Ваш пример заставляет меня думать о графиках.

Представьте себе, что появился какой-то приятный, отзывчивый парень и построил большой график всех математических понятий, где каждое понятие является одним узлом, а связанные понятия соединены ребрами. Теперь вы можете взять копию этого графика и покрасить каждый узел в зеленый цвет в зависимости от того, «знаете» ли вы эту концепцию (неизвестные могут быть серыми).

Как определить «знать»? В этом случае, когда кто-то упоминает это понятие во время разговора о чем-то, вы сразу чувствуете себя сбитым с толку и испытываете желание поискать это понятие? Если нет, то вы это знаете (как ни странно, вы можете обманывать себя, думая, что знаете что-то, что вы совершенно неправильно понимаете, и это будет классифицироваться как «знание» на основе этого правила — но это нормально, и я объясню почему в немного). Чтобы определить, «знаете» ли вы это, попытайтесь предположить, что конкретная вещь, о которой говорит человек, не является каким-то запутанным аргументом, основанным на неясных деталях концепции или причудливых интерпретациях — это просто упомянуто как будничное, как косвенное замечание.

Когда вы изучаете тему, вы в основном выбираете один серый узел и пытаетесь раскрасить его в зеленый цвет. Но вы можете обнаружить, что для этого вы должны сначала закрасить некоторые соседние серые узлы. Поэтому в тот момент, когда вы обнаружите обязательный узел, вы сразу же начинаете его раскрашивать и откладываете исходную тему. Но у этого узла также есть предпосылки, поэтому вы откладываете его и... То, что вы делаете, известно как поиск в глубину. Для него естественно чувствовать себя как в кроличьей норе — вы пытаетесь проникнуть как можно глубже. Есть надежда, что рано или поздно вы наткнетесь на стену зелени, и именно тогда ваши долгие, напряженные поиски принесут плоды, и вы почувствуете тот уникальный порыв карабкаться обратно вверх по стеку с вашей маленькой жемчужиной рекурсии. завершающее возвращаемое значение.

Затем вы вернетесь к раскрашиванию своего исходного узла и узнаете о других предварительных условиях, так что теперь вы можете сделать это снова и снова.

DFS подходит для одних приложений, но не подходит для других. Если ваша цель состоит в том, чтобы раскрасить весь граф (т. е. выучить всю математику), любая стратегия заставит вас посетить одно и то же количество узлов, так что это не имеет большого значения. Но если вы не пытаетесь серьезно изучить все прямо сейчас, DFS — не лучший выбор.

Итак, решение вашей проблемы простое - используйте более подходящий алгоритм поиска!

Сразу бросается в глаза поиск в ширину. Это означает, что при чтении статьи (или страницы, или главы книги) не спешите искать каждый новый термин, как только вы его увидите. Обведите его или запишите на отдельном листе, но заставьте себя закончить текст, даже если он совершенно вам непонятен, не зная нового термина. Теперь у вас будет список обязательных узлов, и вы сможете работать с ними более организованно.

По сравнению с вашей DFS, это уже позволяет избежать отклонения слишком далеко от вашей первоначальной области интересов. У него также есть еще одно преимущество, которое редко встречается в реальных задачах с графами: часто в математике и вообще понимание является кооперативным. Если у вас есть концепция А, в которой есть предварительные концепции Б и С, вы можете обнаружить, что Б очень трудно понять (она ведет в глубокую кроличью нору), но только в том случае, если вы еще не знаете очень простую тему С, которая если вы это сделаете, сделайте B очень легким для «получения», потому что вы быстро выясняете основные и важные моменты (или может оказаться, что знания B или C достаточно, чтобы изучить A). В этом случае вам действительно не нужна стратегия обучения, которая не гарантирует, что вы сделаете C до B!

BFS не только позволяет вам использовать кооперативы, но и позволяет вам лучше управлять своим временем. Допустим, после первого прохода вы получили список из 30 тем, которые вам нужно изучить в первую очередь. Не все они будут одинаково сложными. Может быть, 10 займет у вас 5 минут просмотра википедии, чтобы понять. Может быть, еще 10 настолько просты, что первая диаграмма Google Image все объясняет. Затем будет 1 или 2, на которые уйдут дни или даже месяцы работы. Вы не хотите спотыкаться о больших, пока у вас есть маленькие, чтобы позаботиться о них. Ведь может оказаться, что большая тема не существенна, а малая тема необходима. Если это так, вы будете чувствовать себя очень глупо, если попытаетесь сначала заняться большой темой! Но если маленькое окажется бесполезным, вы на самом деле не потеряли много энергии или времени.

Когда вы делаете BFS, вы также можете извлечь выгоду из других, очень хороших и умных поворотов, таких как Dijkstra или A*. Когда у вас есть список тем, можете ли вы упорядочить их по тому, насколько многообещающими они кажутся? Скорее всего, вы можете, и, скорее всего, ваша интуиция будет верной. Еще одна вещь, которую нужно сделать — поскольку в конечном итоге ваша цель — установить связь с некоторыми зелеными узлами, почему бы не попытаться расставить приоритеты по темам, которые, кажется, будут приближаться к вещам, которые вы знаете? Прелесть А* в том, что эти эвристики даже не обязательно должны быть очень правильными — даже «неправильные» или «нереалистичные» эвристики могут в конечном итоге ускорить ваш поиск.

