Запись волновых функций со спином системы частиц

Question

Запись волновых функций со спином системы частиц

Ана Ш

Предположим, у меня есть 2 фермиона в потенциале $V(x)$ . Обе частицы движутся в одном измерении: $x$ ось. Тогда, пренебрегая взаимодействием между частицами, пространственная волновая функция системы имела бы вид

ψ_{н_{1}} ({Икс}_{1}) ψ_{н_{2}} ({Икс}_{2})

$\psi_{n_{1}}(x_{1})\psi_{n_{2}}(x_{2})$

Теперь, если я рассматриваю частицы со спином 1/2, обозначение $\alpha(1)$ указывает на то, что частица 1 имеет спин вверх, и $\beta(2)$ обозначает частицу 2 со спином вниз.

Теперь я хочу написать полную волновую функцию, функцию вида

ψ_{н_{1} н_{2} с_{1} с_{2}} ({Икс}_{1}, {Икс}_{2}, с_{1}, с_{2}) "=" ψ_{н_{1}} ({Икс}_{1}) ψ_{н_{2}} ({Икс}_{2}) Ф (α, β)

$\psi_{n_{1}n_{2}s_{1}s_{2}}(x_{1},x_{2},s_{1},s_{2})=\psi_{n_{1}}(x_{1})\psi_{n_{2}}(x_{2})F(\alpha,\beta)$ где

F (α, β)

$F(\alpha,\beta)$ является функцией спина системы.

Для этого у меня есть единственные физически возможные функции $F(\alpha,\beta)$ являются:

Симметричный: $\chi_{\alpha}:=\alpha(1)\alpha(2),\quad\chi_{\beta}:=\beta(1)\beta(2),\quad\chi_{+}:=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\alpha(1)\beta(2)+\alpha(2)\beta(1)\right]$

Антисимметричный: $\chi_{-}:=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\alpha(1)\beta(2)-\alpha(2)\beta(1)\right]$

Чтобы записать полную волновую функцию со спином, я понимаю, что должен учитывать уровни энергии. Например, основное состояние: $\psi_{1}(x_{1})\psi_{1}(x_{2})$ .

Если $\psi_{1}(x_{1})\psi_{1}(x_{2})$ симметрична ( как я понимаю ), то я должен умножить эту функцию на антисимметричную функцию $\chi_{-}$ (чтобы получить антисимметричную волновую функцию для двух фермионов).

Если $\psi_{1}(x_{1})\psi_{1}(x_{2})$ антисимметрична (и я понимаю, что это невозможно, так как основное состояние не вырождено), то у меня было бы 3 волновые функции, полученные путем умножения $\psi_{1}(x_{1})\psi_{1}(x_{2})$ раз $\chi_{\alpha}$ , $\chi_{\beta}$ и $\chi_{+}$ .

Теперь, для 1-го возбужденного уровня, скажем $\psi_{2}(x_{1})\psi_{1}(x_{2})$ , мой вопрос : что происходит, когда эта функция не является ни симметричной, ни антисимметричной?

Я имею в виду, я мог бы построить симметричный

ф_{С} "=" \frac{1}{\sqrt{2}} [ψ_{2} ({Икс}_{1}) ψ_{1} ({Икс}_{2}) + ψ_{2} ({Икс}_{2}) ψ_{1} ({Икс}_{1})]

$f_S=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\psi_{2}(x_{1})\psi_{1}(x_{2})+\psi_{2}(x_{2})\psi_{1}(x_{1})\right]$

или антисимметричный

ф_{А} "=" \frac{1}{\sqrt{2}} [ψ_{2} ({Икс}_{1}) ψ_{1} ({Икс}_{2}) - ψ_{2} ({Икс}_{2}) ψ_{1} ({Икс}_{1})]

$f_A=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\psi_{2}(x_{1})\psi_{1}(x_{2})-\psi_{2}(x_{2})\psi_{1}(x_{1})\right]$ волновая функция. Но какой из них я должен выбрать? Или я должен вычислить результирующие полные волновые функции с обоими? Затем, когда я считаю состояния с 1-й возбужденной энергией, у меня будет 4 вместо 1 или 3.

нервххх

Я не уверен, понимаете ли вы, что такое термины «симметричный» и «антисимметричный». функция

Ψ (x_{1}, x_{2}) = ψ_{1} (x_{1}) ψ_{1} (x_{2})

$\Psi(x_1,x_2) = \psi_1(x_1) \psi_1(x_2)$ симметричен относительно обмена

x_{1} \leftrightarrow x_{2}

$x_1 \leftrightarrow x_2$ потому что

Ψ (x_{1}, x_{2}) = Ψ (x_{2}, x_{1})

$\Psi(x_1,x_2) = \Psi(x_2,x_1)$ . Нет пункта "если

ψ_{1} (x_{1}) ψ_{1} (x_{2})

$\psi_1(x_1) \psi_1(x_2)$ антисимметричен '... потому что он просто не антисимметричен по определению. Это не имеет ничего общего с тем, что это невозможно, поскольку основное состояние не является вырожденным. Почему так много голосов за этот qn ??

