Симметризация (фермионной) двухчастичной системы без спина и со спином в волновой функции

Я использую учебник DJ Griffiths Introduction to Quantum Mechanics (3-е изд.) для моего вводного университетского курса по этому предмету. В главе 5 (начиная с раздела 5.1.1) он обсуждает поведение идентичных частиц.

Для начала он вводит элементарную пространственную волновую функцию для системы двух невзаимодействующих частиц, одна из которых находится в состоянии ψ а а другой в состоянии ψ б :

ψ ( р 1 , р 2 ) "=" ψ а ( р 1 ) ψ б ( р 2 )

Вскоре после этого он вводит, как идентичные частицы нельзя отличить друг от друга, поэтому, поскольку «один из них» и «другой» физически неоднозначны, мы записываем пространственную волновую функцию такой системы из двух частиц как суперпозицию:

ψ ± ( р 1 , р 2 ) "=" А ( ψ ( р 1 , р 2 ) ± ψ ( р 2 , р 1 ) )

Он утверждает, что ψ + - управляющая волновая функция для бозонов, а ψ − для фермионов − которые составляют, соответственно, симметричную пространственную волновую функцию ψ + ( р 1 , р 2 ) "=" ψ + ( р 2 , р 1 ) , и антисимметричная пространственная волновая функция ψ − ( р 1 , р 2 ) "=" − ψ − ( р 2 , р 1 ) . При этом имеет смысл, что когда ψ а "=" ψ б , фермионные системы не имеют смысловой пространственной волновой функции (принцип запрета Паули).

Теперь, как любит делать Гриффитс для упрощения объяснений, он не включает спин в волновые функции. Одним абзацем позже он показывает, что фермионы должны быть дальше друг от друга, чем различимые частицы, и наоборот для бозонов («обменное взаимодействие»): здесь используются только интегралы по пространству, поэтому я полагаю, что можно обобщить результат на волновые функции, включая спин. Если я правильно интерпретировал его текст далее в этой главе, мы можем сделать вывод о таком поведении, просто основываясь на пространственных волновых функциях, поэтому я буду называть частицы, которые отталкиваются, как фермионы, и, что эквивалентно, им может быть задана комбинированная пространственная волновая функция ψ − , «пространственно фермионный» .

Вот в чем проблема. Он добавляет спин к обсуждению двухэлектронных систем как спинорный фактор. х ( 1 , 2 ) , и утверждает:

Это весь [ ψ ( р 1 , р 2 ) х ( 1 , 2 ) ], а не только пространственная часть, которая должна быть антисимметричной по отношению к обмену. (...) Таким образом, принцип Паули допускает два электрона в заданном состоянии положения, пока их спины находятся в синглетной конфигурации.

Это утверждение меня смущает.

  • Во-первых: означает ли «не просто», что фермионы все еще должны быть пространственно фермионными, как утверждалось, когда спин еще не был включен в обсуждение, или что только ψ ( р 1 , р 2 ) х ( 1 , 2 ) нужно быть антисимметричным?

  • Во-вторых: это " ψ ( р 1 , р 2 ) "Элементарная функция ψ ( р 1 , р 2 ) "=" ψ а ( р 1 ) ψ б ( р 2 ) , или это искусственно (анти)симметричная волновая функция, такая как ψ + ( р 1 , р 2 ) и ψ − ( р 1 , р 2 ) ? Если первое, это будет означать, что пространственный фактор ψ ( р 1 , р 2 ) в комбинированной волновой функции для нашей двухфермионной системы ψ ( р 1 , р 2 ) х ( 1 , 2 ) никоим образом нельзя относиться наравне с искусственно (анти)симметричным ψ ± ( р 1 , р 2 ) . Итак, если мы не можем, и если мы предположим, что ответ на вопрос 1 состоит в том, что система также должна быть пространственной фермионной, то как мы (или природа) когда-либо сможем гарантировать, что ψ правильно (анти)симметрично?

