Каково философское основание для разграничения логики и математики?

Позвольте мне сначала дать вам историческую справку. До конца 19 века логика почти исключительно ассоциировалась с аристотелевской логикой, силлогистической . В этой логике не было ни кванторов, ни даже пропозициональных переменных, иными словами, она была слишком слаба, чтобы поддерживать даже арифметику, не говоря уже об остальной математике (Хрисипп, древний стоик, и Лейбниц понимали современную логику высказываний до Фреге, но их идеи были проигнорированы и в значительной степени забыты). Именно из-за этой слабости такие философы, как Локк, Юм и Кант, считали аналитическое знание, достижимое с помощью «чистой логики», совершенно тривиальным и неспособным произвести что-либо существенное. См. Был ли Локк прав в том, что аналитическое знание бессодержательно?Математика, с другой стороны, ясно демонстрировала нетривиальные истины, что наглядно продемонстрировала работа Евклида, и поэтому не могла быть сведена к логике. Кант даже изобрел новое понятие «синтетического априори», которое опирается на дополнительную способность продуктивного воображения, чтобы вывести математику за рамки простой логики. Фридман в «Теории геометрии» Канта подробно объясняет, как отсутствие количественной оценки в силлогистике вынуждало ранние исчисления и анализ полагаться на интуитивные идеи о движении, препятствуя более формальным построениям.

Итак, до введения количественной логики Фреге и Пирсом в конце 19 века см . «Историю квантификации» Боневака., математику и логику не нужно было специально различать, они были далеки друг от друга. Пирс, который рано обратил внимание философов на алгебраизацию и формализацию математики в 19 веке, считал, что она не требует формальных логических оснований и что, как раз наоборот, логика (объем которой он широко понимал в кантианско-гегелевском смысле) зависит от математика философски. Именно Фреге думал иначе и разработал технические средства для сведения арифметики (и остальной математики) к логике в своем новаторском Begriffsschrift, eine der Arithmetischen Nachgebildete Formelsprache des Reinen Denkens (Концепт-сценарий: формальный язык для Чистая мысль, созданная по образцу арифметики, 1879 г.), а в Grundgesetze der Arithmetik (1893 г.) изложена программа сведения арифметики к логике:логицизм . Эта программа действительно предполагала логику, новую математическую логику в едином единстве с математикой и метаматематикой, как их инструментом и основой.

Однако логицизм быстро столкнулся с проблемами, сначала с парадоксом Рассела, который показал, что некоторые из «основных законов мышления» Фреге проблематичны (Основной закон V, закон расширений, в сочетании с принципом подстановки подразумевает, что каждый предикат определяет класс , который произвел парадоксальный класс Рассела). А затем, когда Рассел попытался исправить это в своих «Началах», оказалось, что даже логика Фреге не может поддерживать всю математику без дополнительных допущений явно нелогического характера, таких как пресловутая аксиома сводимости . Последний удар по классическому логицизму в его последнем воплощении, развитом Карнапом, нанесла теорема Гёделя о неполноте.«Логическая истина и аналитичность» Фридмана в «Логическом синтаксисе языка» Карнапа для подробного обсуждения вовлеченных тонкостей. Это закончилось даже более щедрым предложением обосновывать метаматематику на «геометрии символов» в дополнение к логике, формализму Гильберта, см. Было ли кантианское влияние на формалистическую программу Гильберта? Однако совсем недавно Хек и Хейл-Райт выдвинули некоторые предложения неологистов .

Различие между математикой и логикой почти повсеместно проводилось до Нового времени.

Логические труды Аристотеля (« Prior and Posterior Analytics » ) являются частью его работ, которые более поздние философы сгруппировали как « Органон» (инструмент). Следовательно, логика рассматривалась как инструмент.

Древние, такие как Боэций , и средневековые люди, такие как святой Фома Аквинский , и логики, такие как Джон Пуансо и др. все считали логику искусством (искусством рассуждения). Например, Аристотель пишет в « Метафизике I» (980b26), что «человеческий род живет искусством и рассуждениями». Св. Фома Аквинский пишет в предисловии к своей книге « Expositio libri Posteriorum Analyticorum» :

…необходимо искусство, чтобы управлять актом рассуждения, чтобы с его помощью человек, совершая акт рассуждения, мог действовать упорядоченно, легко и без ошибок.

И это искусство есть логика ( logica ), т. е. наука о разуме ( rationalis scientia ).

Поэтому сначала следует обучать логике ( Sententia Ethic. , lib. 6 l. 7 n. 17 [1211.]):

[T] правильный порядок обучения состоит в том, что мальчиков сначала обучают вещам, относящимся к логике , потому что логика учит методу всей философии. Далее их следует обучать математике , которая не требует опыта и не превышает воображение. В- третьих , в естественных науках , которые, хотя и не превышают разума и воображения, тем не менее требуют опыта. В- четвертых , в нравственных науках , требующих опыта и свободной от страстей души [...]. В- пятых , в разумных и божественных науках , которые превосходят воображение и требуют острого ума.

Этот порядок основан на трех степенях абстракции, второй из которых была математика. Боэций, вслед за Аристотелем, предположил, что «спекулятивные науки можно разделить на три вида: физику, математику и метафизику»:

1. Физика [т.е. естественные науки] имеет дело с тем, что находится в движении и материальным.
   ^{[ ens mobile или "мобильное/изменчивое существо"]}
2. Математика имеет дело с тем, что материально, а не в движении.
   ^{[∵ математические объекты, «математика», не перемещаются и не изменяются]}
3. Метанаука* имеет дело с тем, что не движется и не материально.
   ^{*т. е. «метафизика» в аристотелевском смысле изучения «бытия как бытия » .}

(ср . §II De Trinitate Боэция )