Вы не узнаете, что такое векторное пространство, проглотив определение, которое говорит

Векторное пространство$\langle V, S\rangle$это набор$V$и поле$S$которые удовлетворяют следующим 8 аксиомам: …

Или, по крайней мере, я не знаю, и, судя по звуку, это тоже не работает для вас. Это определение предназначено для тех, кто не только уже знает, что такое поле, но также уже знает, что такое векторное пространство, и для кого формальное утверждение может пролить свет на то, что они уже знают.

Вместо этого, если вы хотите узнать, что такое векторное пространство, вы берете элементарный учебник по линейной алгебре и начинаете его читать. Я только что взял «Линейную алгебру и ее приложения» (Г. Странг, 1988) рядом с кроватью и обнаружил, что «векторное пространство» даже не определено. Первая страница главы 2 («Векторные пространства и линейные уравнения») неформально представляет эту идею, опираясь на пример$\Bbb R^n$, который уже был представлен в главе 1, а затем подчеркивает ключевое свойство: «Мы можем складывать любые два вектора и можем умножать векторы на скаляры». На следующей странице повторяется эта идея: «реальное векторное пространство — это набор «векторов» вместе с правилами сложения и умножения векторов на действительные числа». Затем следуют три примера, которые отличаются от$\Bbb R^n$Примеры.

Хороший учебник сделает это: он сведет эти 8 аксиом к краткому изложению того, о чем эти аксиомы на самом деле, и предоставит набор иллюстрирующих примеров. В случае с векторным пространством краткое утверждение, которое я процитировал, выделенное жирным шрифтом в оригинале, было следующим: мы можем складывать любые два вектора и мы можем умножать векторы на скаляры.

Вам не нужно знать, что такое поле, чтобы понять что-либо из этого, потому что оно ограничено реальными векторными пространствами, а не векторными пространствами над произвольными полями. Но это настраивает вас на понимание идеи во всей ее общности, как только вы узнаете, что такое поле: «Точно так же, как векторные пространства, к которым вы привыкли, за исключением того, что скаляры не являются действительными числами, они могут быть элементами любых поле."

Если вы обнаружите, что гоняетесь за бесконечной серией определений, это потому, что вы пытаетесь изучать математику по математической энциклопедии. Что ж, стоит попробовать; это сработало для Рамануджана. Но если вы обнаружите, что вы не Рамануджан, вы можете попробовать то, что делают остальные из нас, не-Рамануджанов, и вместо этого попытаться прочитать учебник. А если учебник начинается со слов вроде:

Векторное пространство$\langle V, S\rangle$это набор$V$и поле$S$которые удовлетворяют следующим 8 аксиомам: …

тогда это означает, что вы по ошибке получили учебник, который был написан для людей, которые уже знают, что такое векторное пространство , и вам нужно отложить его и взять другой. (Это не шутка, таких книг много.)

Кстати, книга Стрэнга действительно хороша. Я рекомендую это.

И последнее замечание: обычно недостаточно прочитать книгу; Вы должны сделать кучу упражнений также.

Один очень известный математик показал мне, как он избегает кроличьей норы. Я скопировал его метод, и теперь я могу держаться подальше от него большую часть времени.

Я проводил с ним частные еженедельные семинары. Каждую неделю он исследовал тему, о которой ничего не знал (это была наша сделка, и это было для него). Я называл тему (примеры: фильтры Блума, теорема Кнута-Бендикса, линейная логика), и на следующей неделе он без излишеств делал презентацию в формате Power-Point о том, что он узнал. Презентации имели единую структуру:

Motivating Example
Definitions
Lemmas and Theorems
Applications

Начав с мотивирующего примера, мы никогда не заблудились в дебрях технических деталей, а раздел «Применения» возвращался назад и объяснял мотивирующий пример (и, возможно, некоторые другие, если позволяло время) с точки зрения технических деталей.

Вот как он выучил тему, не спускаясь по MRH.

Limit your rabbit-hole time (one week)
your presentation must be one hour long
Focus on a Motivating Example
do just enough technicalities to explain the example and optional variations

С тех пор я скопировал этот стиль. Когда я изучаю новую тему, я делаю подобную слайд-презентацию, а затем представляю ее другим в еженедельной группе чтения.

Я думаю, что иногда вам действительно не нужно точно знать , что означает каждый используемый термин, во всяком случае, не сразу. В большинстве случаев для начала достаточно смутной идеи.

Ознакомьтесь с определением (сначала не обязательно понимая его — копаться в огромном беспорядке формального определения не всегда полезно на этом этапе, но помогает увидеть его общую структуру), затем посмотрите несколько примеров, немного поработайте, см. как это работает. Если бы я рассказал вам все о верховой езде в течение месяца, вы, вероятно, не были бы так хороши в верховой езде, как если бы вы вместо этого пробовали заниматься верховой ездой в течение недели (и не только потому, что я ничего не знаю). про верховую езду ;) ).

По мере того, как вы углубляетесь в предмет, это может помочь понять детали определений, а также вспомогательные объекты. Для чего они? Что они на самом деле означают? Но поначалу не стоит ожидать, что вы все поймете , особенно при изучении более глубоких вещей, которые (в отличие от векторных пространств) могут завести вас очень глубоко... в кроличью нору.