  • В-третьих: поскольку ψ ( р 1 , р 2 ) х ( 1 , 2 ) должны быть просто антисимметричными, почему мы не можем взять триплетную конфигурацию двух электронов (что дает симметричную х ( 1 , 2 ) ) и имеют антисимметричную пространственную волновую функцию ψ ( р 1 , р 2 ) ? ( Этот поток пытается ответить, но я не думаю, что он дает правильное закрытие.)

Примечание для будущих читателей относительно третьего вопроса:

После некоторого обсуждения в комментариях принятого ответа, и многократно изучив приведенную выше цитату в контексте главы еще раз, я пришел к правильной интерпретации того, что именно пытался исключить Гриффитс, когда писал "принцип Паули допускает два электрона в заданное состояние положения, пока их спины находятся в синглетной конфигурации» .

Его утверждение можно сформулировать следующим образом:

Если Ψ "=" ψ ( р 1 , р 2 ) х ( 1 , 2 ) , то не существует математической функции ψ ( р 1 , р 2 ) что является антисимметричным относительно взаимозаменяемости р 1 и р 2 и использует только одно состояние ψ а вместо ψ а и ψ б (если вы будете, ψ а "=" ψ б ).

В принятом ответе ZeroTheHero вы найдете объяснение, почему это так. − суть в том, что антисимметризация происходит через детерминанты в теории групп перестановок, и что они становятся равными 0, когда любой ψ а "=" ψ б .

Главное последствие, в конце концов, состоит в том, что было сказано вначале: два идентичных фермиона, например, электрона, не могут занимать одну и ту же ψ а "=" ψ б если и только если они не находятся в антисимметричной, т. е. синглетной, спиновой конфигурации, именно потому, что не существует сепарабельной антисимметричной пространственной волновой функции, которая допускала бы симметричную, т. е. триплетную, спиновую конфигурацию.

Кроме того, после повторного просмотра главы с учетом этого утверждения стало очевидным, что моя концепция «пространственной фермионности» действительно является отдельным свойством, которым могут обладать две частицы. В принятом ответе установлено, что два фермиона (например, электроны) не обязательно должны быть пространственно фермионными, чтобы они были фермионами. Однако система все же может обладать указанным свойством или даже его полной противоположностью: в параграфе 5.2.1 о возбужденных состояниях гелия обсуждается, что в парагелии электроны специфически «пространственно бозонны» (их ожидаемое расстояние меньше, чем для различимых состояний гелия). частицы), заставляя их взаимодействовать в среднем на более близком расстоянии, что измеряется более высокой энергией для таких состояний.

Ответы (3)

Полная волновая функция должна быть антисимметричной . Таким образом, вы можете иметь:

  1. симметричны в пространстве, антисимметричны по спину; например

    ∼ ( ψ а ( Икс 1 ) ψ б ( Икс 2 ) + ψ а ( Икс 2 ) ψ б ( Икс 1 ) ) ( | + ⟩ 1 | − ⟩ 2 − | − ⟩ 1 | + ⟩ 2 )

  2. Антисимметричны в пространстве, но симметричны по спину; например

    (1) ∼ ( ψ а ( Икс 1 ) ψ б ( Икс 2 ) − ψ а ( Икс 2 ) ψ б ( Икс 1 ) ) ( | + ⟩ 1 | − ⟩ 2 + | − ⟩ 1 | + ⟩ 2 )

Есть только примеры. Например

ψ а ( Икс 1 ) ψ а ( Икс 2 ) ( | + ⟩ 1 | − ⟩ 2 − | − ⟩ 1 | + ⟩ 2 )
или
( ψ а ( Икс 1 ) ψ б ( Икс 2 ) − ψ а ( Икс 2 ) ψ б ( Икс 1 ) ) | + ⟩ 1 | + ⟩ 2
также полностью антисимметричны. Обратите внимание, что в этом последнем примере спиновое состояние | + ⟩ 1 | + ⟩ 2 является одним из состояний триплета и явно симметричен. Спиновая часть (1) является еще одним компонентом триплета, а спиновое состояние | − ⟩ 1 | − ⟩ 2 является последним компонентом. Таким образом, все члены триплетного состояния симметричны относительно перестановки, что в данном случае означает, что пространственная часть должна быть антисимметричной.

