Получите лагранжиан из системы связанных уравнений [закрыто]

ОСНОВНОЙ РАЗДЕЛ: Лагранжиан

Выразим уравнения движения и уравнения Эйлера-Лагранжа с нулевыми правыми частями

$$\begin{equation} \bbox[#FFFF88,12px]{\ddot{Q}_{k}+\omega^{2}_{k}Q_{k}-2\dfrac{\dot{q}}{q}\sum_{j}g_{kj}\dot{Q}_{j}-\dfrac{\ddot{q}q-\dot{q}^{2}}{q^{2}}\sum_{j}g_{kj}Q_{j}-\dfrac{\dot{q}^{2}}{q^{2}}\sum_{j\ell}g_{jk}g_{j\ell}Q_{\ell}=0} \tag{01a} \end{equation}$$

$$\begin{equation} \bbox[#FFFF88,12px]{m\ddot{q}+\dfrac{\partial V(q)}{\partial q}-\dfrac{1}{q}\sum_{k,j}(-1)^{k+j}\omega_{k}\omega_{j}Q_{k}Q_{j}=0} \tag{01b} \end{equation}$$

$$\begin{equation} \bbox[#E1FFFF,12px]{\dfrac{d}{dt}\left( \dfrac{\partial L}{\partial \dot{Q}_{k}}\right)-\dfrac{\partial L}{\partial Q_{k}}=0} \tag{02a} \end{equation}$$

$$\begin{equation} \bbox[#E1FFFF,12px]{\dfrac{d}{dt}\left( \dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right)-\dfrac{\partial L}{\partial q}=0} \tag{02b} \end{equation}$$

где$\:L\left(q,\dot{q},Q_{k},\dot{Q}_{k}\right)\:$лагранжиан.

Мы переходим к следующим определениям, чтобы обрабатывать большое количество переменных и индексов с помощью сжатых упрощенных выражений:

$$\begin{equation} \mathbf{Q}\stackrel{\text{def}}{\equiv} \begin{bmatrix} Q_{1}\\ Q_{2}\\ \vdots\\ Q_{k}\\ \vdots\\ \end{bmatrix} \qquad \mathbf{\dot{Q}}\stackrel{\text{def}}{\equiv} \begin{bmatrix} \dot{Q}_{1}\\ \dot{Q}_{2}\\ \vdots\\ \dot{Q}_{k}\\ \vdots\\ \end{bmatrix} \qquad \mathbf{\ddot{Q}}\stackrel{\text{def}}{\equiv} \begin{bmatrix} \ddot{Q}_{1}\\ \ddot{Q}_{2}\\ \vdots\\ \ddot{Q}_{k}\\ \vdots\\ \end{bmatrix} \tag{03} \end{equation}$$

$$\begin{equation} \mathrm{G} \stackrel{\text{def}}{\equiv} \begin{bmatrix} 0& g_{12} & g_{13} & \cdots & g_{1k} & \cdots \\ g_{21} & 0 & g_{23} & \cdots & g_{2k} & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\ g_{k1} & g_{k2} & g_{k3} & \cdots & 0 & \cdots\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \end{bmatrix} =-\mathrm{G}^{\rm{T}} \tag{04} \end{equation}$$

$$\begin{equation} \Omega\left(q\right)\stackrel{\text{def}}{\equiv} \begin{bmatrix} \omega_{1} & 0 & \cdots & 0 & \cdots \\ 0 & \omega_{2} & \cdots & 0 & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & \omega_{k}& \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \end{bmatrix} = \dfrac{\pi}{q} \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 & \cdots \\ 0 & 2 & \cdots & 0 & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & k & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \end{bmatrix} =\Omega^{\rm{T}}\left(q\right) \tag{05} \end{equation}$$

$$\begin{equation} \phi\left(q,\dot{q}\right)\stackrel{\text{def}}{\equiv}\dfrac{\dot{q}}{q} \tag{06} \end{equation}$$

Мы также определяем действительный скаляр ниже, что-то вроде внутреннего произведения действительных векторов.

$$\begin{equation} \boldsymbol{<}\mathbf{Q},\mathbf{P}\boldsymbol{>}\stackrel{\text{def}}{\equiv} \sum_{k}Q_{k}P_{k} \tag{07} \end{equation}$$

При этих определениях и использовании уравнений (A-01), см. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЙ РАЗДЕЛ, мы имеем следующие выражения (08) вместо уравнений движения (01) и (09) вместо (02):

$$\begin{equation} \mathbf{\ddot{Q}}+\Omega^{2}\left(q\right)\mathbf{Q}-2\phi\left(q,\dot{q}\right)\mathrm{G}\mathbf{\dot{Q}}-\dot{\phi}\left(q,\dot{q}\right)\mathrm{G}\mathbf{Q}+\phi^{2}\left(q,\dot{q}\right)\rm{G}^{2}\mathbf{Q}=\mathbf{0} \tag{08a} \end{equation}$$

