Зависят ли размеры вектора волновой функции в гильбертовом пространстве от числа собственных функций, суперпозицией которых он является?

Я видел людей, говорящих, что волновые функции, представленные в виде векторов в гильбертовом пространстве, могут (но не обязаны) иметь бесконечные измерения. Итак, если для вектора состояния требуется X основных собственных функций, линейно объединенных для его представления, сам вектор состояния должен иметь X компонентов (размерностей)?

Таким образом, в случае импульсного пространства полная волновая функция представляет собой некоторую линейную комбинацию собственных функций плоской формы волны, если есть бесконечные собственные функции, это бесконечномерное гильбертово пространство? Или, если для описания вектора состояния волновой функции требуется всего 100 собственных функций, этот вектор состояния существует в 100-мерном гильбертовом пространстве?

Может быть, я неправильно понимаю что-то фундаментальное, я все еще очень новичок в этом деле. Заранее спасибо за любые ответы.

Обычно принято говорить о размерности (топологического) векторного пространства, а не о размерности вектора (элемента в этом пространстве).
Это просто условность? Прав ли я тогда, думая, что когда вы разлагаете волновую функцию как линейную комбинацию e^(ikx) собственных функций плоской волны, количество собственных функций, необходимых для построения волновой функции, совпадает с размерностью гильбертова пространства, в котором она существует?

Ответы (1)

Размерность векторного пространства В определяется тем, сколько векторов присутствует в базисе В . Относительно просто продемонстрировать, что все базисные наборы векторного пространства имеют одинаковый размер.

Нет соответствующего понятия размерности для отдельного (ненулевого) вектора в е В . Самый очевидный способ убедиться в этом — просто выбрать базис, из которого в является элементом, и в этом случае количество базисных векторов, необходимых для «построения» в банально 1.

Другими словами, количество базисных векторов, необходимых для построения некоторого ненулевого вектора в е В зависит от того, с каким базисным набором вы хотите работать.

Так может ли волновая функция быть записана как вектор-столбец так же, как векторы в R ^ 3? Являются ли теоретические компоненты вектора-столбца волновой функции просто списком собственных функций, умноженных на их коэффициенты?
Числа, которые укладываются в вектор-столбец, являются коэффициентами базисных векторов. Пока ваше гильбертово пространство конечномерно, вы можете представлять его векторы таким же образом. Если пространство бесконечномерно, то вектор-столбец должен быть бесконечно длинным, но применима та же идея.
Извините, чтобы быть ясным, компоненты гипотетической волновой функции в форме вектора-столбца - это только коэффициенты? Если это так, то где существуют собственные функции?
Каждый раз, когда вы записываете вектор-столбец, вы (возможно, неявно) выбираете основу для работы. Вектор-столбец ( а б ) является сокращением от " а умножить на первый базисный вектор плюс б умножить на второй базисный вектор."
Зависят ли размеры вектора волновой функции в гильбертовом пространстве от числа собственных функций, суперпозицией которых он является?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v