Знакомство приходит с опытом. Другого пути нет.

В качестве побочного комментария к вашему примеру с векторными пространствами: я не думаю, что вы действительно сможете понять линейную алгебру, если ограничите себя действительными числами. Они имеют нулевую характеристику, не являются алгебраически замкнутыми, они естественно упорядочены... это может ввести в заблуждение. Это хорошо для начинающих, но я бы не сказал, что вы понимаете векторные пространства, если вы просто понимаете настоящие векторные пространства.

Рекомендуется сначала изучить векторные пространства в контексте действительных скаляров, а не общих полей. Но после этого стоит заметить, что в большей части того, что вы узнали (во всем, кроме пространств внутреннего произведения, в обычных представлениях предмета), вы никогда не использовали тот факт, что действительные числа идут с порядком; вам никогда не нужно было думать, были ли числа положительными или отрицательными. И для некоторых целей, таких как собственные значения и собственные векторы, действительно полезно допускать комплексные числа в вашу картину. На самом деле, все, что вам нужно от действительных чисел, это то, что вы можете складывать, вычитать, умножать и делить их (за исключением, конечно, того, что вы не можете делить на$0$) и вы можете манипулировать уравнениями, как вы учились в элементарной алгебре. Вот почему безопасно допускать комплексные числа в вашу картину — они разделяют все те существенные (для линейной алгебры) свойства действительных чисел. И в этот момент вы знаете, что такое поле, даже если вы никогда не видели определения или даже слова, потому что поле — это просто набор вещей, которые напоминают числа до такой степени, что вы можете складывать, вычитать, умножать, и разделить их (за исключением, конечно, того, что вы не можете разделить на$0$) и вы можете манипулировать уравнениями, как вы учились в элементарной алгебре. Формальные аксиомы, определяющие «поле», являются просто результатом наблюдения, что все те алгебраические правила, которые вы выучили, являются следствием лишь нескольких правил; т. е. большинство из них являются избыточными. Таким образом, «поле» можно определить, задав только необходимые правила, а не все избыточные. Конечно, это облегчает проверку того, что что-то является полем, потому что у вас гораздо меньше правил для проверки, а также упрощает запись определения «поля» в книге, потому что оно короче, чем могло бы быть в противном случае. . Но истинная идея «поля» остается в силе всех обычных манипуляций с уравнениями.

Я попал в этот водоворот из-за того, что много учился. Я думаю, что единственный способ выйти из этого — начать с чтения книг по мягкой математике, которые не фокусируются на деталях/доказательствах, а пытаются передать, какова общая цель темы.

Я имею в виду такие книги, как « Вся математика, которую вы пропустили: но нужно знать для поступления в аспирантуру » Гэррити, в которой описываются различные дисциплины математики, каковы их роли и как они соотносятся друг с другом.

Я думаю, что любой, кто занимается самообразованием (а если вы изучаете математику, я думаю, у вас нет выбора), понял, что есть два вида математических книг: те, которые объясняют вам вещи так, чтобы вы их поняли, и те, которые предполагают, что вы уже знаете основы и по-новому смотрите на вещи.

Для меня недавним примером является комбинаторика. Многие люди здесь предложили книгу Питера Кэмерона — и это здорово, если вы уже знаете много вещей, о которых он не упоминает. Если вы этого не сделаете, вы в аду, пытаетесь выяснить, где он придумывает всякую ерунду. А еще есть книга Бруальди по комбинаторике, которая объясняет вещи так, чтобы вы их понимали, и ее приятно читать. Теперь, чтобы правильно понять и оценить комбинаторику, я думаю, вам нужны обе книги (первая Бруальди и вторая Кэмерон). Но я бы избавил себя от многих горя, если бы сначала начал с Бруальди.

Metacademy — это управляемая сообществом веб-платформа с открытым исходным кодом, которая пытается решить именно эту проблему. По их собственным словам:

Когда вы пытаетесь изучить данную концепцию, Metacademy может показать вам полную предварительную структуру концепции и предоставить индивидуальный план обучения для максимально эффективного изучения концепции, дополненный кураторскими учебными ресурсами, а также обсуждениями взаимосвязи концепции. к другим соответствующим предметам

В пользу кроличьей норы

Начните с самого начала и продолжайте, пока не дойдете до конца: затем остановитесь.

Мой ответ несколько противоположен, но я твердо в него верю: вы должны попасть в кроличью нору, и вы всегда должны идти как можно глубже.

Математика не наука. Чтобы понять, почему лягушка квакает, мы должны изучить ее дыхательную систему, чтобы понять это, мы можем изучить, как делятся клетки, затем химические процессы в живых организмах, органические молекулы в целом, затем физику атомов, субатомные частицы и т. д. К настоящему времени мы определенно зашли слишком далеко. Лучший способ понять, как дышит лягушка, — это сделать упрощающие предположения в гораздо более крупных масштабах. Итак, мы предполагаем, что клетки — это маленькие машины, которые выполняют определенные действия, или, по крайней мере, что атомы — это маленькие шарики, которые отскакивают друг от друга и слипаются.