$$\begin{equation} m\ddot{q}+\dfrac{\partial V(q)}{\partial q}-\dfrac{1}{q}\boldsymbol{<}\Omega^{2}\left(q\right)\mathbf{Q},\mathbf{Q}\boldsymbol{>}+\dfrac{1}{q}\boldsymbol{<}\Omega^{2}\left(q\right)\mathbf{Q},\mathrm{G}\mathbf{Q}\boldsymbol{>}=0 \tag{08b} \end{equation}$$ $$\begin{equation} \dfrac{d}{dt}\left( \dfrac{\partial L}{\partial \mathbf{\dot{Q}}}\right)-\dfrac{\partial L}{\partial \mathbf{Q}}=\mathbf{0} \tag{09a} \end{equation}$$ $$\begin{equation} \dfrac{d}{dt}\left( \dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right)-\dfrac{\partial L}{\partial q}=0 \tag{09b} \end{equation}$$ в то время как лагранжиан системы, см. уравнение (3.1) в вопросе, с использованием уравнений (A-02) выражается как $$\begin{equation} \begin{split} & L\left(q,\dot{q},\mathbf{Q},\mathbf{\dot{Q}}\right)=\\ &\dfrac{1}{2}\boldsymbol{<}\mathbf{\dot{Q}}, \mathbf{\dot{Q}}\boldsymbol{>}-\dfrac{1}{2}\boldsymbol{<}\Omega^{2}\left(q\right)\mathbf{Q},\mathbf{Q}\boldsymbol{>}+\dfrac{1}{2}m\dot{q}^{2}-V(q)-\phi\boldsymbol{<}\mathrm{G}\mathbf{Q}, \mathbf{\dot{Q}}\boldsymbol{>}-\dfrac{1}{2}\phi^{2}\boldsymbol{<}\mathrm{G}^{2}\mathbf{Q},\mathbf{Q}\boldsymbol{>} \end{split} \nonumber \end{equation}$$ $$\begin{equation} \text{-----------------------------------------------------------} \tag{10} \end{equation}$$ и в еще более компактном виде $$\begin{equation} L\left(q,\dot{q},\mathbf{Q},\mathbf{\dot{Q}}\right)= \dfrac{1}{2}\left(\left\Vert \phi\mathrm{G}\mathbf{Q}-\mathbf{\dot{Q}}\right\Vert^{2}-\left\Vert\Omega\mathbf{Q}\right\Vert^{2} \right)+\dfrac{1}{2}m\dot{q}^{2}-V \tag{10$\;^{\boldsymbol{\prime}}$} \end{equation}$$ Попробуем построить лагранжиан шаг за шагом методом проб и ошибок.

Итак, мы ожидаем, что 1-й член уравнения (08a) будет исходить из лагранжевой части$\:L_{1}\left(\mathbf{\dot{Q}}\right)\:$такое, что в силу (09а)

$$\begin{equation} \dfrac{d}{dt}\left( \dfrac{\partial L_{1}}{\partial \mathbf{\dot{Q}}}\right)= \mathbf{\ddot{Q}}\Longrightarrow \dfrac{\partial L_{1}}{\partial \mathbf{\dot{Q}}}=\mathbf{\dot{Q}} \tag{11} \end{equation}$$ Из правила (A-3.d) см. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЙ РАЗДЕЛ, $\:L_{1}\:$является $$\begin{equation} L_{1}\left(\mathbf{\dot{Q}}\right)=\dfrac{1}{2}\boldsymbol{<}\mathbf{\dot{Q}}, \mathbf{\dot{Q}}\boldsymbol{>} \tag{12} \end{equation}$$ с $$\begin{equation} \dfrac{\partial\left(\boldsymbol{<}\mathbf{\dot{Q}}, \mathbf{\dot{Q}}\boldsymbol{>}\right)}{\partial\mathbf{\dot{Q}}}=2\mathbf{\dot{Q}} \tag{13} \end{equation}$$

Для 2-го члена уравнения (08а) мы ожидаем, что лагранжева часть$\:L_{2}\left(q,\mathbf{Q}\right)\:$такое, что в силу (09а)

$$\begin{equation} -\dfrac{\partial L_{2}}{\partial \mathbf{Q}}= \Omega^{2}\left(q\right)\mathbf{Q} \tag{14} \end{equation}$$ так $$\begin{equation} L_{2}\left(q,\mathbf{Q}\right)=-\dfrac{1}{2}\boldsymbol{<}\Omega^{2}\left(q\right)\mathbf{Q},\mathbf{Q}\boldsymbol{>} \tag{15} \end{equation}$$ поскольку из правила (A-3.c) и симметричной (точнее: диагональной) матрицы $\:\Omega^{2}=\left(\Omega^{2}\right)^{\rm{T}}\:$ $$\begin{equation} \dfrac{\partial\left(\boldsymbol{<}\Omega^{2}\mathbf{Q}, \mathbf{Q}\boldsymbol{>}\right)}{\partial\mathbf{Q}}=\left[\Omega^{2}+\left(\Omega^{2}\right)^{\rm{T}}\right]\mathbf{Q}=2\Omega^{2}\mathbf{Q} \tag{16} \end{equation}$$ Но так как лагранжева часть $\:L_{2}\left(q,\mathbf{Q}\right)\:$является функцией $\:q\:$кроме того, он производит элементы в уравнениях движения, если вставить их во 2-й член (09b): $$\begin{equation} -\dfrac{\partial L_{2}}{\partial q}=+\dfrac{1}{2}\dfrac{\partial\left(\boldsymbol{<}\Omega^{2}\mathbf{Q}, \mathbf{Q}\boldsymbol{>}\right)}{\partial\mathbf{Q}}=+\boldsymbol{<}\Omega \dfrac{\partial \Omega}{\partial q} \mathbf{Q},\mathbf{Q}\boldsymbol{>}=-\dfrac{1}{q}\boldsymbol{<}\Omega^{2}\left(q\right)\mathbf{Q},\mathbf{Q}\boldsymbol{>} \tag{17} \end{equation}$$ это точно 3-й член в уравнении (08b).