В связи с комментарием:

Чтобы получить полностью антисимметричную волновую функцию для н частиц, нужно по крайней мере н отдельные функции. Причина этого коренится в теории группы перестановок; на практическом уровне эти антисимметричные волновые функции строятся как детерминанты, поскольку, говоря языком теории групп, эта функция несет полностью антисимметричное представление группы перестановок. в 3 -частица, мы бы имели

ψ ( Икс 1 , Икс 2 , Икс 3 ) "=" | ф а ( Икс 1 ) ф а ( Икс 2 ) ф а ( Икс 3 ) ф б ( Икс 1 ) ф б ( Икс 2 ) ф б ( Икс 3 ) ф с ( Икс 1 ) ф с ( Икс 2 ) ф с ( Икс 3 ) | .
По элементарным свойствам определителей, перестановка двух столбцов местами - это равносильно перестановке Икс я ↔ Икс Дж вводит знак минус, тем самым гарантируя антисимметрию. Если две функции одинаковы - говорят ф б "=" ф а - тогда две строки совпадают и определитель автоматически 0 .

Чтобы получить полностью симметричную функцию, нужно использовать перманент , который в основном вычисляется как определитель, но везде с положительными знаками. Можно построить такие перманенты, используя любое количество функций.

Существуют также функции смешанной симметрии (в широком смысле связанные с имманантами ), полезные при объединении спиновых и пространственных степеней свободы, чтобы результат имел определенную симметрию. Затем необходимо построить их с помощью инструментов из группы симметрии, таких как симметризаторы Юнга .

Как комбинировать эти частично симметричные функции, объясняется в учебниках с главами, посвященными симметричной группе.

Обратите внимание, что частично симметричные состояния появляются только для 3 или более частиц, в основном потому, что группа перестановок С 2 имеет только 1 -мерные неприводимые представления, тогда как С н для н ≥ 3 имеет невозвраты размерности больше, чем 1 .

Наконец, обратите внимание, что частично симметричные функции, построенные таким образом, не совпадают с волновыми функциями Лафлина , используемыми в любых теориях.

Для дальнейшего использования я резюмирую: 1. система не обязательно должна быть «пространственно фермионной» (см. первый пример), но она должна быть полностью фермионной; 2. по примерам, ψ может быть произвольным (допускаются как суперпозиция, так и единичное произведение), если сумма антисимметрична; 3. да, возможно триплетное состояние. Если вы позволите мне продолжить: 1. Сохраняются ли обменные силы (только доказанные в книге без спина), когда система не является «пространственно фермионной»? 2. Почему Гриффитс, кажется, отвергает триплетное состояние (конечно, он что-то имеет в виду )?
@ Мью, у меня нет этой книги, поэтому я не могу сказать.
Хорошо, перефразирую, не обращаясь к книге (в любом случае, она не информативна): 1. Учитывая то, что мы установили, всегда ли ожидается , что электроны будут находиться дальше друг от друга, чем различимые частицы? Я могу доказать это только для ψ − если я притворюсь, будто спина не существует в волновых функциях. 2. Происходит ли что-то «призрачное» с триплетной конфигурацией, что заставило бы любого с осторожностью упомянуть, что электроны могут находиться в таком состоянии?
@Mew, это будет зависеть от состояния и гамильтониана. Кроме того, в каком смысле вы говорите «дальше друг от друга»? Средний смысл? Если да, то в среднем чего?
Да, "ожидается" как в 1-мерном ⟨ ( Икс 1 − Икс 2 ) 2 ⟩ , для которого ⟨ ( Икс 1 − Икс 2 ) 2 ⟩ ф е р м я о н с "=" ⟨ ( Икс 1 − Икс 2 ) 2 ⟩ г я с т я н г ты я с час − 2 | ∫ − ∞ ∞ Икс ψ а ( Икс ) * ψ б ( Икс ) г Икс | 2 (эффект называется «обменное взаимодействие»).
Спустя несколько недель я думаю, что смог правильно интерпретировать утверждение Гриффитса, что дает нам возможность опровергнуть/подтвердить его. Если что, я могу принять ваш ответ. Он утверждает, перефразируя: «Если Ψ "=" ψ ( р 1 , р 2 ) х ( 1 , 2 ) , то не существует математической функции ψ ( р 1 , р 2 ) который является антисимметричным по отношению к обмену и использует о н л у одно государство ψ а вместо ψ а и ψ б (если вы будете, ψ а "=" ψ б )». Его утверждение верно для ψ ± выше, но я не уверен в общем случае. Есть ли контрпример?
@ Мью Это правильно. Невозможно построить н антисимметричная пространственная (или спиновая) волновая функция частицы с менее чем н отдельные функции ψ а , ψ б … ψ н .
Даже формы, включающие более сложные математические операции (например, взятие грех ⁡ ( ) , насколько я знаю)? Есть ли доказательства? Я собираюсь добавить то, что я написал в комментарии чуть выше, в качестве редактирования в нижней части моего исходного сообщения, потому что это чрезвычайно важно для моего вопроса и, возможно, его сути, поэтому, если бы вы могли уточнить этот вопрос , это было бы здорово, и я отсылаю будущего читателя к вашему ответу!
@Mew добавил дополнительную информацию, чтобы расширить возможности построения полностью симметричных, антисимметричных или частично симметричных волновых функций.
Как и обещал, мои дополнения тоже были сделаны. Спасибо за отличные продолжения!

