Как получается, что угловые скорости являются векторами, а вращения — нет?

На самом деле есть несколько разных способов интерпретировать этот вопрос, в зависимости от того, что вы подразумеваете под «вектором» и «вращением». Но вот смысл, который я часто задавал себе: во вводной физике вектор скорости определяется как производная по времени от вектора положения (относительно некоторой фиксированной точки). Почему то же самое не верно для угловой скорости, то есть почему нет «вектора углового положения», производной от которого может быть угловая скорость?

Кстати, иногда есть. Подумайте об этом простом случае: выберите одну фиксированную ось вращения и учитывайте только вращения вокруг этой оси. (Двумерные вращения, если вы предпочитаете думать об этом таким образом). Вы бы выбрали определенную ориентацию в качестве «начала», и вы могли бы фактически определить вектор углового положения, указывающий вдоль оси вращения, с длиной, равной величине вращения относительно этой «исходной» ориентации.

Теперь предположим, что угловое положение вашего объекта меняется со временем. Вы можете взять производную вектора углового положения, и, надеюсь, вы увидите, что вы получите просто старую добрую угловую скорость. Нет проблем.

Но мы живем в трехмерном мире (несмотря на относительность), так что же происходит, когда вы пытаетесь обобщить эту модель до трех измерений? Вот где вы сталкиваетесь с проблемами. В качестве примера возьмем объект из последнего абзаца, который вращался вокруг одной определенной оси — скажем,$\hat{z}$ось. Теперь предположим, что он меняет свое движение так, что начинает вращаться вокруг другой оси, может быть,$\hat{x}$ось. Как вы теперь будете представлять его ориентацию?

У вас может возникнуть соблазн использовать «вектор углового положения», указывающий на$\hat{z}$направление, длина которого представляет количество вращения вокруг$\hat{z}$ось и еще один «вектор углового положения», указывающий на$\hat{x}$направление, длина которого представляет количество вращения вокруг$\hat{x}$ось. В конце концов, это работает на должность. Но это не работает для углового положения. Причина в том, что повороты не коммутируют , если использовать технический жаргон. Это означает, что если вы примените вращение A к объекту, а затем вращение B вокруг другой оси, вы получите другой результат, чем если бы вы применили вращение B, за которым последовало вращение A.

Эта небольшая проблема мешает, если вы пытаетесь объединить два ваших$x$- а также$z$- векторы углового положения в один общий вектор углового положения. Предположительно, вы бы написали этот общий вектор как$(\theta_x, 0, \theta_z)$(ноль может представлять величину вращения вокруг$\hat{y}$ось). Этот вектор будет представлять собой сумму$\theta_x$умноженное на оборот агрегата вокруг$\hat{x}$направление и$\theta_z$умноженное на оборот агрегата вокруг$\hat{z}$направление. Но отсутствует важная часть информации: какое из этих вращений было выполнено первым? Если бы вы дали этот вектор своему другу-физику, он не смог бы воспроизвести ориентацию объекта, потому что не знает, следует ли выполнять$x$- вращение или$z$- первое вращение. Конечно, вы можете знать, что объект вращался в$z$-направление сначала, но эта информация должна содержаться в векторе, чтобы она была полезной.

Суть последнего абзаца в том, что нет способа разумно создать линейные комбинации этих «векторов углового положения». И это в значительной степени снижает их полезность, потому что возможность линейного комбинирования является абсолютно фундаментальной для определения вектора и лежит в основе многих аналитических методов, которые мы используем в физике.

Между прочим, с этой точки зрения причина, по которой матрицы работают для представления вращений, заключается в том, что матрицы предлагают вам дополнительную операцию, умножение, которую вы можете использовать для их объединения. Бывает, что умножение матриц для некоторых матриц (антисимметричных 3x3 с определителем 1) имеет те же свойства, что и составные повороты; в частности, он также некоммутативен. Умножение матрицы A на матрицу B может дать результат, отличный от результата умножения матрицы B на матрицу A.

Это примечание о том, почему угловые скорости являются векторами, в дополнение к превосходным объяснениям Мэтта и Дэвида о том, почему вращения не являются векторами.

Когда мы говорим, что что-то имеет определенную угловую скорость$\vec{\omega_1}$, мы имеем в виду, что каждая часть объекта имеет скорость, зависящую от положения

$\vec{v_1}(\vec{r}) = \vec{\omega_1} \times \vec{r}$.

Мы могли бы рассмотреть еще одно из этих движений

$\vec{v_2}(\vec{r}) = \vec{\omega_2} \times \vec{r}$

и интересно, что происходит, когда мы добавляем их. Мы получаем

$\vec{v_1}(\vec{r}) + \vec{v_2}(\vec{r}) = \vec{\omega_1} \times \vec{r} + \vec{\omega_2} \times \vec{r}$.

Перекрестное произведение является линейным, поэтому это эквивалентно

$(\vec{v_1} + \vec{v_2})(\vec{r}) = (\vec{\omega_1} + \vec{\omega_2}) \times \vec{r}$,

поэтому имеет смысл добавлять угловые скорости путем сложения векторов.