Ответы (3)

Запись волновых функций со спином системы частиц

Я не уверен, понимаете ли вы, что такое термины «симметричный» и «антисимметричный». функция $\Psi(x_1,x_2) = \psi_1(x_1) \psi_1(x_2)$ симметричен относительно обмена $x_1 \leftrightarrow x_2$ потому что $\Psi(x_1,x_2) = \Psi(x_2,x_1)$ . Нет пункта "если $\psi_1(x_1) \psi_1(x_2)$ антисимметричен '... потому что он просто не антисимметричен по определению. Это не имеет ничего общего с тем, что это невозможно, поскольку основное состояние не является вырожденным. Почему так много голосов за этот qn ??

пользователь24999 · Answer 1

Если $\psi_1(x_1)\psi_1(x_2)$ антисимметричен (и я понимаю, что это невозможно, так как основное состояние не вырождено)

Основное состояние вырождено , так как обе частицы имеют одинаковые $n$ (главное) квантовое число и, следовательно, та же энергия. В общем, для $N$ частиц, симметричная и антисимметричная волновые функции могут быть построены как

\begin{aligned} ψ_{_{С}} & \equiv \sqrt{\frac{Н_{1}! \dots Н_{к}!}{Н!}} \sum_{п} \hat{п} ф_{н_{1}} (ζ_{1}) ф_{н_{2}} (ζ_{2}) \dots ф_{н_{Н}} (ζ_{Н}) \\ ψ_{_{А}} & \equiv \sqrt{\frac{Н_{1}! \dots Н_{к}!}{Н!}} | \begin{matrix} ф_{н_{1}} (ζ_{1}) & \dots & ф_{н_{1}} (ζ_{Н}) \\ ⋮ & ⋮ \\ ф_{н_{Н}} (ζ_{1}) & \dots & ф_{н_{Н}} (ζ_{Н}) \end{matrix} | \end{aligned}

$\begin{align}\psi_{_S}&\equiv\sqrt{\frac{N_1!\cdots{N}_k!}{N!}}\sum_P\hat{P}\,\phi_{n_1}(\zeta_1)\phi_{n_2}(\zeta_2)\ldots\phi_{n_N}(\zeta_N)\\[0.1in]\psi_{_A}&\equiv\sqrt{\frac{N_1!\cdots{N}_k!}{N!}}\begin{vmatrix}\phi_{n_1}(\zeta_1)&\cdots&\phi_{n_1}(\zeta_N)\\\vdots&&\vdots\\\phi_{n_N}(\zeta_1)&\cdots&\phi_{n_N}(\zeta_N)\end{vmatrix}\end{align}$ соответственно, где

ζ_{i}

$\zeta_i$ внутренние степени свободы и

N_{i}

$N_i$ является вырождением

i

$i$ -й набор вырожденных частиц (для антисимметричной части чаще всего

N_{1}! \dots N_{k}! = 1

$N_1!\cdots{N}_k!=1$ ). В вашем случае (учитывая, что вы всегда можете записать волновую функцию как произведение пространственной и спиновой частей),

ψ_{_{А}} "=" | \begin{matrix} ψ_{1} ({Икс}_{1}) & ψ_{1} ({Икс}_{2}) \\ ψ_{1} ({Икс}_{1}) & ψ_{1} ({Икс}_{2}) \end{matrix} | "=" 0

$\psi_{_A}=\begin{vmatrix}\psi_1(x_1)&\psi_1(x_2)\\\psi_1(x_1)&\psi_1(x_2)\end{vmatrix}=0$ поэтому пространственная антисимметричная часть невозможна для основного состояния. Для фермионов это естественное следствие принципа запрета Паули, поскольку вы допускаете возможность двух частиц, находящихся в одном и том же состоянии, при условии, что спиновая часть будет симметричной.