Чтобы понять векторные пространства, нет смысла пытаться «замазать» поля. Лучше всего знать поля вдоль и поперек. Если вы не можете выучить их наизнанку, вы должны знать основы как можно лучше. Кроличья нора не длится вечно — во всех случаях вы придете либо к базовым определениям, либо к вещам, с которыми мы все согласны интуитивно (например, к подсчету чисел).

Сначала приговор, потом приговор

Я принял дисциплину изучения математики, где я никогда не пропускаю ни одного слова, значение которого я не знаю, и я никогда не пропускаю утверждение, которое я не могу понять, или обосновать, или понять обоснование. Как только у меня возникает вопрос типа "а почему бы это не сработать, если бы это условие не было верным", я останавливаюсь и думаю над этим, пока не пойму. Если мне нужно вернуться назад в книге или к другой книге, я делаю это, даже если это означает, что в конечном итоге я читаю книги задом наперед.

Я не всегда так работаю, и могут быть места, где это не нужно, но ваш пример точно не один из них. Предположим, вы пытаетесь изучить векторные пространства. Откровенно говоря, вы не делаете себе одолжений, если в глубине души верите, что все поля$\mathbb{R}$и все векторные пространства$\mathbb{R}^n$для некоторых небольших природных$n$. Каждый раз, когда вы что-то обосновываете или пытаетесь изобразить с помощью этой модели, вы накапливаете для себя проблемы, когда сталкиваетесь с бесконечномерными пространствами, конечными полями или пространствами над$\mathbb{C}$и ваши ментальные модели больше не работают. Не говоря уже об огромных проблемах, с которыми вы столкнулись бы, если бы имели какое-то неверное представление о поле (поле — это частный случай группы, или поле — это упорядоченное множество с некоторыми другими свойствами...) и продолжали изучать векторные пространства. какое-то время с этой неправильной картиной в уме.

Очевидно, что вы не стали бы использовать этот метод для чтения газеты или книги по истории. Если вы не знаете, что такое аркебуза, но у вас есть идея, что это какое-то оружие, вы можете также предположить, что это разновидность меча. Когда вы обнаружите, что это своего рода ружье, вы можете просто вставить это знание в понимание того, что вы читали об аркебузах. Точно так же, если вы думаете, что Висконсин находится в Канаде. Либо для рассказа не имеет значения, в какой стране он находится, либо он имеет значение, и вы достаточно быстро узнаете, где он находится, не тратя усилий на переосмысление других частей истории.

Любопытнее и любопытнее

Теперь предположим, что вы следуете моему методу. Вы начинаете исследовать поля. Информация о полях, которые вам нужны, такова:

• Вам необходимо знать аксиомы, определяющие поле. Они легко умещаются на листе блокнота большими заглавными буквами, написанными маркером. Все они в значительной степени говорят сами за себя. Знание имен (коммутативность и т. д.) будет неоценимо. Можно утверждать, что любой чистый математик должен их знать.
• Вы должны знать несколько примеров полей, например$\mathbb{Q}$,$\mathbb{R}$,$\mathbb{C}$,$\mathbb{F_p}$. Если вам доступны p-adics или другие более продвинутые поля, то тем лучше, но если нет, вы можете жить без них. Опять же, здесь нет ничего такого, чего не стоило бы знать никому в любой области чистой математики (или, другими словами, этот материал должен изучить каждый студент-математик, прежде чем он станет специализироваться).
• Вы должны знать несколько примеров вещей, которые немного похожи на поля, но не на поля. Например$\mathbb{N}$,$\mathbb{Z}$, множества вычетов по модулю составной, редуцированные множества вычетов,$\mathbb{R}^n$, логические кольца. Здесь нечему дополнительно учиться, нужно только уметь проверять, что различные объекты, о которых вы уже слышали, не удовлетворяют определению поля. Если вы не слышали о каком-то пространстве, вам не нужно знать, что это не поле. В каждом случае вы просто определяете одну строку определения, на которую вы можете указать и сказать: «Это не удается, поэтому это не поле».
• Вы должны знать некоторые теоремы о полях. В частности, вы должны знать, какие свойства «чисел» применяются ко всем полям. Это снова просто случай погони за определением поля через некоторые знания, которые у вас уже есть. Применима ли квадратичная формула в какой-либо области? Нет, потому что квадратные корни не являются частью определения. Применима ли формула решения линейного уравнения в любой области? Да, потому что мультипликативная инверсия должна существовать, потому что...
• Вы должны знать о некоторых различиях между полями. Какие поля конечны? Какие поля заполнены (если вы уже знаете, что означает «заполнено»)? Какова характеристика поля (однострочное определение)?
• Вы должны понимать, как поле имеет две встроенные в него группы.

