Быстрый и медленный режимы, а также исчезновение некоторых диаграмм при перенормировке

Question

Быстрый и медленный режимы, а также исчезновение некоторых диаграмм при перенормировке

Джонатан Глисон

В середине стр. 452 Атланда и Саймонса Теории поля конденсированной материи , они заявляют следующее:

Условия $\mathcal{O}(\phi _{\text{s}}^3\phi _{\text{f}})$ не возникают, потому что добавление быстрого импульса и трех медленных импульсов несовместимо с сохранением импульса.

У меня простой вопрос: почему? Наивно кажется, что три медленных импульса могут складываться, чтобы получить один быстрый импульс.

Сейчас я постараюсь дать более подробную информацию, чтобы вам не нужно было проверять книгу самостоятельно. Контекст $\phi ^4$ теория:

С (ф) "=" \int г Икс [\frac{1}{2} | \nabla ф |^{2} + \frac{р}{2} | ф |^{2} + \frac{λ}{4!} | ф |^{4}] .

$S(\phi ):=\int \mathrm{d}x\, \left[ \tfrac{1}{2}|\nabla \phi |^2+\tfrac{r}{2}|\phi |^2+\tfrac{\lambda}{4!}|\phi |^4\right] .$ Мы выбрали масштабный коэффициент перенормировки

b \geq 1

$b\geq 1$ и отсечка импульса

Λ

$\Lambda$ достаточно велико, чтобы

\int_{| p | > Λ} \hat{ϕ} (p) \exp (i p x)

$\int _{|p|>\Lambda}\hat{\phi}(p)\exp (\mathrm{i}px)$ незначительно. Затем мы определяем

ф_{с} (Икс) "=" \frac{1}{(2 π)^{г / 2}} \int_{| п | \leq Λ / б} \hat{ф} (п) опыт (я п Икс) и \frac{1}{(2 π)^{г / 2}} ф_{ф} "=" \int_{Λ / б < п \leq Λ} \hat{ф} (п) опыт (я п Икс),

$\phi _{\text{s}}(x):=\frac{1}{(2\pi )^{d/2}}\int _{|p|\leq \Lambda /b}\hat{\phi}(p)\exp (\mathrm{i}px)\text{ and }\frac{1}{(2\pi )^{d/2}}\phi _{\text{f}}:=\int _{\Lambda /b<p\leq \Lambda}\hat{\phi}(p)\exp (\mathrm{i}px),$ где

d

$d$ если конечно размерность пространства, так что

ϕ = ϕ_{s} + ϕ_{f}

$\phi =\phi _{\text{s}}+\phi _{\text{f}}$ . Тогда у нас есть это

С (ф) "=" С (ф_{<}) + С_{0} (ф_{>}) + \frac{λ}{4!} \int г Икс [ф_{ф}^{4} + 4 ф_{ф}^{3} ф_{с} + 6 ф_{ф}^{2} ф_{с}^{2} + 4 ф_{ф} ф_{с}^{3}],

$S(\phi )=S(\phi _<)+S_0(\phi _>)+\frac{\lambda}{4!}\int \mathrm{d}x\, \left[ \phi _{\text{f}}^4+4\phi _{\text{f}}^3\phi _{\text{s}}+6\phi _{\text{f}}^2\phi _{\text{s}}^2+4\phi _{\text{f}}\phi _{\text{s}}^3\right] ,$ где

С_{0} (ф) "=" \int г Икс [\frac{1}{2} | \nabla ф |^{2} + \frac{р}{2} | ф |^{2}] .

$S_0(\phi ):=\int \mathrm{d}x\, \left[ \tfrac{1}{2}|\nabla \phi |^2+\tfrac{r}{2}|\phi |^2\right] .$ Затем мы вычисляем

- п (\int г ф_{ф} опыт (- С (ф))),

$-\ln \left( \int \mathrm{d}\phi _{\text{f}}\exp \left( -S(\phi )\right) \right) ,$ которая представляет собой сумму по связным вакуумным диаграммам в

ϕ_{f}

$\phi _{\text{f}}$ теория.

Эквивалентное утверждение состоит в том, что тогда каждая диаграмма, содержащая вершину, возникающую из терма $\phi _{\text{f}}\phi _{\text{s}}^3$ исчезает. Я не только не понимаю его эвристики о том, что это несовместимо с сохранением импульса, но я также не понимаю, как эти диаграммы исчезают, когда я тщательно вычисляю их значение, используя правила Фейнмана. Идеальный ответ должен быть в состоянии объяснить это исчезновение схематически.