Теперь для первого возбужденного уровня нет ограничений на рассмотрение как симметричной, так и антисимметричной частей, фактически вы должны учитывать их обе. Точно так же, как когда вы должны рассмотреть три возможности из триплетного спинового состояния

х_{_{Т}} "=" {\begin{cases} х_{α} \\ х_{β} \\ х_{+} \end{cases}

$\chi_{_T}=\begin{cases}\chi_\alpha\\\chi_\beta\\\chi_+\end{cases}$ вы можете рассмотреть оба решения (всего 4, как вы говорите),

ψ "=" {\begin{cases} \frac{1}{\sqrt{2}} [ψ_{1} ({Икс}_{1}) ψ_{2} ({Икс}_{2}) + ψ_{1} ({Икс}_{2}) ψ_{2} ({Икс}_{1})] х_{-} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} [ψ_{1} ({Икс}_{1}) ψ_{2} ({Икс}_{2}) - ψ_{1} ({Икс}_{2}) ψ_{2} ({Икс}_{1})] х_{_{Т}} \end{cases}

$\psi=\begin{cases}\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\psi_1(x_1)\psi_2(x_2)+\psi_1(x_2)\psi_2(x_1)\right]\chi_-\\\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\psi_1(x_1)\psi_2(x_2)-\psi_1(x_2)\psi_2(x_1)\right]\chi_{_T}\end{cases}$ дело в том, что это набор возможных решений , как и то, что вы узнали для спиновой части с триплетным состоянием, частицы могут иметь то или иное состояние, обычно при работе с фермионами единственное ограничение, о котором нужно позаботиться, это Паули принцип исключения. Таким образом, вы можете рассмотреть их все, чтобы построить общую волновую функцию.

Теперь то, что говорит Тримок,

Обратите внимание, что математически вы можете иметь полную антисимметричную волновую функцию без определенной симметрии в пространственной части или в спиновой части, например:
$ψ_{1} ({Икс}_{1}) ψ_{2} ({Икс}_{2}) α (с_{1}) β (с_{2}) - ψ_{2} ({Икс}_{1}) ψ_{1} ({Икс}_{2}) β (с_{1}) α (с_{2})$ $\psi_1(x_1)\psi_2(x_2) \alpha(s_1)\beta(s_2) - \psi_2(x_1)\psi_1(x_2) \beta(s_1)\alpha(s_2)$

может ввести в заблуждение. Это можно увидеть, если построить первое возбужденное состояние из определителя Слейтера (общее выражение для $\psi_{_A}$ ), сказать, $n_1=1$ , $n_2=2$ , $\alpha(1)$ , $\beta(2)$ , т.е.

С_{1} \equiv \frac{1}{\sqrt{2}} | \begin{matrix} ψ_{1} ({Икс}_{1}) α (1) & ψ_{1} ({Икс}_{2}) α (2) \\ ψ_{2} ({Икс}_{1}) β (1) & ψ_{2} ({Икс}_{2}) β (2) \end{matrix} |

$\mathcal{S}_1\equiv\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{vmatrix}\psi_1(x_1)\alpha(1)&\psi_1(x_2)\alpha(2)\\\psi_2(x_1)\beta(1)&\psi_2(x_2)\beta(2)\end{vmatrix}$ это выражение, данное Тримоком, но дело, опять же, в том, что вы должны рассмотреть все возможные решения для этого состояния, а это означает, что для

n_{1} = 1

$n_1=1$ ,

n_{2} = 2

$n_2=2$ , вы можете иметь

\begin{aligned} α (1), & α (2) \\ β (1), & β (2) \\ β (1), & α (2) \\ α (1), & β (2) \end{aligned}

$\begin{align}\alpha(1),&\,\alpha(2)\\\beta(1),&\,\beta(2)\\\beta(1),&\,\alpha(2)\\\alpha(1),&\,\beta(2)\end{align}$ вы можете обменять

n_{1}, n_{2}

$n_1,\,n_2$ также, если позволите (новой информации нет). Во-первых, определитель Слейтера выводит антисимметричные пространственные времена решения

χ_{α}

$\chi_\alpha$ , второй, антисимметричные пространственные части времени

χ_{β}

$\chi_\beta$ , но вы можете взять третий,

С_{2} \equiv \frac{1}{2} | \begin{matrix} ψ_{1} ({Икс}_{1}) β (1) & ψ_{1} ({Икс}_{2}) β (2) \\ ψ_{2} ({Икс}_{1}) α (1) & ψ_{2} ({Икс}_{2}) α (2) \end{matrix} |

$\mathcal{S}_2\equiv\frac{1}{2}\begin{vmatrix}\psi_1(x_1)\beta(1)&\psi_1(x_2)\beta(2)\\\psi_2(x_1)\alpha(1)&\psi_2(x_2)\alpha(2)\end{vmatrix}$ и четвертый для построения антисимметричных неполных времен

χ_{+}

$\chi_+$ как

S_{1} + S_{2}

$\mathcal{S}_1+\mathcal{S}_2$ и построить симметричные неполные часы

χ_{-}

$\chi_-$ как

S_{1} - S_{2}

$\mathcal{S}_1-\mathcal{S}_2$ . Здесь оба должны быть приняты во внимание из-за неразличимости частиц, учитывая

S_{1}

$\mathcal{S}_1$ или

S_{2}

$\mathcal{S}_2$ в одиночку просто недостаточно . Как я показал вначале, обо всем этом можно позаботиться, если вы просто факторизуете пространственную и спиновую части волновой функции и рассматриваете каждую из них отдельно, как вы это делали.