Итак, во всем этом есть только три вещи, которые могут заставить вас затянуться еще дальше в кроличью нору.$\mathbb{C}$,$\mathbb{F}_p$, и определение группы. Все это вещи, которые должен знать каждый. В случае первых двух все, что вам нужно знать, это то, как работает структура поля, а не какие-либо другие свойства. Этому можно научиться или научиться за час (как складывать, как умножать, как делить, в$\mathbb{C}$или$\mathbb{F}_p$). Что касается групп, вам нужно знать эквивалент списка выше для полей. Но вы, честно говоря, не потратите зря время, если прочитаете целую вводную книгу о группах, подробно изучив каждое доказательство, даже если ваша цель — векторные пространства. Векторное пространство также является группой, как и половина из следующей тысячи пространств/объектов, о которых вы собираетесь узнать. Кроме того, когда вы узнаете о группах, которые вы изучаете:

• как работает абстрактная алгебра: вы не предполагаете инверсию, коммутативность и т. д., если только аксиомы не говорят, что вы можете.
• как делать логические доказательства, например, как доказать, что два множества равны
• обозначения в абстрактной алгебре, например, запись бинарных операций в виде сумм, произведений или каким-либо другим способом.
• несколько примеров групп, о которых вы сможете подумать позже, когда попытаетесь рассмотреть векторные пространства или поля в целом (например, почему вы можете добавить мультипликативную структуру к одним аддитивным группам, но не к другим).

Все это вам очень сильно поможет. Даже если вы НИКОГДА не доберетесь до векторных пространств (вы это сделаете), это того стоит. Тот, кто понимает группы, является лучшим математиком, чем тот, кто думает, что знает, что такое векторное пространство, но не понимает групп.

Теперь, вместо того, чтобы думать о$\mathbb{R}$каждый раз, когда вы читаете факты о векторном пространстве, вы можете думать о векторных пространствах над всеми известными вам полями. Вместо того, чтобы ограничивать свое воображение, вы бросаете ему вызов, чтобы понять утверждения, которые вы читаете, как можно ближе к полной общности.

Я загрузил свой пример? Если вы изучаете что-то более специализированное, то предметы «кроличьей норы» — это не то, что нужно знать всем, но это то, что вам нужно знать. Если вы изучаете броуновское движение, любой факт об элементарной вероятности, с которым вы столкнетесь, должен быть в состоянии усвоить.

У всего есть мораль, если только ты сможешь ее найти.

Когда мы говорим с профессорами и другими опытными математиками о сложных математических концепциях, они часто могут резюмировать их красивыми и убедительными обобщениями («Гармонический анализ касается двойственности между плавным поведением на малых масштабах и сходящимся поведением вблизи бесконечности»). Это часто заставляет нас волноваться, потому что мы не в состоянии сами разобраться в этих вещах, и они не фигурируют в наших элементарных учебниках.

Человек, который может сделать это обобщение, не может свободно выполнять манипуляции и решать задачи, связанные с преобразованиями Фурье, потому что он понимает, «что такое гармонический анализ». Она бегло говорит, И она может делать хорошие обобщения из-за всей работы, которую она проделала над механикой гармонического анализа, решения проблем, медленного чтения доказательств и т. д. Чтобы подражать этому человеку, мы не должны пытаться быть в состоянии чтобы резюмировать тему в аккуратном виде. Мы должны попытаться приобрести их подробные знания о механике их предмета. Как только мы это сделаем, вспышки прозрения придут сами собой.

Вы также должны знать, что некоторые гармонические аналитики могут подумать, что эта «мотивация» для гармонического анализа неверна, неуместна или тривиальна. Однако все виды гармонических аналитиков могли бы следить за работой друг друга, давая точные определения, с которыми они работают, начиная с вещей, с которыми они все согласны.

Видеть общую картину приятно, но часто можно позволить себе ее упустить. Пропустите маленькую картинку, и вы больше не занимаетесь математикой, а просто читаете о ней.

Обучение организованно (в отличие от «самостоятельного») может помочь. Планы, в каком порядке следует изучать темы, вырабатывались учителями и авторами учебников на протяжении многих лет. Попытка начать с середины (например, с «Векторного пространства»), вероятно, будет сложной.

как не попасть в математическую кроличью нору? И, в частности, как вы эффективно знакомитесь с необходимыми понятиями, чтобы перейти к темам, которые вы хотите изучить?

«кроличья нора», которую вы описываете, существует во всех областях науки и во многом является частью сложности ее узкоспециализированного характера в современную эпоху, когда могут потребоваться многие годы изучения, чтобы добраться до границ современных исследований. тем не менее, это несколько непризнано экспертами и считается неизбежным/неизбежным. (Здорово получить некоторую информацию об этой важной проблеме с вашим вопросом здесь.)

во многих отношениях это неизбежно, но вот несколько способов/стратегий, которые можно обойти.

• проблемы с игрушкой. иногда в продвинутой теории есть простые проблемы, которые решаются с помощью нескольких ключевых определений этой теории. это не означает, что они разрешимы с помощью этих частей, а только то, что они выразимы . это может быть психологическим рычагом для более глубокого изучения этой области.

• учебники вместо/против статей. учебники часто более организованы, чем статьи, имеют лучшее представление об общей карте теории и написаны для начинающих, иногда с очень тщательным описанием и порядком введения понятий (например, математический анализ). в учебниках по одному и тому же предмету может быть много различий в освещении / стиле. попытайтесь найти лучшие, а затем выберите учебник, который соответствует вашему стилю.

• «опросные листы». это статьи, которые не пытаются доказать что-либо новое, а лишь «обследуют» область. если область значительна, то обычно такие статьи существуют. их не всегда легко найти. "инсайдеры" знают о них.