С другой стороны, первые два члена (08b) относятся к частице, движущейся в потенциале, поэтому они происходят из лагранжевой части$\:L_{3}\left(q,\dot{q}\right)\:$:

$$\begin{equation} L_{3}\left(q,\dot{q}\right)=\dfrac{1}{2}m\dot{q}^{2}-V(q) \tag{18} \end{equation}$$ Эта часть $\:L_{3}\left(q,\dot{q}\right)\:$если его вставить в (9а), он ничего не даст (ни одного члена в уравнениях движения). Теперь в (08a) половина 3-го члена и 4-й член дают $$\begin{equation} -\phi\left(q,\dot{q}\right)\mathrm{G}\mathbf{\dot{Q}}-\dot{\phi}\left(q,\dot{q}\right)\mathrm{G}\mathbf{Q}=\dfrac{d}{dt}\left(-\phi\mathrm{G}\mathbf{Q}\right) \tag{19} \end{equation}$$ поэтому мы ожидаем лагранжевой части $\:L_{4}\left(q,\dot{q},\mathbf{Q},\mathbf{\dot{Q}}\right)\:$такое, что в силу (09а) $$\begin{equation} \dfrac{\partial L_{4}}{\partial \mathbf{\dot{Q}}}= -\phi\left(q,\dot{q}\right)\mathrm{G}\mathbf{Q} \tag{20} \end{equation}$$ то есть $$\begin{equation} L_{4}\left(q,\dot{q},\mathbf{Q},\mathbf{\dot{Q}}\right)=-\phi\left(q,\dot{q}\right)\boldsymbol{<}\mathrm{G}\mathbf{Q}, \mathbf{\dot{Q}}\boldsymbol{>} \tag{21} \end{equation}$$ Но из-за антисимметрии $\:\mathrm{G}\;$, эта часть может быть выражена также как $$\begin{equation} L_{4}\left(q,\dot{q},\mathbf{Q},\mathbf{\dot{Q}}\right)=+\phi\left(q,\dot{q}\right)\boldsymbol{<}\mathrm{G} \mathbf{\dot{Q}},\mathbf{Q}\boldsymbol{>} \tag{22} \end{equation}$$ поэтому вставив это во 2-й член (09a) $$\begin{equation} -\dfrac{\partial L_{4}}{\partial \mathbf{Q}}= -\phi\left(q,\dot{q}\right)\mathrm{G}\mathbf{\dot{Q}} \tag{23} \end{equation}$$ что является другой половиной третьего члена в (08a). Это значит, что $\:L_{4}\:$, если вставить в (09a), дает 3-й и 4-й члены (08a) $$\begin{equation} \dfrac{d}{dt}\left( \dfrac{\partial L_{4}}{\partial \mathbf{\dot{Q}}}\right)-\dfrac{\partial L_{4}}{\partial \mathbf{Q}}=-2\phi\left(q,\dot{q}\right)\mathrm{G}\mathbf{\dot{Q}}-\dot{\phi}\left(q,\dot{q}\right)\mathrm{G}\mathbf{Q} \tag{24} \end{equation}$$ Результат вставки $\:L_{4}\:$в (09b) будет рассмотрен позже вместе с $\:L_{5}\:$. 5-й член (08a) может быть получен из лагранжевой части $\:L_{5}\left(q,\dot{q},\mathbf{Q},\mathbf{\dot{Q}}\right)\:$такое, что в силу (09а)
$$\begin{equation} -\dfrac{\partial L_{5}}{\partial \mathbf{Q}}=\phi^{2}\left(q,\dot{q}\right)\mathrm{G}^{2}\mathbf{Q} \tag{25} \end{equation}$$ так $$\begin{equation} L_{5}\left(q,\dot{q},\mathbf{Q},\mathbf{\dot{Q}}\right)=-\dfrac{1}{2}\phi^{2}\boldsymbol{<}\mathrm{G}^{2}\mathbf{Q},\mathbf{Q}\boldsymbol{>} \tag{26} \end{equation}$$ поскольку из (A-03.c) и симметрии $\:\mathrm{G}^{2}\:$ $$\begin{equation} \dfrac{\partial\left(\boldsymbol{<}\mathrm{G}^{2}\mathbf{Q},\mathbf{Q}\boldsymbol{>}\right)}{\partial \mathbf{Q}}=\left(\mathrm{G}^{2}+\left(\mathrm{G}^{2}\right)^{\rm{T}}\right)\mathbf{Q}=2\mathrm{G}^{2}\mathbf{Q} \tag{27} \end{equation}$$ Можно доказать (см. раздел ДОКАЗАТЕЛЬСТВО), что сумма $\:L_{45}=L_{4}+L_{5}\:$ $$\begin{equation} L_{45}\left(q,\dot{q},\mathbf{Q},\mathbf{\dot{Q}}\right)=L_{4}+L_{5}=-\dfrac{1}{2}\phi^{2}\boldsymbol{<}\mathrm{G}^{2}\mathbf{Q},\mathbf{Q}\boldsymbol{>}-\phi\left(q,\dot{q}\right)\boldsymbol{<}\mathrm{G}\mathbf{Q}, \mathbf{\dot{Q}}\boldsymbol{>} \tag{28} \end{equation}$$ если вставить в (09b), получится 4-й член (08b) $$\begin{equation} \dfrac{d}{dt}\left( \dfrac{\partial L_{45}}{\partial \dot{q}}\right)-\dfrac{\partial L_{45}}{\partial q}=+\dfrac{1}{q}\boldsymbol{<}\Omega^{2}\left(q\right)\mathbf{Q},\mathrm{G}\mathbf{Q}\boldsymbol{>} \tag{29} \end{equation}$$

