}$

$=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=$

Для времениподобных векторов

Не могли бы вы зарегистрироваться $\eqref{02a}$ каково будет количество $\mathrm d\mathbf{x}^{\boldsymbol{\prime}}$ если в этом же уравнении заменить

\begin{matrix} (03) & ты ⟶ \frac{д Икс}{д т} \end{matrix}

$\begin{equation} \mathbf{u}\boldsymbol{\longrightarrow}\dfrac{\mathrm d\mathbf{x}}{\mathrm dt} \tag{03}\label{03} \end{equation}$ в предположении

\begin{matrix} (04) & ‖ \frac{д Икс}{д т} ‖ < с \end{matrix}

$\begin{equation} \left\Vert\dfrac{\mathrm d\mathbf{x}}{\mathrm dt}\right\Vert <c \tag{04}\label{04} \end{equation}$

Для пространственноподобных векторов

Не могли бы вы зарегистрироваться $\eqref{02b}$ каково будет количество $\mathrm d t^{\boldsymbol{\prime}}$ если в этом же уравнении заменить

\begin{matrix} (05) & ты ⟶ \frac{с^{2}}{{‖ \frac{д Икс}{д т} ‖}^{2}} \frac{д Икс}{д т} \end{matrix}

$\begin{equation} \mathbf{u}\boldsymbol{\longrightarrow}\dfrac{c^2}{\left\Vert\dfrac{\mathrm d\mathbf{x}}{\mathrm dt}\right\Vert^2}\dfrac{\mathrm d\mathbf{x}}{\mathrm dt} \tag{05}\label{05} \end{equation}$ в предположении

\begin{matrix} (06) & ‖ \frac{д Икс}{д т} ‖ > с \end{matrix}

$\begin{equation} \left\Vert\dfrac{\mathrm d\mathbf{x}}{\mathrm dt}\right\Vert >c \tag{06}\label{06} \end{equation}$

