Временная зависимость лестничных операторов в КТП

В настоящее время я просматриваю книгу Мэтью Д. Шварца « Квантовая теория поля и стандартная модель» , с. 23. Для свободных (невзаимодействующих) теорий поля мы можем квантовать поле, разлагая наш полевой оператор как преобразование Фурье лестничных операторов для каждой моды, т.е.

(2,78) ф 0 ( Икс ) "=" ∫ г 3 п ( 2 π ) 3 1 2 ю п ( а п е − я п . Икс + а п † е я п . Икс ) .

Для наших свободных теорий это приводит к гамильтониану

ЧАС 0 ∝ ∫ г 3 п   ю п а п † а п
с
(2,69) [ а к , а п † ] "=" ( 2 π ) 3 дельта 3 ( к → − п → ) .

Это дает нам четкую физическую интерпретацию. Лестничные операторы, говорят а п † , добавляет «кванты» в режим ю п аналогично простому гармоническому осциллятору из-за аналогичных коммутационных соотношений между лестничными операторами и гамильтонианом. Этим я доволен.

Однако у меня возникает проблема при попытке интерпретировать оператор квантового поля в рамках общей теории взаимодействия. В картине Гейзенберга оператор поля должен подчиняться

(2,80) я ∂ т ф ( Икс ) "=" [ ф , ЧАС ] .

Затем говорят, что это можно решить, если а п → а п ( т ) такой, что оператор взаимодействующего поля имеет вид

(2.81) ф ( Икс ) "=" ∫ г 3 п ( 2 π ) 3 1 2 ю п [ а п ( т ) е − я п . Икс + а п † ( т ) е я п . Икс ] .

Моя проблема заключается в интерпретации а п † ( т ) как оператор, который создает частицы в общей теории взаимодействия, и как в книге Мэтью говорится, что эти зависящие от времени лестничные операторы удовлетворяют той же алгебре, что и операторы свободной теории. В нашей свободной теории коммутатор [ ЧАС 0 , а п † ] "=" + ю п а п † что приводит к интерпретации лестничных операторов, добавляющих или удаляющих частицы в системе, мне не ясно, будет ли это справедливо для [ ЧАС , а п † ( т ) ] "=" + ю п ( т ) а п † ( т ) в теории взаимодействия.

p23, и в книге на самом деле не указано, какие эквалайзеры, но я предположил, что это означает все те же эквалайзеры, что и для простого гармонического осциллятора, т.е. [ ЧАС , а † ] "=" ю а † поскольку зависящие от времени лестничные операторы имеют одинаковую физическую интерпретацию

Ответы (2)

«Удовлетворить той же алгебре» означает, что равновременные коммутационные соотношения

[ а п ( т ) , а п ′ † ( т ) ] "=" 2 Е п ( 2 π ) 3 дельта 3 ( п − п ′ )
продолжать держать. а п ( т ) однако больше не являются лестничными операторами для гамильтониана теории взаимодействия. Нет такого уравнения
[ ЧАС , а п † ( т ) ] "=" Е п а п † ( т ) .

Лучшее, на что можно надеяться, это то, что ф связывает вакуум с одночастичным состоянием, так что

⟨ п | ф ( Икс ) | в а с ⟩ "=" Z е − я п ⋅ Икс
The Z там потому что ф также может связать вакуум с состояниями многих частиц. Если так, то Z < 1 . Возможно также, что во взаимодействующей системе нет частицы с квантовыми числами ф . Например, в спектре КХД нет частиц с зарядом +2/3, поэтому состояние, возникающее в результате воздействия на вакуум оператором поля вверх-кварка, не перекрывается ни с каким собственным состоянием КХД, как результат воздействия одним из его составляющая а † х

КТП (квантовая теория поля) описывает рассеяние входящих состояний | я ⟩ в исходящие штаты | ф ⟩ в терминах асимптотических входных и выходных состояний.

В асимптотическом прошлом т → − ∞ , в штатах | я ⟩ описываются как отдельные волновые пакеты, соответствующие хорошо разделенным одночастичным состояниям. Быть далеко друг от друга для т → − ∞ они свободно путешествуют как отдельные штаты. Для т → + ∞ отдаленные штаты | ф ⟩ снова являются асимптотически свободными и хорошо разделенными одночастичными состояниями.

в штате ф я н имеет Е "=" п → 2 + м 2 где м является одночастичным полюсом в пропагаторе Фейнмана полной теории взаимодействия. Поэтому, ф я н есть свободное поле, подчиняющееся свободному уравнению Клейна-Гордона, но с полной массой м ≠ м 0 , где м 0 является полюсом свободной теории
( ∂ 2 + м 2 ) ф я н "=" 0

Таким образом, можно расширить ф я н с точки зрения а я н ( п → ) и а я н † ( п → ) соответственно операторы уничтожения и рождения.

На картине Гейзенберга
ф я н ( Икс ) "=" ∫ г 3 п ( 2 π ) 3 1 2 Е п ( а я н ( п → ) е − я п Икс + а я н † ( п → ) е я п Икс )

Аналогичное выражение справедливо для ф о ты т ( Икс ) .

Временная зависимость лестничных операторов в КТП
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v