Определяющими свойствами векторов являются то, что их можно складывать и умножать на константы. Оба они имеют смысл для угловых скоростей. С другой стороны, добавление вращений не имеет смысла. Что вы можете сделать с двумя вращениями, так это скомпоновать их: сначала повернуть в одну сторону, затем повернуть в другую. Эта операция не похожа ни на какое сложение. С одной стороны, это не коммутирует. Вращение чего-либо$30$градусов вокруг$x$-ось, то$60$градусов вокруг$y$-ось, это не то же самое, что выполнение этих двух операций в обратном порядке. (Если вы никогда этого не делали, возьмите предмет и попробуйте!) Таким образом, математическая операция, соответствующая вращению, должна быть чем-то, что может выражать некоммутативность. Матрицы работают для этого очень естественно; для двух матриц A и B в общем случае неверно, что$AB = BA$.

Вы смешиваете разные вещи. Преобразование вращения — это преобразование векторов в линейном пространстве — такому преобразованию не нужны никакие угловые скорости или что-то еще, и ему даже не нужно иметь ничего общего с механическим вращением.

Угловая скорость - это скорость физического вращения, измеряемая как$\vec\omega=d\vec\theta/dt$, куда$\vec\theta$также является вектором, вращательным аналогом смещения.

В любом случае,$\vec\theta$не то же самое, что матрица вращения. Последняя является функцией$\vec\theta$, но матрица может использоваться для представления гораздо большего, чем просто поворот. Обратите внимание, что вращение все еще может быть смоделировано как зависящая от времени матрица, например$\vec{x}(t)=A(t)\vec{x}(0)$, но матрица все равно не та, угол поворота.

Примечание. Я был немного хитрым, утверждая, что$\vec\theta$является «вектором» — на самом деле это не так, хотя он имеет 3 компонента в 3 измерениях, поэтому принято записывать компонент «xy» как компонент «z», «xz» как компонент «y», «yz». " как "x", но в целом лучше думать об углах как о (2, 0) тензорах$\theta^{\mu\nu}$. Интересно, что преобразование вращения представляет собой тензор (1, 1)$A^{\mu}{}_{\nu}$.

Сначала это может быть не интуитивно понятным, но я думаю, что это полезно для понимания связи между матрицами вращения и угловыми скоростями. Кроме того, я знаю, что это не дает прямого ответа на вопрос, но я чувствую, что в OP есть путаница, и это может помочь.

Таким образом, учитывая матрицы вращения$E_1$а также$E_2$как для двух связанных твердых тел установить их кинематику угловых скоростей? Как$\vec{\omega}_1$относится к$\vec{\omega}_2$?

Предположим, что две матрицы вращения связаны одним вращением вокруг оси$\hat{z}$локальная к первому телу и углу$\theta$такой, что

Дифференцируйте приведенное выше уравнение, чтобы получить угловые скорости, используя производную вращающейся системы отсчета .

Затем с помощью цепного правила

что верно только тогда, когда

Вышеупомянутое уравнение описывает кинематику вращения соединительного шарнира и получено из последовательности вращений. Аналогично для более сложных суставов.

Производная по времени последовательности вращения дает кинематику углового вращения.

Угловая скорость представлена ​​в системе координат в виде прямолинейного вектора. Сразу же мы видим конфликт между направлениями вектора и физической величины. То есть теория векторов является неадекватной моделью угловых физических величин. Эти векторы называются псевдовекторами. Эта проблема описана в статье «Угловые векторы в теории векторов» https://doi.org/10.5539/jmr.v9n5p71 . Эти угловые векторы имитируют угловое направление в системе координат, они расположены в плоскости, в которой находится физическая величина. В статье описаны все основные свойства углового вектора. Дакже доказал, что результатом векторного произведения векторов не может быть прямолинейный вектор. Результатом перекрестного произведения векторов является угловой векторhttps://en.wikipedia.org/wiki/Talk:Cross_product#Cross_product_does_not_exist .

Я не разбираюсь в некоторых аспектах вопроса, но я дам ответ, не связанный с другими.

Объект может вращаться так быстро, что некоторые представления об угловой скорости неверны. Например, когда объект поворачивается более чем на 180 градусов или 360 градусов (пи или 2*пи радиан) в единицу времени, представление должно быть в состоянии представить такие большие углы.

Но для некоторых целей и в определенных представлениях ориентация, угол поворота или скорость вращения по своей сути ограничены представлением пи или 2 * пи радиан и, следовательно, не могут представлять скорость вращения за пределами скромного значения. Что обычно происходит математически, так это то, что ориентация/вращение/угловая скорость «усекается» до поддерживаемого или представляемого диапазона, который обычно составляет от -pi до +pi или от -2*pi до +2*pi.

Хотя это часто оставляет объект в правильной ориентации в вычисляемый момент, оно полностью скрывает, сколько оборотов произошло с момента предыдущего состояния (вычисленного в предыдущий момент времени). Это физически ДИКО неверно для некоторых целей. Например, если какая-то часть быстровращающегося объекта столкнулась с другим объектом, расчетная скорость удара в точке контакта будет значительно ниже реальной.

Хуже того, часто эта ошибка заставляет объект вращаться в неправильном направлении! Например, рассмотрим, что происходит, когда объект поворачивается на 718 градусов (вокруг некоторой/любой оси) в течение рассматриваемого интервала. Это будет выглядеть как вращение на -2 градуса, что «значительно медленнее», чем в реальности, но также и в направлении, противоположном реальности.

Я считаю, что это хорошая причина никогда не принимать кватернионы и некоторые другие представления для угловой скорости ... по крайней мере, в любой системе, где угловая скорость может превышать пи радиан в секунду (или пи радиан за временной интервал).