В уравнении (30) ниже мы суммируем найденные части лагранжиана, и окончательный лагранжиан равен

$$\begin{equation} \begin{split} & L\left(q,\dot{q},\mathbf{Q},\mathbf{\dot{Q}}\right)=\\ &\underbrace{\dfrac{1}{2}\boldsymbol{<}\mathbf{\dot{Q}}, \mathbf{\dot{Q}}\boldsymbol{>}}_{L_{1}}\underbrace{-\dfrac{1}{2}\boldsymbol{<}\Omega^{2}\left(q\right)\mathbf{Q},\mathbf{Q}\boldsymbol{>}}_{L_{2}}\underbrace{+\dfrac{1}{2}m\dot{q}^{2}-V(q)}_{L_{3}}\underbrace{-\phi\boldsymbol{<}\mathrm{G}\mathbf{Q}, \mathbf{\dot{Q}}\boldsymbol{>}}_{L_{4}}\underbrace{-\dfrac{1}{2}\phi^{2}\boldsymbol{<}\mathrm{G}^{2}\mathbf{Q},\mathbf{Q}\boldsymbol{>}}_{L_{5}} \end{split} \nonumber \end{equation}$$ $$\begin{equation} \text{-----------------------------------------------------------} \tag{30} \end{equation}$$ идентичное приведенному в статье уравнению (10).

Уравнения (31) представляют собой уравнения движения (08) со скобками под указанными пунктами, из которых лагранжевы члены$\:L_{m}\:$эти предметы происходят из:

$$\begin{equation} \underbrace{\mathbf{\ddot{Q}}}_{L_{1}}\underbrace{+\Omega^{2}\left(q\right)\mathbf{Q}}_{L_{2}}\underbrace{-2\phi\left(q,\dot{q}\right)\mathrm{G}\mathbf{\dot{Q}}-\dot{\phi}\left(q,\dot{q}\right)\mathrm{G}\mathbf{Q}}_{L_{4}}\underbrace{+\phi^{2}\left(q,\dot{q}\right)\rm{G}^{2}\mathbf{Q}}_{L_{5}}=\mathbf{0} \tag{31a} \end{equation}$$ $$\begin{equation} \underbrace{m\ddot{q}+\dfrac{\partial V(q)}{\partial q}}_{L_{3}}\underbrace{-\dfrac{1}{q}\boldsymbol{<}\Omega^{2}\left(q\right)\mathbf{Q},\mathbf{Q}\boldsymbol{>}}_{L_{2}}\underbrace{+\dfrac{1}{q}\boldsymbol{<}\Omega^{2}\left(q\right)\mathbf{Q},\mathrm{G}\mathbf{Q}\boldsymbol{>}}_{L_{4}+L_{5}}=0 \tag{31b} \end{equation}$$
Заметим, что канонические импульсы $\:\mathbf{P},p\:$сопряжено с $\:\mathbf{Q},q\:$соответственно
$$\begin{align} \mathbf{P}&=\dfrac{\partial L}{\partial \mathbf{\dot{Q}}}=\mathbf{\dot{Q}}-\frac{\dot{q}}{q}\mathrm{G}\mathbf{Q} \tag{32a}\\ p&=\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}}=m\dot{q}-\dfrac{1}{q}\boldsymbol{<}\mathrm{G}\mathbf{Q},\mathbf{P}\boldsymbol{>} \tag{32b} \end{align}$$ где для доказательства (32b) $$\begin{align} p&=\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}}=m\dot{q}-\dfrac{1}{q}\boldsymbol{<}\mathrm{G}\mathbf{Q}, \mathbf{\dot{Q}}\boldsymbol{>}-\frac{\dot{q}}{q^{2}}\boldsymbol{<}\mathrm{G}^{2}\mathbf{Q},\mathbf{Q}\boldsymbol{>} \nonumber\\ &=m\dot{q}-\dfrac{1}{q}\boldsymbol{<}\mathrm{G}\mathbf{Q}, \mathbf{\dot{Q}}\boldsymbol{>}+\frac{\dot{q}}{q^{2}}\boldsymbol{<}\mathrm{G}\mathbf{Q},\mathrm{G}\mathbf{Q}\boldsymbol{>} \nonumber\\ &=m\dot{q}-\dfrac{1}{q}\boldsymbol{<}\mathrm{G}\mathbf{Q}, \underbrace{\mathbf{\dot{Q}}-\frac{\dot{q}}{q}\mathrm{G}\mathbf{Q}}_{\mathbf{P}}\boldsymbol{>}=m\dot{q}-\dfrac{1}{q}\boldsymbol{<}\mathrm{G}\mathbf{Q},\mathbf{P}\boldsymbol{>} \tag{32b$\;^{\boldsymbol{\prime}}$} \end{align}$$ Уравнения (32a) и (32b) идентичны уравнениям (3.3) и (3.4) статьи соответственно, приведенным ниже. $$\begin{align} P_{k}&=\dot{Q}_{k}-\frac{\dot{q}}{q}\sum_{j}g_{kj}Q_{j} \tag{3.3}\\ p&=m\dot{q}-\dfrac{1}{q}\sum_{jk}g_{kj}P_{k}Q_{j} \tag{3.4} \end{align}$$