Ответы (1)

Быстрый и медленный режимы, а также исчезновение некоторых диаграмм при перенормировке

Вик · Answer 1

Рассмотрим статистическую сумму

Z "=" \int Д ф е^{- С_{0} - С_{я}},

$Z = \int D\phi ~ e^{-S_0 - S_I},$ где

S_{0}

$S_0$ является гауссовой/свободной частью и

S_{I}

$S_I$ является интерактивной частью действия. В пертурбативной структуре мы можем стремиться систематически включать вклад быстрых мод в (эффективное) действие медленных мод. Для этого разложим силу взаимодействия как

Z "=" \int Д ф е^{- С_{0}} [1 + \sum_{н "=" 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{н}}{н!} (С_{я})^{н}] "=" \int Д ф е^{- С_{0}} [1 + \sum_{н "=" 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{н}}{н!} ⟨ С_{я} ⟩_{ф}^{н}],

$Z = \int D\phi ~ e^{-S_0}\left[1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!} (S_I)^n \right] = \int D\phi ~ e^{-S_0}\left[1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!} \langle S_I \rangle_f^n \right],$ где усреднение производится по быстрым модам (отсюда индекс

f

$f$ ).

ϕ_{s}^{3}

$\phi_s^3$ (или

ϕ_{s}

$\phi_s$ ) вершина не возникает в приведенном выше по двум причинам.

Для $n = 1$ : $\langle \phi_s^3 \phi_f \rangle_f = \phi_s^3 \langle \phi_f \rangle_f = 0$ потому что $\langle \phi_f \rangle_f = 0$ , так как мы не находимся в фазе с нарушением симметрии, когда поле может иметь ненулевое ожидаемое значение.
Для $n>1$ : Здесь мы можем сокращать быстрые моды, исходящие из разных вершин. Однако, $\phi_s^3$ вершина не генерируется, потому что в ней нет процесса. $\phi^4$ теория, которая может дать $\phi^3$ вершина. Рассмотрим общую схему, составленную из $V$ вершины, содержащие $I$ внутренние линии или пропагаторы, и $E$ внешние линии. Эти числа ограничены как
$4 В - 2 я "=" Е,$ $4V - 2I = E,$ из-за «сохранения числа ветвей» в каждой вершине. Четко, $E$ не может быть нечетным, поскольку $V$ и $I$ являются положительными целыми числами. Так, $E=3$ диаграммы (которые способствуют $\phi_s^3$ вершина) не генерируются или, что то же самое, тождественно равны нулю.

