Существует ли истина без доказательств?

Когда мы что-то доказываем (например, в математике), мы показываем, что конкретное утверждение верно. Но если мы не смогли доказать это утверждение, это не значит, что оно было бы ложным, верно? Так является ли доказательство процессом, позволяющим нам узнать, что утверждение истинно? Например, когда кто-то утверждает, что «Если P, то Q» верно, мы можем спросить его: «Откуда вы знаете, что это правда?» или "докажи". Кроме того, обычно мы доказываем утверждение, используя другие уже доказанные утверждения. Делаем ли мы это потому, что потребовалось бы много времени, чтобы доказать все остальные утверждения с нуля? Можем ли мы доказать это конкретное утверждение, не используя какое-либо другое доказанное утверждение?

Предположим, что A — логическое утверждение. тогда верно А или не А. Нам только что удалось доказать утверждение « А или не А » без каких-либо предположений. Опять же, это предполагает, что утверждение является исключительно истинным или ложным.
Смотря... Согласно известному пункту соперничества (см. реализм) солнце существует и тогда, когда мы на него не смотрим. Тот же подход и к «математическим фактам»: они «где-то там» вне зависимости от того, знаем мы их или нет. См. Платонизм .
Согласно другой точке зрения (см. Интуитивизм ), нет смысла утверждать, что математическое утверждение истинно, если у нас нет его доказательства.
Обратите внимание, что предложения типа «если P, то Q» не являются истинными или ложными, но действительными или недействительными. Если набор согласованных логических правил применяется должным образом при его выводе (критерий достоверности), это просто означает, что «согласно этим правилам, когда P считается истинным, вы также должны считать Q истинным». Такие предложения, как P или Q, могут быть истинными или ложными.
@armand Каждое утверждение в математике должно иметь истинностное значение. Импликация «если P, то Q» имеет истинностное значение. Смотри сюда. Таблица истинности
Если некоторые из приведенных ниже ответов вас устраивают, пожалуйста, примите их.

Ответы (4)

Просто добавим тот очень тривиальный момент, что, по крайней мере, математик-интуиционист должен также принимать Определение в своих источниках законных истин. Они считаются в некотором смысле «аналитическими» истинами, объявляя их не столько материальными, сколько семантическими, но наш выбор определений сильно влияет на результирующие математические структуры, возникающие в результате наших процессов доказательства!

Вы можете определить утверждение теории как « истинное », если оно справедливо для каждой модели, и как « доказуемое », если из аксиом теории можно сделать логический вывод.

Тогда первая теорема Геделя о неполноте говорит нам, что любая теория, которая не менее мощна, чем теория чисел, содержит истинные утверждения, которые недоказуемы.

Следовательно, «истинный» не подразумевает «доказуемый», в то время как верно обратное.

Безупречно поставлен. Существуют ли прагматические последствия этой асимметрии?
Вы говорите: «утверждение S теории T истинно, если оно выполняется в каждой [после редактирования] модели T». Для теории первого порядка, такой как, например, арифметика Пеано PA, теорема полноты верна: каждое утверждение T, которое истинно в каждой модели T, доказуемо из аксиом T. Так чего же не хватает?
@Mauro В PA есть утверждения, которые верны, но недоказуемы в PA (теорема Пэрис-Харрингтон). См . karlin.mff.cuni.cz/~krajicek/ph.pdf , cs.umd.edu/users/gasarch/TOPICS/largeramsey/bovINTRO.pdf
Они верны для N , а не «верны для каждой модели».
@Mauro Есть формула phi с PA || -> фи, но не PA | -> фи. Это верно?
Нет :-) Если PA ⊨ phi, то по полноте G Th PA ⊢ phi. Неполнота G's Th говорит, что существует формула phi такая, что не-(PA ⊢ phi) и не-(PA ⊢ ¬phi). Но, согласно представлениям «здравого смысла» об истинности и ложности, одно из phi и ¬phi должно быть истинным в N .
Большое спасибо за ссылку. .

Чтобы узнать о реалистической точке зрения, см. « Реализм истинностного значения» .

Реализм истинностного значения — это точка зрения, согласно которой каждое правильно построенное математическое утверждение имеет уникальное и объективное истинностное значение, которое не зависит от того, можем ли мы его узнать и следует ли оно логически из наших современных математических теорий.

Для конструктивистской точки зрения см. Enrico Martino, Intuitionistic Proof Versus Classical Truth: The Role of Brouwer’s Creative Subject in Intuitionistic Mathematics (Springer, 2018), Chapter 11 Temporal and Atemporal Truth in Intuitionistic Mathematics , page 97-on:

Мартин-Лёф (1991) различает актуальную и потенциальную истинность предложения. Эти понятия интуиционистски объяснялись бы понятиями актуального и потенциального существования.доказательства. Доказательство предложения $A$ действительно существует, если действительно доказано $A$; оно потенциально существует, если можно доказать $A$. Здесь возможность понимается не в традиционном интуиционистском смысле как знание метода доказательства $A$, а как «независимая от знания и вневременная» возможность. Соответственно, доказанное суждение становится действительно истинным, но оно было потенциально истинным еще до того, как было доказано, и оно было бы истинным, даже если бы оно фактически никогда не было доказано. Таким образом, согласно Мартину-Лёфу, интуиционист может преодолеть известное возражение, согласно которому высказывание о том, что предложение становится истинным именно тогда, когда оно доказано, противоречит здравому смыслу и противоречит стандартному использованию предиката истины: потенциальная истина не открыта. на это возражение.

Согласно этой точке зрения, до доказательства Линдеманна (1882 г.) трансцендентальная природа π была потенциально истинной и стала действительно истинной с доказательством 1882 г.

обычно мы доказываем утверждение, используя другие утверждения, которые уже были доказаны. Делаем ли мы это потому, что потребовалось бы много времени, чтобы доказать все остальные утверждения с нуля? Можем ли мы доказать это конкретное утверждение, не используя какое-либо другое доказанное утверждение?

В этом суть аксиоматического метода , который мы используем со времен Аристотеля и Евклида.

Для доказательства требуется «логический механизм» (правила вывода) для вывода новых утверждений (теорем) из существующих (ранее доказанных теорем и аксиом).

Мы должны с чего-то начать...

Математик Курт Гёдель доказал, что существует больше произвольных математических истин, на которые можно только наткнуться, чем математических истин, которые можно доказать с помощью строгой логики.

Всякий, утверждающий, что истины не существуют, пока они не доказаны, должен объяснить, как, тем не менее, на истины можно наткнуться без строгого доказательства.

В ответ на много размахивания руками по поводу «Нет, но под «истиной» я подразумеваю…» — следует заявление о каком-то убеждении, истинность которого сама по себе не может быть доказана.

Вне границ пропозициональной логики в области опыта тех «вещей», которые называются «актуальными» или «актуально существующими», Спиноза утверждает, что «истинность» или достоверность познания реальности «самоочевидно» истинна и может иначе быть не может. Но что более важно для вашего вопроса, если какое-либо утверждение не является в какой-то мере понятным образом истинным и требует доказательства, то, как вы предполагаете, это доказательство потребует доказательства и так далее в бесконечной регрессии.
О G's Th: не совсем... Теорема верна для формальных систем определенного типа (грубо говоря: содержащих некоторую часть арифметики). «Истины», недоказуемые в системе, не «натыкаются», а строго доказываются в другой системе. Само G's Th «было доказано математиком Куртом Гёделем».
Существует ли истина без доказательств?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v