---

ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЙ РАЗДЕЛ: Сжатые упрощенные выражения и правила частичного дифференцирования

Уравнения (A-01) полезны для преобразования уравнений движения из формы (01) в форму (08):

$$\begin{align} &\omega^{2}_{k}Q_{k}=\left[\Omega^{2}\left(q\right)\mathbf{Q}\right]_{k} \tag{A-01.a}\\ &\sum_{j}g_{kj}Q_{j}=\left[\mathrm{G}\mathbf{Q}\right]_{k} \tag{A-01.b}\\ &\sum_{j}g_{kj}\dot{Q}_{j}=\left[\mathrm{G}\mathbf{\dot{Q}}\right]_{k} \tag{A-01.c}\\ &\sum_{j\ell}g_{jk}g_{j\ell}Q_{\ell}=-\sum_{\ell}\left(\sum_{j}g_{kj}g_{j\ell}\right)Q_{\ell}=-\sum_{\ell}\left( \mathrm{G}^{2}\right)_{k\ell}Q_{\ell}=-\left(\mathrm{G}^{2}\mathbf{Q}\right)_{k} \tag{A-01.d}\\ &\dfrac{\ddot{q}q-\dot{q}^{2}}{q^{2}}=\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{\dot{q}}{q}\right)=\dfrac{d\phi\left(q,\dot{q}\right)}{dt}=\dot{\phi}\left(q,\dot{q}\right) \tag{A-01.e}\\ &\sum_{k,j}(-1)^{k+j}\omega_{k}\omega_{j}Q_{k}Q_{j}=\boldsymbol{<}\Omega^{2}\left(q\right)\mathbf{Q},\mathbf{Q}\boldsymbol{>}-\boldsymbol{<}\Omega^{2}\left(q\right)\mathbf{Q},\mathrm{G}\mathbf{Q}\boldsymbol{>} \tag{A-01.f} \end{align}$$ Доказательство (A-01.f) выполняется следующим образом. $$\begin{equation} \sum_{k,j}(-1)^{k+j}\omega_{k}\omega_{j}Q_{k}Q_{j}=\underbrace{\sum_{k}\omega^{2}_{k}Q^{2}_{k}}_{\boldsymbol{<}\Omega^{2}\left(q\right)\mathbf{Q},\mathbf{Q}\boldsymbol{>}}+\underbrace{\sum_{k,j\ne k}(-1)^{k+j}\omega_{k}\omega_{j}Q_{k}Q_{j}}_{-\boldsymbol{<}\Omega^{2}\left(q\right)\mathbf{Q},\mathrm{G}\mathbf{Q}\boldsymbol{>}} \tag{A-01.f$\;^{\boldsymbol{\prime}}$} \end{equation}$$ с $$\begin{align} &\sum_{k,j\ne k}(-1)^{k+j}\omega_{k}\omega_{j}Q_{k}Q_{j}=\left(\dfrac{\pi}{q}\right)^{2}\sum_{k,j\ne k}(-1)^{k+j}kjQ_{k}Q_{j}= \nonumber\\ &\left(\dfrac{\pi}{q}\right)^{2}\sum_{k,j\ne k}\underbrace{(-1)^{k+j}\dfrac{2kj}{j^{2}-k^{2}}}_{g_{kj}}\dfrac{j^{2}-k^{2}}{2}Q_{k}Q_{j}=\dfrac{1}{2}\sum_{k,j}g_{kj}\left(\omega^{2}_{j}-\omega^{2}_{k}\right)Q_{k}Q_{j}= \nonumber\\ &-\dfrac{1}{2}\sum_{j}\underbrace{\left(\omega^{2}_{j}Q_{j}\right)}_{\left[\Omega^{2}\left(q\right)\mathbf{Q}\right]_{j}}\overbrace{\sum_{k}g_{jk}Q_{k}}^{\left[\mathrm{G}\mathbf{Q}\right]_{j}}-\dfrac{1}{2}\sum_{k}\underbrace{\left(\omega^{2}_{k}Q_{k}\right)}_{\left[\Omega^{2}\left(q\right)\mathbf{Q}\right]_{k}}\overbrace{\sum_{j}g_{kj}Q_{j}}^{\left[\mathrm{G}\mathbf{Q}\right]_{k}}=-\boldsymbol{<}\Omega^{2}\left(q\right)\mathbf{Q},\mathrm{G}\mathbf{Q}\boldsymbol{>} \tag{A-01.f\;$^{\boldsymbol{\prime\prime}}$} \nonumber \end{align}$$ $$\begin{equation} \text{-----------------------------------------------------------} \tag{A-01.f$\;^{\boldsymbol{\prime\prime}}$} \end{equation}$$