• блестящие учителя-писатели. часто в области есть несколько авторов, которые известны своими описательными, а не исследовательскими навыками, и стоит сосредоточиться на их концептуализации области. в некоторых редких случаях это может перекрываться, например, приходит на ум Фейнман. (и, наоборот, может быть несколько заядлых авторитетных исследователей, которые явно мало заинтересованы в том, чтобы сделать все это понятным / доступным для неофитов или полностью игнорировать проблему, понимание их основной повестки дня может помочь избежать разочарования.)

• программы/алгоритмы. Подход к математическим предметам с точки зрения алгоритмов, которые вычисляют различные объекты, может быть полезным педагогическим подходом и приобретает все большую актуальность, поскольку некоторые ключевые продвинутые области математики / TCS начинают пересекаться. (например, область комбинаторики).

• искать дискретные версии непрерывных задач. иногда кажется, что математика становится наиболее абстрактной с непрерывными аспектами. существуют отдельные версии одной и той же проблемы, которые могут быть проще для понимания/осмысления. например, гипотеза Римана имеет много очень продвинутой непрерывной математики, связанной с дзета-функцией, но есть дискретная версия гипотезы, в которой дзета-функция даже не упоминается.

• возможно, подойти к этой области с точки зрения проблем, которые она решает / решает (также известных как «приложения»), а не с ее всеобъемлющих теорий. в более общем случае часто встречаются эквивалентные формулировки задач, одна из которых проще для понимания новичками, чем другая.

• поищите интересные «теоремы-мосты» между областями, о которых вы знаете, и областями, которые вас интересуют.

• wikipedia может быть полезной, но обратите внимание, что она часто излишне сложна/техническая в сложных областях математики/науки. временами на некоторые темы это читается так, как будто это написано экспертами для других экспертов. просмотрите ссылки в конце статьи.

• блоги, написанные экспертами, становятся все более распространенными и содержат удивительно сложные изложения, некоторые из которых даже превосходят то, что можно найти в учебниках. будет трудно найти конкретные страницы по предметам, но однажды найденные могут стать жемчужинами. используйте google и ищите только в определенном блоге, используйте их ссылки на организацию темы и т. д.

• визуальные подходы к математике. многие концепции могут быть представлены графически или иметь визуальное представление, которое может быть более доступным или интуитивно понятным для начинающих.

• иногда появляются статьи о «распространенных заблуждениях в этой области». они могут быть полезны новичкам, чтобы избежать распространенных ошибок.

Мои 2 цента: разбейте текст на куски, которые вы сможете проглотить, позволив себе несколько проходов, где с каждым разом вы принимаете все меньше и меньше на веру и интуицию. Я смутно припоминаю, что Терри Тао давал подобные советы где-то в своем блоге; надеюсь, кто-нибудь может дать ссылку.

Для элементарных тем многие из нас способны «впитать» все и сразу, все определения, примеры, теоремы, доказательства, невысказанные интуиции и т. д. В какой-то момент этого просто становится слишком много, так что единственное, что умеют математики сделать: разбить проблему на части. Получите общий обзор на первом проходе, получите представление о том, что важно на втором проходе, выясните, что вы хотите понять на третьем проходе, и итеративно разбейте те части, которые вам важны, пока не достигнете чего-то управляемого.

Предположим, что вы читаете главу с 50 утверждениями, леммами, теоремами и примерами. При первом проходе вы можете прочитать введение и очень быстро просмотреть остальное. После того, как у вас будет очень смутное представление о том, о чем эта глава, просмотрите ее еще раз, чтобы выявить важные теоремы и примеры. Здесь я иногда пишу абзац или два, резюмируя главу. (Он будет неполным и может быть сильно неправильным, и это нормально. Довольно забавно читать собственные смутные идеи после того, как я действительно понял тему.)

Теперь выясните, что вы на самом деле хотите понять; в какой-то момент просто нет времени разбираться во всех деталях, так что выбирать все равно придется. Возможно, первая половина главы доказывает теорему M, а вторая половина — теорему Y, которые вас пока не интересуют. Отлично, не нужно долго повторять леммы P, Q и R, так как они используются только во второй половине. Может быть, теорема M грубо говорит, что пример A является «единственным» примером; это действительно говорит о том, что вы должны освоиться с примером A, возможно, немного поэкспериментировать с ним на бумаге, прежде чем начинать путешествие к теореме M. Если это долгое путешествие, разбейте его на несколько проходов — возможно, начните с прочтения доказательства так что вы знаете, какие леммы важны, и сделайте еще одно грубое резюме. Возможно, упростить путь, предполагая, что абстрактный объект является чем-то конкретным, например. что общее поле просто$\mathbb{R}$. Хорошо читать нелинейно.

В конце концов вам придется на самом деле «дойти до дна» и запачкать руки техническими деталями, но, по крайней мере, для меня очень полезно иметь общее представление о том, где вещи вписываются друг в друга, прежде чем приступать к делу. В противном случае у меня нет надежды сохранить большую часть сложной темы. О, иногда я пишу себе техническое резюме, которое может быть полезным — возможно, строгие определения и формулировки ингредиентов теоремы М вместе с доказательством теоремы М своими словами с использованием этих ингредиентов. Если я действительнохочу что-то понять, я добавляю «идеи доказательства» в техническое резюме, где (в то время) я могу реконструировать строгие доказательства из моего резюме. Упражнения также могут помочь; иногда я ищу соответствующие упражнения после первых нескольких страниц, чтобы привыкнуть к основным определениям, которые являются фундаментальными для остальной части главы.