Обсуждая эту область физики, имейте в виду, что именно метки на одинаковых частицах меняются местами во время операции обмена. Держите это отдельно от понятия местоположения частицы, например.

Для фермионов это общее состояние, включая как пространственную, так и спиновую части, которое должно менять знак при перестановке любой заданной пары меток.

Общее состояние иногда может быть записано как произведение (пространственной части) и (спиновой части), но это происходит не всегда. Однако сначала разберемся с этим случаем, так как он самый простой. Предположим, у нас есть случай, связанный с пространственными состояниями А и Б для пары электронов. Мы присваиваем метки 1 и 2 к электронам. Тогда можно иметь любой или все из

1 2 ( А 1 Б 2 + А 2 Б 1 ) ( ↑ 1 ↓ 2 − ↑ 2 ↓ 1 ) ,
1 2 ( А 1 Б 2 − А 2 Б 1 ) ( ↑ 1 ↓ 2 + ↑ 2 ↓ 1 ) ,
1 2 ( А 1 Б 2 − А 2 Б 1 ) ↑ 1 ↑ 2 ,
1 2 ( А 1 Б 2 − А 2 Б 1 ) ↓ 1 ↓ 2 ,
а также
1 2 А 1 А 2 ( ↑ 1 ↓ 2 − ↑ 2 ↓ 1 ) ,
1 2 Б 1 Б 2 ( ↑ 1 ↓ 2 − ↑ 2 ↓ 1 ) .

Все вышеперечисленное — случаи, когда пространственная и спиновая части могут быть записаны отдельно. Но есть и дополнительные возможности, такие как:

1 2 ( А 1 Б 2 ↑ 1 ↓ 2 − А 2 Б 1 ↑ 2 ↓ 1 ) .
Вводный курс лечения часто не упоминает этот случай. Я только что привел пример; есть много других. Чтобы написать свое, просто напишите любое состояние, не обращая внимания на обменную симметрию, затем поставьте знак минус, а затем снова напишите состояние, но с перестановкой меток. Наконец, проверьте, действительно ли у вас есть нуль, потому что все отменено, а затем, если он не равен нулю, проверьте, как его нужно нормализовать.