Уравнения (A-02) и (A-03) полезны для преобразования лагранжиана из формы (3.1), см. соответствующее уравнение, в форму (10) и для пошагового построения этого лагранжиана из уравнения движения (08) :

$$\begin{align} &\sum_{k}\dot{Q}_{k}^{2}=\boldsymbol{<}\mathbf{\dot{Q}}, \mathbf{\dot{Q}}\boldsymbol{>}=\left\Vert\mathbf{\dot{Q}}\right\Vert^{2} \tag{A-02.a}\\ &\sum_{k}\omega_{k}^{2}(q)Q_{k}^{2}=\boldsymbol{<} \Omega^{2}\mathbf{Q}, \mathbf{Q}\boldsymbol{>}=\boldsymbol{<} \Omega\mathbf{Q},\Omega^{\rm{T}} \mathbf{Q}\boldsymbol{>}=\boldsymbol{<} \Omega\mathbf{Q},\Omega\mathbf{Q}\boldsymbol{>}=\left\Vert\Omega\mathbf{Q}\right\Vert^{2} \tag{A-02.b}\\ &\sum_{j,k}g_{kj}\dot{Q}_{k}Q_{j}=\boldsymbol{<}\mathrm{G}\mathbf{Q}, \mathbf{\dot{Q}}\boldsymbol{>}=-\boldsymbol{<}\mathrm{G}\mathbf{\dot{Q}}, \mathbf{Q}\boldsymbol{>} \tag{A-02.c}\\ &\sum_{j,k,\ell}g_{kj}g_{k\ell}Q_{\ell}Q_{j}=-\boldsymbol{<}\mathrm{G}^{2}\mathbf{Q},\mathbf{Q}\boldsymbol{>}=\boldsymbol{<}\mathrm{G}\mathbf{Q},\mathrm{G}\mathbf{Q}\boldsymbol{>}=\left\Vert\mathrm{G}\mathbf{Q}\right\Vert^{2} \tag{A-02.d} \end{align}$$ Уравнения (A-02.c) и (A-02.d) доказываются соответственно следующим образом. $$\begin{align} &\sum_{j,k}g_{kj}\dot{Q}_{k}Q_{j}=\sum_{k}\left(\sum_{j}g_{kj}Q_{j}\right)\dot{Q}_{k}=\sum_{k}\left[\mathrm{G}\mathbf{Q}\right]_{k}\left[\mathbf{\dot{Q}}\right]_{k}= \nonumber\\ &\boldsymbol{<}\mathrm{G}\mathbf{Q}, \mathbf{\dot{Q}}\boldsymbol{>}=\boldsymbol{<}\mathbf{Q}, \mathrm{G}^{\rm{T}}\mathbf{\dot{Q}}\boldsymbol{>}=\boldsymbol{<}\mathbf{Q}, -\mathrm{G}\mathbf{\dot{Q}}\boldsymbol{>}=-\boldsymbol{<}\mathrm{G}\mathbf{\dot{Q}}, \mathbf{Q}\boldsymbol{>} \tag{A-02.c$\;^{\boldsymbol{\prime}}$} \end{align}$$ $$\begin{align} &\sum_{j,k,\ell}g_{kj}g_{k\ell}Q_{\ell}Q_{j}=\sum_{k}\left(\sum_{j}g_{kj}Q_{j}\right)\left(\sum_{\ell}g_{k \ell}Q_{\ell}\right)=\sum_{k}\left[\mathrm{G}\mathbf{Q}\right]_{k}\left[\mathrm{G}\mathbf{Q}\right]_{k} \nonumber\\ &=\boldsymbol{<}\mathrm{G}\mathbf{Q},\mathrm{G}\mathbf{Q}\boldsymbol{>}=\boldsymbol{<}\mathrm{G}^{\rm{T}}\mathrm{G}\mathbf{Q},\mathbf{Q}\boldsymbol{>}=-\boldsymbol{<}\mathrm{G}^{2}\mathbf{Q},\mathbf{Q}\boldsymbol{>} \tag{A-02.d$\;^{\boldsymbol{\prime}}$} \end{align}$$

Уравнения (A-03) ниже в некотором смысле являются правилами частичного дифференцирования скалярной функции векторной переменной.$\:\mathbf{S}\:$относительно этой переменной. Скалярные функции обычно являются внутренними произведениями, а переменный вектор равен$\:\mathbf{S}=\mathbf{Q}\;\text{or}\;\mathbf{\dot{Q}}\:$. В следующих$\:\mathbf{A},\mathbf{R}\:$являются векторами и$\:\mathrm{F}\:$линейное преобразование, все они не зависят от переменного вектора$\:\mathbf{S}\:$. Обычно$\:\mathrm{F}=\Omega,\Omega^{2},\mathrm{G},\mathrm{G}^{2}\:$:

$$\begin{align} &\dfrac{\partial\left( \boldsymbol{<}\mathbf{A},\mathbf{S}\boldsymbol{>}\right)}{\partial \mathbf{S}}=\dfrac{\partial\left( \boldsymbol{<}\mathbf{S},\mathbf{A}\boldsymbol{>}\right)}{\partial \mathbf{S}} =\mathbf{A} \tag{A-03.a}\\ &\dfrac{\partial\left( \boldsymbol{<}\mathbf{R},\mathrm{F}\mathbf{S}\boldsymbol{>}\right)}{\partial \mathbf{S}}=\dfrac{\partial\left( \boldsymbol{<}\mathrm{F}^{\rm{T}}\mathbf{R},\mathbf{S}\boldsymbol{>}\right)}{\partial \mathbf{S}} =\mathrm{F}^{\rm{T}}\mathbf{R} \tag{A-03.b}\\ &\dfrac{\partial\left( \boldsymbol{<}\mathrm{F}\mathbf{S},\mathbf{S}\boldsymbol{>}\right)}{\partial \mathbf{S}}=\left(\mathrm{F}+\mathrm{F}^{\rm{T}}\right)\mathbf{S} \tag{A-03.c}\\ &\dfrac{\partial\left( \boldsymbol{<}\mathbf{S},\mathbf{S}\boldsymbol{>}\right)}{\partial \mathbf{S}}=2 \mathbf{S} \tag{A-03.d} \end{align}$$ (A-03.b) является частным случаем (A-03.a) с $\:\mathbf{A}=\mathrm{F}^{\rm{T}}\mathbf{R}\:$и (A-03.d) является частным случаем (A-03.c) с $\:\mathrm{F}=\mathrm{I}\:$.

Идентичность, полезная в следующем разделе,

$$\begin{equation} \mathrm{G}^{\rm{T}}=-\mathrm{G} \:\Longrightarrow \: \boldsymbol{<}\mathrm{G}\mathbf{S},\mathbf{S}\boldsymbol{>}=0, \quad \text{for any real vector }\: \mathbf{S} \tag{A-04} \end{equation}$$ с $$\begin{equation} \boldsymbol{<}\mathrm{G}\mathbf{S},\mathbf{S}\boldsymbol{>}=\boldsymbol{<}\mathbf{S},\mathrm{G}^{\rm{T}}\mathbf{S}\boldsymbol{>}=\boldsymbol{<}\mathbf{S},\left(-\mathrm{G}\right)\mathbf{S}\boldsymbol{>}=-\boldsymbol{<}\mathrm{G}\mathbf{S},\mathbf{S}\boldsymbol{>} \tag{A-04$\;^{\boldsymbol{\prime}}$} \end{equation}$$

---

РАЗДЕЛ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА: Доказательство уравнения (29) с учетом уравнения (28).

Мы докажем уравнение (29) из (28), два уравнения повторены здесь для удобства.

$$\begin{equation} \dfrac{d}{dt}\left( \dfrac{\partial L_{45}}{\partial \dot{q}}\right)-\dfrac{\partial L_{45}}{\partial q}=+\dfrac{1}{q}\boldsymbol{<}\Omega^{2}\left(q\right)\mathbf{Q},\mathrm{G}\mathbf{Q}\boldsymbol{>} \tag{29} \end{equation}$$ где $$\begin{equation} L_{45}\left(q,\dot{q},\mathbf{Q},\mathbf{\dot{Q}}\right)\stackrel{\text{def}}{\equiv}-\dfrac{1}{2}\phi^{2}\left(q,\dot{q}\right)\boldsymbol{<}\mathrm{G}^{2}\mathbf{Q},\mathbf{Q}\boldsymbol{>}-\phi\left(q,\dot{q}\right)\boldsymbol{<}\mathrm{G}\mathbf{Q}, \mathbf{\dot{Q}}\boldsymbol{>} \tag{28} \end{equation}$$