С некоторыми источниками это работает лучше, чем с другими. Если вы даже не можете начать давать туманное резюме (возможно, вы понятия не имеете, что означает какое-либо из слов), вы, вероятно, читаете что-то, написанное для экспертов, в которое вы еще не включены, поэтому более мягкое введение может быть чтобы. Всегда будьте добры к себе: написанная математика обычно является результатом многих лет (или десятилетий, или столетий) труда блестящих людей. Неудивительно, что часто требуется много времени, чтобы впитаться.

Наконец, я хотел бы отметить, что я написал этот пост примерно в том стиле, который я отстаиваю. Первый абзац представляет собой схематичный обзор основной идеи, второй дополняет некоторые детали, а с третьего по пятый «вникайте и пачкайте» с практическими советами.

То, о чем вы говорите, — это процесс обучения и любопытства .

При исследовании вы должны помнить о своей цели . Зачем вам изучать кольца, если вы просто пытаетесь реализовать БПФ? Вы не знаете. Так что вы должны знать, когда отрезать любопытство в обмен на работу по достижению поставленных целей .

Теперь, если у вас нет определенной цели в изучении математики, тогда ваша цель состояла в том, чтобы бродить по кроличьей норе. И в этом нет ничего плохого, вы станете более сильным аналитическим мыслителем, чем больше будете изучать математику.

Настоящий вопрос от ОП:

Как не попасть в математическую кроличью нору?

Ответ MJD намекает на ответ на этот вопрос: Прочтите учебник . Учебники разработаны таким образом, чтобы вводить материал в правильном порядке, не перегружая и не углубляясь в детали. Они созданы, чтобы помочь вам прогрессировать.

Знать, какой учебник читать, само по себе проблема, и для этого вам действительно следует обратиться к профессионалу (см.: спрашивать врача вместо самодиагностики). Чтобы понять, подходит ли вам учебник, просмотрите только первую главу. Если вы чувствуете, что понимаете или могли бы понять содержание этой главы, тогда вы золотой человек. Если нет, то найдите учебник, который поможет вам быстро освоить первую главу.

В вашем воображении можно визуализировать 2D или 3D пространственный объект с некоторой структурой, который состоит из абстрактного материала и ведет себя определенным образом. Например, для векторного пространства я визуализирую что-то вроде пары стрелок из точки (начала), указывающих в общем направлении (в реальном воображаемом примере направления весьма специфичны), и часть плоскости, натянутую между и немного за ними. И все это в состоянии застывшей анимации.

Когда кто-то привыкает к векторным пространствам (например), такие вещи помогают. Причина в том, что на многие вопросы обо всех векторных пространствах можно было бы ответить, рассмотрев всего один нетривиальный пример, с которым вы знакомы. Это ускоряет поиск в списке вещей, которые вы знаете, используя расширенные возможности пространственного мышления и памяти мозга.

В общем, поведение, скажем, векторного пространства бесконечно сложно. Кроличья нора бесконечна! (И распадается на экспоненциальное количество нор в зависимости от глубины). То есть, хотя определения малы и конечны, набор всех возможных вариантов поведения бесконечно сложен для таких объектов, как группы, поля, векторные пространства.

Если бы кто-то провел всю жизнь, работая с векторными пространствами, он, вероятно, имел бы в своем уме музей репрезентативных визуализированных объектов и несколько эффективных способов выбора того, что использовать для ответа на тот или иной вопрос. Некоторые люди, я почти уверен, также имеют по крайней мере еще один способ мышления, который намного быстрее, чем этот вид пространственной визуализации, но постоянно дает интуитивные ответы. Некоторые участники Международной математической олимпиады могут решать ранее невиданные задачи в десять раз быстрее, чем средний профессиональный математик, и я хотел бы знать, как это сделать. Я также читал, что некоторые (большинство?) шахматных гроссмейстеров сохраняют свой уровень производительности, когда их просят постоянно решать простые задачи во время игры в шахматы. Так что, возможно, есть еще одна форма знакомства.

Во всяком случае, чтобы ответить на вопрос:

1. Очень полезно исследовать близлежащие участки кроличьей норы. С короткой нитью Ариадны. Даже там легко пропустить интересные области, поэтому набор упражнений из классического набора конспектов лекций бесценен, чтобы быстро получить хороший охват и тренировать любую конструкцию, которую вы понимаете.

2. Если у вас есть какая-то цель, это даже лучше, и хотя некоторые чистые математики находят свою нирвану в случайном блуждании по относительно пугающим уголкам кроличьей норы (которая с глубиной становится все более ужасной и бесполезной; хотя я уверен, что есть неуловимые вены). золота и удивительных быстрых путей и т. д.), вы не ошибетесь, выбрав полезную цель из реального мира.

В молодости я много читал по математике. Я садился в стопки и просеивал книги о том, о чем я хотел узнать, пока не находил ту, которая «говорила со мной». Частью этого теста было то, смогу ли я выполнить некоторые упражнения. Как только я нашел такую ​​книгу, я просмотрел ее, выполняя столько упражнений, сколько мог. Если я не мог найти такую ​​книгу, я просто немного крутил колеса, пока мои интересы не сместились.