Тримок действительно прав. Волновая функция не обязательно должна быть симметричной/антисимметричной для пространственной/спиновой частей функции или наоборот. Его также не нужно факторизовать. На самом деле это имеет место только для 2 частиц, когда вы хотите, чтобы спиновая часть была собственным состоянием частицы. ${\sf S}^2$ и ${\sf S}_z$ операторы. Но это не всегда лучший или уникальный вариант. Например, в молекулах ${\sf S}^2$ не сохраняется.
Да, я не говорил, что он не прав; как я показываю, выражение, данное Тримоком, естественным образом получается из определителя Слейтера для одной из возможных конфигураций первого возбужденного состояния $\mathcal{S}_1$ , который неотличим от $\mathcal{S}_2$ . Единственное, что должно быть антисимметричным, — это полная волновая функция, но необходимо рассмотреть все возможные решения для данного состояния, что, по-видимому, является сутью вопроса, и, как я уже сказал, учитывая $\mathcal{S}_1$ или $\mathcal{S}_2$ в одиночку недостаточно .

Тримок · Answer 2

Выбор зависит от фермионной физической задачи.

Возьмем, к примеру, ферромагнетизм.

Мы хотим минимизировать электростатическую энергию между двумя соседними электронами, и для этого нам нужно будет максимизировать их среднее расстояние.

Можно показать, что из-за принципа исключения Паули среднее расстояние больше, когда пространственная часть волновой функции антисимметрична (см., например, https://physics.stackexchange.com/a/69267/6316 ).

Но вся волновая функция должна быть антисимметричной, поэтому, если пространственная часть волновой функции антисимметрична, спиновая часть волновой функции симметрична.

Практически в этой задаче все спины либо вверх, либо все вниз. И это симметричная конфигурация для спиновой части волновой функции. Так что это последовательно.

Но для другой физической задачи, связанной с фермионами, вам, возможно, придется минимизировать другой вид энергии, что, возможно, требует симметричной пространственной части волновой функции. Если это так, вы должны выбрать антисимметричную спиновую часть для волновой функции.

Обратите внимание, что математически вы можете иметь полную антисимметричную волновую функцию без определенной симметрии в пространственной части или в спиновой части, например:

ψ_{1} ({Икс}_{1}) ψ_{2} ({Икс}_{2}) α (с_{1}) β (с_{2}) - ψ_{2} ({Икс}_{1}) ψ_{1} ({Икс}_{2}) β (с_{1}) α (с_{2})

$\psi_1(x_1)\psi_2(x_2) \alpha(s_1)\beta(s_2) - \psi_2(x_1)\psi_1(x_2) \beta(s_1)\alpha(s_2)$ .

Разделение на космическую и спиновую части возможно при $[H, \textbf{S}^2]=0$ , а в одновременном собственном базисе пространственная и спиновая части будут иметь определенную симметрию. Например, два электрона в одномерном ящике. @Тримок

М. Валь · Answer 3

М. Валь

Если ваши частицы являются фермионами, вы должны использовать антисимметричную волновую функцию для их описания, если они являются бозонами, волновая функция должна быть симметричной.

М. Валь

Если ваши частицы являются фермионами, вы должны использовать антисимметричную волновую функцию для их описания, если они являются бозонами, волновая функция должна быть симметричной.

Ана Ш

Я это понимаю. Мой вопрос: что происходит, когда пространственная часть волновой функции не является ни симметричной, ни антисимметричной? Я могу построить симметричную или антисимметричную волновую функцию, но какую из этих двух следует использовать?

Запись волновых функций со спином системы частиц

Ана Ш

нервххх

Ответы (3)

пользователь24999

недоумение

пользователь24999

Тримок

СРС

М. Валь

М. Валь

Ана Ш

Спин электрона [дубликат]

Симметризация (фермионной) двухчастичной системы без спина и со спином в волновой функции

Зеркальная симметрия волновой функции со спином 1/2: определение оператора отражения

Что определяет, будут ли две квантовые частицы «взаимодействовать»?

Фундаментальные частицы со спином > 1

Двойственность волна/частица как результат различных ограничений КТП

Является ли ширина частиц следствием принципа неопределенности Гейзенберга?

Нарушают ли квантовые измерения требование симметризации?

Нахождение собственных состояний вращения вверх/вниз в произвольном направлении

Что такое спин применительно к субатомным частицам?