$$\begin{align} -\dfrac{\partial L_{45}}{\partial q}&=\phi\dfrac{\partial \phi}{\partial q}\boldsymbol{<}\mathrm{G}^{2}\mathbf{Q},\mathbf{Q}\boldsymbol{>}+\dfrac{\partial \phi}{\partial q}\boldsymbol{<}\mathrm{G}\mathbf{Q},\mathbf{\dot{Q}}\boldsymbol{>} \nonumber\\ &=\left(\dfrac{\dot{q}}{q}\right)\dfrac{\partial \left(\dfrac{\dot{q}}{q}\right)}{\partial q}\boldsymbol{<}\mathrm{G}^{2}\mathbf{Q},\mathbf{Q}\boldsymbol{>}+\dfrac{\partial \left(\dfrac{\dot{q}}{q}\right)}{\partial q}\boldsymbol{<}\mathrm{G}\mathbf{Q},\mathbf{\dot{Q}}\boldsymbol{>} \nonumber \end{align}$$ так $$\begin{equation} -\dfrac{\partial L_{45}}{\partial q}=\left(-\dfrac{\dot{q}^{2}}{q^{3}}\right)\boldsymbol{<}\mathrm{G}^{2}\mathbf{Q},\mathbf{Q}\boldsymbol{>}+\left(-\dfrac{\dot{q}}{q^{2}}\right)\boldsymbol{<}\mathrm{G}\mathbf{Q},\mathbf{\dot{Q}}\boldsymbol{>} \tag{B-01} \end{equation}$$ Сейчас $$\begin{align} \dfrac{\partial L_{45}}{\partial \dot{q}}&=-\phi\dfrac{\partial \phi}{\partial \dot{q}}\boldsymbol{<}\mathrm{G}^{2}\mathbf{Q},\mathbf{Q}\boldsymbol{>}-\dfrac{\partial \phi}{\partial \dot{q}}\boldsymbol{<}\mathrm{G}\mathbf{Q},\mathbf{\dot{Q}}\boldsymbol{>}\;\Longrightarrow \nonumber\\ \dfrac{\partial L_{45}}{\partial \dot{q}}&=\left(-\dfrac{\dot{q}}{q^{2}}\right)\boldsymbol{<}\mathrm{G}^{2}\mathbf{Q},\mathbf{Q}\boldsymbol{>}+\left(-\dfrac{1}{q}\right)\boldsymbol{<}\mathrm{G}\mathbf{Q},\mathbf{\dot{Q}}\boldsymbol{>} \tag{B-02} \end{align}$$ Дифференциация (B-02) по $\:t\:$ $$\begin{align} &\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{\partial L_{45}}{\partial \dot{q}}\right)=\left(-\dfrac{\ddot{q}q-2\dot{q}^{2}}{q^{3}}\right)\boldsymbol{<}\mathrm{G}^{2}\mathbf{Q},\mathbf{Q}\boldsymbol{>}+\left(-\dfrac{\dot{q}}{q^{2}}\right)\boldsymbol{<}\mathrm{G}^{2}\mathbf{\dot{Q}},\mathbf{Q}\boldsymbol{>} \nonumber\\ &+\left(-\dfrac{\dot{q}}{q^{2}}\right)\boldsymbol{<}\mathrm{G}^{2}\mathbf{Q},\mathbf{\dot{Q}}\boldsymbol{>}+\left(\dfrac{\dot{q}}{q^{2}}\right)\boldsymbol{<}\mathrm{G}\mathbf{Q},\mathbf{\dot{Q}}\boldsymbol{>}+\left(-\dfrac{1}{q}\right)\underbrace{\boldsymbol{<}\mathrm{G}\mathbf{\dot{Q}},\mathbf{\dot{Q}}\boldsymbol{>}}_{=0,\text{see (A-04)}} \nonumber\\ &+\left(-\dfrac{1}{q}\right)\boldsymbol{<}\mathrm{G}\mathbf{Q},\mathbf{\ddot{Q}}\boldsymbol{>} \tag{B-03} \end{align}$$ Добавление (B-01) и (B-03) $$\begin{align} &\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{\partial L_{45}}{\partial \dot{q}}\right)-\dfrac{\partial L_{45}}{\partial q}= \nonumber\\ &\left(-\dfrac{\ddot{q}q-\dot{q}^{2}}{q^{3}}\right)\boldsymbol{<}\mathrm{G}^{2}\mathbf{Q},\mathbf{Q}\boldsymbol{>}+\left(-\dfrac{2\dot{q}}{q^{2}}\right)\boldsymbol{<}\mathrm{G}^{2}\mathbf{Q},\mathbf{\dot{Q}}\boldsymbol{>}+\left(-\dfrac{1}{q}\right)\boldsymbol{<}\mathrm{G}\mathbf{Q},\mathbf{\ddot{Q}}\boldsymbol{>}= \nonumber\\ &+\dfrac{1}{q}\boldsymbol{<}\left(\dfrac{\ddot{q}-\dot{q}^{2}}{q^{2}}\right) \mathrm{G}\mathbf{Q}+\dfrac{2\dot{q}}{q}\mathrm{G}\mathbf{\dot{Q}}-\mathbf{\ddot{Q}},\mathrm{G}\mathbf{Q}\boldsymbol{>}=+\dfrac{1}{q}\boldsymbol{<}\underbrace{\dot{\phi}\mathrm{G}\mathbf{Q}+2\phi\mathrm{G}\mathbf{\dot{Q}}-\mathbf{\ddot{Q}}}_{=\Omega^{2}\left(q\right)\mathbf{Q}+\phi^{2}\mathrm{G}^{2}\mathbf{Q},\text{ see (08a)}},\mathrm{G}\mathbf{Q}\boldsymbol{>} \nonumber\\ &+\dfrac{1}{q}\boldsymbol{<}\Omega^{2}\left(q\right)\mathbf{Q}+\phi^{2}\mathrm{G}^{2}\mathbf{Q},\mathrm{G}\mathbf{Q}\boldsymbol{>}=+\dfrac{1}{q}\boldsymbol{<}\Omega^{2}\left(q\right)\mathbf{Q},\mathrm{G}\mathbf{Q}\boldsymbol{>}+\dfrac{\phi^{2}}{q}\underbrace{\boldsymbol{<}\mathrm{G}^{2}\mathbf{Q},\mathrm{G}\mathbf{Q}\boldsymbol{>}}_{=0,\text{see (A-04)}} \nonumber \end{align}$$ так $$\begin{equation} \dfrac{d}{dt}\left( \dfrac{\partial L_{45}}{\partial \dot{q}}\right)-\dfrac{\partial L_{45}}{\partial q}=+\dfrac{1}{q}\boldsymbol{<}\Omega^{2}\left(q\right)\mathbf{Q},\mathrm{G}\mathbf{Q}\boldsymbol{>} \tag{B-04} \end{equation}$$ КЭД.