Этот вопрос имеет гораздо более широкое значение. «Погружение в математическую кроличью нору» просто раскрывает природу любого академического человека, а не только математика. Такого рода бесконечные вещи хороши для некоторых людей, которым нравится иметь вещи, которых они не знают, чтобы они могли продолжать делать что-то (стоит ли то, что они делают, — это совершенно другой вопрос). Однако это незаконченное дело действительно плохо для других людей, поскольку действительно неприятно осознавать, что вы никогда не сможете закончить и никогда не сможете закрыться. Будучи выпускником актуарного вуза, который пытается достаточно хорошо разбираться в математике, я считаю полезным изучение некоторых фундаментальных предметов, таких как исчисление и алгебра, без которых просто слишком сложно заниматься чем-либо еще. Также предлагаю здоровое отношение к учебе. В настоящее время междисциплинарная работа является нормой. Человек никогда не сможет приобрести все знания, необходимые для работы. Для моей собственной цели мне нужно знать только достаточно, чтобы я мог общаться со своими коллегами-математиками, что, на мой взгляд, является идеальным балансом.

Избегайте проглатывания определений и ухода от них. Хотя они создают у вас иллюзию, что вы учитесь, вы потенциально упускаете понимание и маскируете проблемы.

Я бы посоветовал прочитать некоторые университетские учебники, предназначенные для студентов первого и второго курсов математики. По моему опыту (ограниченному), они начинают с нуля и идут оттуда.

Однако, если вы не хотите тратить время на изучение книг, большинство университетов предлагают программы без получения степени. Вы можете выбрать классы, которые вы хотите, и изучить то, что вы хотите тщательно. Преимущество этого в том, что у вас будет доступ к дешевым сводкам, упражнениям и тому, кто готов вам это объяснить.

В частности, для векторных пространств подойдет любая вводная книга по линейной алгебре.

Вот мой короткий наивный ответ, не всегда возможный, но очень хороший, когда это возможно: спросите у того, кто знает и чьи педагогические способности вы уважаете. Прерывайте, когда вам нужно меньше (или больше) технической точности в его/ее ответе.

Дело в том, что вам не нужно знать, что такое поле, чтобы работать с векторными пространствами. Поле «материал» связывает векторные пространства с обобщением, которое связывает их с другими пространствами. Пропустите кроличью нору, прочитайте оставшуюся часть главы и сделайте несколько упражнений.

Вам не нужно понимать слово «напиток», чтобы проглотить Kool-Aid.

Как одна из многих «Алис» в MRH под названием stackexchange, я скорее думаю, что изучение математики без структуры похоже на пробуждение в свободном падении. Вы видите все вокруг себя, вы можете даже прийти к пониманию некоторых вещей, которые проносятся у вас в голове, но вы не можете избавиться от ощущения, что падаете. Более того, это похоже на чтение книги на иностранном языке, когда рядом есть переводная книга. Это сложно читать, но выполнимо

Я думаю, что мнение Халмоша чрезвычайно полезно в таких ситуациях: «Когда вы столкнетесь с препятствием, загадочным проходом, неразрешимой проблемой, просто пропустите ее. Перепрыгните вперед, попробуйте решить следующую задачу, переверните страницу, перейдите к следующей главе или даже бросить книгу и начать новую. Книги могут быть линейно упорядочены, но наш разум — нет».

Если вы последуете этому совету, позже вы обнаружите, что препятствие либо не важно для предмета (т. е. вы признаете, что определение «поля» не важно для линейной алгебры), либо у вас будет больше информации о проблеме, поэтому как правило, легче вернуться к этой части книги для обзора. Это сэкономит вам много времени, сосредоточившись на несущественных деталях, и лучше для целостного понимания предмета.

Наконец, если вы обнаружили, что пропускаете слишком много, вероятно, стоит подумать о том, подходит ли вам эта книга (или предмет). Спросите профессора, который знает ваш опыт, или посмотрите обзоры книг на stackexchange. С учетом сказанного я не думаю, что у линейной алгебры есть такая проблема, и все, что вам нужно, — это хорошая книга, которая соответствует вашему способу обучения.

Я не силен в алгебре, но, насколько я могу вам сказать, это то, что когда вам это нужно, вы это получите. «глубокие вещи» существуют только как ответы на более глубокие вопросы, и этот вид обучения, по-видимому, систематичен во все времена. Заманчиво покопаться в Википедии, но ранее было сказано, что вы здесь действуете как алгоритм посетителя графа: посещаете соседние узлы и складываете предыдущие. Обратите также внимание на то, что Википедия превращается в монстра — авторов больше заботит полнота, чем аудитория. И эта полнота в математическом смысле есть... формальность и многословие!!! Вот почему нам нужны книги и упражнения. После множества упражнений ваш мозг спросит: «Почему я каким-то образом не организую или не свяжу эти математические объекты»… а затем вы идете в Википедию в поисках ответов, чтобы узнать, что это сделал другой набор мозгов. А потом вы подтверждаете, что понимаете 5 или 6 гиперссылок, и говорите: «Спасибо, Википедия! Без тебя это было бы невозможно» :P