В приведенном выше я принял совершенно логическую нотацию, но если вы предпочитаете писать что-то вроде ψ А ( Икс 1 ) и ψ Б ( Икс 1 ) вместо А 1 и Б 1 тогда это тоже нормально. Наконец, умножение (строго говоря, тензорное произведение) волновых функций или вектора состояния коммутативно, поэтому, например,

1 2 ( А 1 Б 2 ↑ 1 ↓ 2 − А 2 Б 1 ↑ 2 ↓ 1 ) ≡ 1 2 ( А 1 Б 2 ↑ 1 ↓ 2 − Б 1 А 2 ↓ 1 ↑ 2 )
Первая версия обращает внимание на то, что это этикетки 1 и 2 которые меняются местами, а не состояния А и Б . Но вторая версия обычно легче читается человеком. Обратите внимание, что в таком состоянии (называемом запутанным, в отличие от более ранних примеров, которые являются состояниями-произведениями) можно сказать: «частица в состоянии А имеет свое вращение», не говоря уже о том, имеется ли в виду частица 1 или 2 .

В чем преимущество записи неразделимых волновых функций или разделимых волновых функций? В большинстве материалов, которые я читал, они всегда берут линейные комбинации неразделимых волновых функций, чтобы сформировать разделимые волновые функции, подобные приведенным выше. Есть ли особая причина для этого?
Является ли волновая функция состояния продукта более фундаментальной или «общей», чем волновые функции однослойного детерминанта, которые часто оказываются неразделимыми? Вы писали, что эти волновые функции с единственным детерминантом Слейтера называются запутанными состояниями, поскольку положение и спины запутаны вместе. Если это совершенно непротиворечиво, то почему большинство материалов насильно преобразуют их в состояния продукта, взяв линейную комбинацию?
Когда мы говорим о запутанности, мы говорим о двух частицах, общая волновая функция которых не может быть разделена на волновые функции для каждой частицы. Но здесь это пространственная волновая функция, неотделимая от спиновой волновой функции. Как это можно назвать запутанным состоянием? Здесь пространственная часть неотделима от спиновой. Обычно нас учат, что волновые функции двух частиц должны быть неразделимы. Вы можете остановиться на этом ?
@NakshatraGangopadhay Состояния продукта дают полный набор состояний. Симметризованные состояния (т.е. симметричные и антисимметричные) дают полный набор состояний. Каждое расширяет данное состояние в любой удобной основе. Например, когда вы уже знаете, что у вас есть неразличимые фермионы, вы знаете, что вам не понадобятся симметричные состояния, поэтому вы также можете использовать основу антисимметричных. Но тогда для вычисления интегралов может быть полезно записать их как суммы состояний произведения. ...
@NakshatraGangopadhay Что касается «запутанности», да, я согласен, что существуют разные определения разной степени строгости. Например, можно было бы рассмотреть вопрос о том, могут ли рассматриваемые степени свободы в принципе быть разделены подобно пространству. Частица и ее спин не могут быть пространственно разделены, и в этом смысле термин «запутанный» может быть подвергнут сомнению. Но «запутанный» также широко используется как синоним «невыразимого как произведение», и в этом смысле вы можете иметь запутанность между местоположением и спином частицы.
Итак, подводя итог, мы можем сказать, что «запутанное» состояние и состояние продукта можно рассматривать как базисные наборы, которые можно использовать для записи данного состояния. В некоторых ситуациях полезнее записывать их в запутанном базисе. В некоторых примерах основа продукта более полезна, это правда? Например, при попытке найти полный спин С , мы должны записать его как пространство произведений, так как это собственный набор С 2 , С г оператор. В других случаях может быть полезен детерминантный (неразделимый) базис состояния Слейтера. В этом правильно?

Только один ψ ( р 1 , р 2 ) х ( 1 , 2 ) должны быть антисимметричными.

Второе: потому что ψ ( р 1 , р 2 ) х ( 1 , 2 ) должен быть антисимметричным, если х симметричен ( х + ), ψ ( р 1 , р 2 ) - антисимметричная волновая функция ψ ( р 1 , р 2 ) , и если с час я антисимметричен ( х − ), это симметризованная волновая функция ψ + ( р 1 , р 2 ) . Общая волновая функция будет линейной комбинацией обоих видов вещей.

Третье: Абсолютно да.

Не имеет отношения, но есть красивая теорема о релятивистской квантовой механике, которая является теоремой о спиновой статистике https://en.wikipedia.org/wiki/Spin%E2%80%93statistics_theorem

Симметризация (фермионной) двухчастичной системы без спина и со спином в волновой функции
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v