"Однако, $\phi _s^3$ вершина не генерируется, потому что в ней нет процесса. $\phi ^4$ теория, которая может дать $\phi ^3$ вершине». ---- Мне кажется, что этот аргумент круговой... Часть того, что мы хотели бы показать, состоит в том, что после РГ-преобразования мы не порождаем никаких новых членов в действии (по крайней мере, порядка мы работаем). Вполне возможно, что мы могли бы создать $\phi ^3$ член после перенормировки, и в этом случае теория, очевидно, может дать $\phi ^3$ вершина. Я серьезно что-то не понимаю?
"Четко, $E$ не может быть нечетным, поскольку $V$ и $I$ являются положительными целыми числами." ---- Конечно, но как насчет, например, $E=6$ . Например, рассмотрим диаграмму с двумя $\phi _{\text{s}}^3\phi _{\text{f}}$ вершины с двумя $\phi _{\text{f}}$ ноги сжаты. Получается диаграмма с $6$ внешние медленные ноги, нет? На самом деле, именно эта конкретная диаграмма, которую я изо всех сил пытался показать, исчезает последние пару дней.
@JonathanGleason, первый комментарий: в схеме пертурбативной перенормировки результирующие вершины после интегрирования высокоэнергетических мод можно рассматривать как те, которые генерируются путем сжатия ветвей быстрой моды вершин древовидного уровня. в $\phi^4$ теории есть 4 вершины с ногами быстрого режима (ссылка: тело вопроса). Сжатие их друг с другом не может генерировать вершины с нечетным числом ветвей медленного режима. Доказательство следует из ограничения, которое я процитировал в своем ответе выше.
2-й комментарий: вершины более высокого порядка, такие как $\phi_s^{2n}$ с $n\geq 3$ всегда генерируются процедурой интегрирования. Мы можем игнорировать их, потому что они не влияют на бета-функции параметров течения в теории. Другими словами, если вершина взаимодействия в действии на уровне дерева является маргинальной, все вершины более высокого порядка не имеют значения. Это общее ожидание должно выполняться, если только мы не интегрируем некоторые моды с нулевой энергией в нашу схему Вильсона РГ.
Откуда мы знаем априори, что вершины формы $\phi ^{2n}$ с $n\geq 3$ будет неактуален. Еще раз, разве нам не нужно выполнить процедуру перенормировки, чтобы точно это проверить? Конечно, можно провести размерный анализ и получить, что «инженерная степень» предполагает, что они не будут иметь значения, но чтобы на самом деле доказать правильность этого ожидания, разве нам не нужно выполнить полную процедуру повторной нормализации?
В частности, прав ли я, говоря, что мы можем игнорировать беспокоящую меня диаграмму не потому, что она исчезает, а потому, что ее вклад не имеет значения? С другой стороны, как это можно связать с «сохранением импульса»? Смысл всего этого в том, что нельзя создавать вершины с нечетным числом медленных мод?
Относительно игнорирования нерелевантных вершин: есть определенные примеры теорий поля, где необходимо соблюдать осторожность при игнорировании нерелевантных вершин, потому что они могут быть «опасно нерелевантными». Поиск в Google принесет больше информации об этих объектах. я думаю, для $\phi^4$ теория в $(3+1)$ -размеры, $\phi^{2n}$ вершины (с $n\geq 3$ ) не являются опасно нерелевантными и, следовательно, могут быть безопасно проигнорированы.
«… но чтобы на самом деле доказать, что это ожидание верно, разве нам не нужно выполнить полную процедуру повторной нормализации?» Это хороший момент, о котором нужно помнить, занимаясь РГ. В пертурбативной РГ-схеме, под которой я подразумеваю, что параметр разложения остается малым на всем пути к фиксированной точке и в фиксированной точке, размерность инженерного масштабирования достаточна, чтобы доказать нерелевантность $\phi^6$ вершина: бета-функция уровня дерева $\phi^6$ связь получит только крошечную коррекцию $\propto \lambda^2 \ll 1$ . Таким образом, доминирует масштабирование на уровне дерева.
Однако в непертурбативных теориях, где нет малого параметра, эти бета-функции древовидного уровня могут, в принципе, получить $\mathcal{O}(1)$ поправка от квантовых флуктуаций. Здесь мы не можем доверять инженерному масштабированию размерности вершин.
«Правильно ли я говорю, что мы можем игнорировать диаграмму, о которой я беспокоюсь, не потому, что она исчезает, а потому, что ее вклад не имеет значения?» - Да. «Как это можно связать с «сохранением импульса»?» — Я думаю, это связано с невозможностью создавать нечетные вершины путем сжатия.
«В пертурбативной РГ-схеме, под которой я подразумеваю, что параметр разложения остается малым на всем пути к фиксированной точке и в фиксированной точке, размерность инженерного масштабирования достаточна, чтобы доказать нерелевантность $\phi ^6$ vertex." ---- Как мне на самом деле доказать это утверждение? С доказательством этого, я полагаю, мой вопрос будет полностью решен. (Кроме того, прав ли я, предполагая, что это не относится $\phi ^6$ , но верно и для общего $\phi ^{2n}$ с $n\geq 3$ ?)

Быстрый и медленный режимы, а также исчезновение некоторых диаграмм при перенормировке

Джонатан Глисон

Ответы (1)

Вик

Джонатан Глисон

Джонатан Глисон

Вик

Вик

Джонатан Глисон

Джонатан Глисон

Вик

Вик

Вик

Вик

Джонатан Глисон

Вик

Почему мы требуем, чтобы контрчлены в теории φ3φ3\varphi^3 были O(g2)O(g2)O(g^2)?

Связь между схемами перенормировки on-shell и BPHZ

Зависящий от обрезания «обратный пропагатор» для перенормировки

Как получить конечный ответ после применения размерной регуляризации в КЭД?

Масштабирование эффективных гамильтоновых констант связи в ренормализационной группе Вильсонаина

Критические показатели и масштабные размерности из теории РГ

Диаграммы головастиков в массивных скалярных амплитудах с 1 петлей?

Ренормализационная группа и суммирование диаграмм

Фиксированная точка Уилсона-Фишера в измерениях 2+1

Как доказать эквивалентность РГ-потока константы связи КТП и диаграммного пересуммирования при фиксированном масштабе перенормировки?