$=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=$

ПРИЛОЖЕНИЕ

От $\eqref{02a}$ и $\eqref{03}$ если
$\begin{matrix} (07) & Икс "=" [\begin{matrix} {Икс}_{1} \\ {Икс}_{2} \\ {Икс}_{3} \\ {Икс}_{4} \end{matrix}] "=" [\begin{matrix} Икс \\ {Икс}_{4} \end{matrix}] с {‖ Икс ‖}^{2} "=" {Икс}_{4}^{2} - {Икс}_{1}^{2} - {Икс}_{2}^{2} - {Икс}_{3}^{2} > 0 \end{matrix}$ $\begin{equation} \mathbf{X}\boldsymbol{=} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4 \end{bmatrix} \boldsymbol{=} \begin{bmatrix} \\ \mathbf{x}\\ \\ x_4 \end{bmatrix}\,\quad \texttt{with } \left\Vert\mathbf{X}\right\Vert^2\boldsymbol{=}x^2_4\boldsymbol{-}x^2_1\boldsymbol{-}x^2_2\boldsymbol{-}x^2_3\boldsymbol{>}0 \tag{07}\label{07} \end{equation}$ представляет собой времяподобный 4-вектор в инерциальной системе отсчета $\color{blue}{\mathbf{S}}$ , то в любой инерциальной системе отсчета $\color{blue}{\mathbf{S}'}$ движущийся со скоростью $\begin{matrix} (08) & ты "=" \frac{Икс}{{Икс}_{4}} с "=" (\frac{{Икс}_{1}}{{Икс}_{4}}, \frac{{Икс}_{2}}{{Икс}_{4}}, \frac{{Икс}_{3}}{{Икс}_{4}}) с \end{matrix}$ $\begin{equation} \boxed{\:\:\mathbf{u}\boldsymbol{=}\dfrac{\mathbf{x}}{x_4}c\boldsymbol{=}\left(\dfrac{x_1}{x_4},\dfrac{x_2}{x_4},\dfrac{x_3}{x_4} \right)c \vphantom{\tfrac{\tfrac{a}{b}}{\tfrac{a}{b}}}\:\:} \tag{08}\label{08} \end{equation}$ его пространственная составляющая равна нулю $\begin{matrix} (09) & {Икс}^{'} "=" [\begin{matrix} {Икс}_{1}^{'} \\ {Икс}_{2}^{'} \\ {Икс}_{3}^{'} \\ {Икс}_{4}^{'} \end{matrix}] "=" [\begin{matrix} {Икс}^{'} \\ {Икс}_{4}^{'} \end{matrix}] "=" [\begin{matrix} 0 \\ {Икс}_{4}^{'} \end{matrix}] с {Икс}_{4}^{' 2} "=" {Икс}_{4}^{2} - {Икс}_{1}^{2} - {Икс}_{2}^{2} - {Икс}_{3}^{2} \end{matrix}$ $\begin{equation} \mathbf{X}'\boldsymbol{=} \begin{bmatrix} x'_1\\ x'_2\\ x'_3\\ x'_4 \end{bmatrix} \boldsymbol{=} \begin{bmatrix} \\ \mathbf{x}'\\ \\ x'_4 \end{bmatrix} \boldsymbol{=} \begin{bmatrix} \\ \boldsymbol{0}\\ \\ x'_4 \end{bmatrix} \,\quad \texttt{with } x'^{2}_4\boldsymbol{=}x^2_4\boldsymbol{-}x^2_1\boldsymbol{-}x^2_2\boldsymbol{-}x^2_3 \tag{09}\label{09} \end{equation}$
От $\eqref{02b}$ и $\eqref{05}$ если
$\begin{matrix} (10) & Икс "=" [\begin{matrix} {Икс}_{1} \\ {Икс}_{2} \\ {Икс}_{3} \\ {Икс}_{4} \end{matrix}] "=" [\begin{matrix} Икс \\ {Икс}_{4} \end{matrix}] с {‖ Икс ‖}^{2} "=" {Икс}_{4}^{2} - {Икс}_{1}^{2} - {Икс}_{2}^{2} - {Икс}_{3}^{2} < 0 \end{matrix}$ $\begin{equation} \mathbf{X}\boldsymbol{=} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4 \end{bmatrix} \boldsymbol{=} \begin{bmatrix} \\ \mathbf{x}\\ \\ x_4 \end{bmatrix}\,\quad \texttt{with } \left\Vert\mathbf{X}\right\Vert^2\boldsymbol{=}x^2_4\boldsymbol{-}x^2_1\boldsymbol{-}x^2_2\boldsymbol{-}x^2_3\boldsymbol{<}0 \tag{10}\label{10} \end{equation}$ является пространственноподобным 4-вектором в инерциальной системе отсчета $\color{blue}{\mathbf{S}}$ , то в любой инерциальной системе отсчета $\color{blue}{\mathbf{S}'}$ движущийся со скоростью $\begin{matrix} (11) & ты "=" {‖ \frac{Икс}{{Икс}_{4}} ‖}^{- 2} \frac{Икс}{{Икс}_{4}} с "=" {‖ \frac{Икс}{{Икс}_{4}} ‖}^{- 2} (\frac{{Икс}_{1}}{{Икс}_{4}}, \frac{{Икс}_{2}}{{Икс}_{4}}, \frac{{Икс}_{3}}{{Икс}_{4}}) с \end{matrix}$ $\begin{equation} \boxed{\:\:\mathbf{u}\boldsymbol{=}\left\Vert\dfrac{\mathbf{x}}{x_4}\right\Vert^{\boldsymbol{-}2}\dfrac{\mathbf{x}}{x_4}c\boldsymbol{=}\left\Vert\dfrac{\mathbf{x}}{x_4}\right\Vert^{\boldsymbol{-}2}\left(\dfrac{x_1}{x_4},\dfrac{x_2}{x_4},\dfrac{x_3}{x_4} \right)c \vphantom{\tfrac{\tfrac{a}{b}}{\tfrac{a}{b}}}\:\:} \tag{11}\label{11} \end{equation}$ его временная составляющая равна нулю $\begin{matrix} (12) & {Икс}^{'} "=" [\begin{matrix} {Икс}_{1}^{'} \\ {Икс}_{2}^{'} \\ {Икс}_{3}^{'} \\ {Икс}_{4}^{'} \end{matrix}] "=" [\begin{matrix} {Икс}^{'} \\ {Икс}_{4}^{'} \end{matrix}] "=" [\begin{matrix} {Икс}^{'} \\ 0 \end{matrix}] с ‖ {Икс}^{'} ‖^{2} "=" {Икс}_{1}^{2} + {Икс}_{2}^{2} + {Икс}_{3}^{2} - {Икс}_{4}^{2} \end{matrix}$ $\begin{equation} \mathbf{X}'\boldsymbol{=} \begin{bmatrix} x'_1\\ x'_2\\ x'_3\\ x'_4 \end{bmatrix} \boldsymbol{=} \begin{bmatrix} \vphantom{x'_1}\\ \mathbf{x}'\\ \vphantom{x'_3}\\ x'_4 \end{bmatrix} \boldsymbol{=} \begin{bmatrix} \vphantom{x'_1}\\ \mathbf{x}'\\ \vphantom{x'_3}\\ 0\vphantom{x'_4} \end{bmatrix} \,\quad \texttt{with } \Vert\mathbf{x}'\Vert^2\boldsymbol{=}x^2_1\boldsymbol{+}x^2_2\boldsymbol{+}x^2_3\boldsymbol{-}x^2_4 \tag{12}\label{12} \end{equation}$

Ансони Бодо

Вальтер Моретти

Ансони Бодо

Вальтер Моретти

Ответы (3)

А. Бордж

Ансони Бодо

Хавьер

Фробениус

Как вывести лоренцево сокращение из инвариантного интервала?

Невозможно согласовать мое понимание сокращения длины с преобразованием Лоренца

Когда события независимы от фрейма и почему?

Что неверно в этом рассуждении относительно специальной теории относительности?

Что такое событие в специальной теории относительности?

Двумерная задача преобразования скорости Лоренца

Докажите, что y=y',z=z'y=y',z=z'y=y',z=z' в преобразовании Лоренца

Чистый импульс Лоренца; транспонировать ≠≠\neq наоборот?

С какой скоростью вы должны двигаться, чтобы пройти один световой год за один год из-за релятивистских эффектов?