Как заинтересованный сторонний наблюдатель, который склонен читать о различных формулировках логики, мне стало интересно лучше понять общую картину того , чего люди пытаются достичь , исследуя логику, или просто говоря о логике как о надлежащем предмете философии. .
Например: в ходе расширенного комментария к моему более раннему вопросу о мотивах диалетеизма мне пришло в голову, что я мог неверно истолковывать некоторые ответы. Хотя я думаю, что правильно понимаю то, что люди говорят о моделях логики самих по себе, я, возможно, неправильно истолковываю отношения, которые они рисуют между логическими утверждениями и положением дел — есть утверждения, что та или иная логика полезна. для определенных ситуаций; и как человек, воспитанный в строгой формальной классической традиции, я в конечном итоге ответил бы что-то вроде «на самом деле все так не работает » или « я понимаю, почему вы можете назвать это логикой, но я бы описал это каким-то другим способом". Но, может быть, эти реакции упускают суть?
Факт. Существует несколько логик. Когда философы исследуют их, какова их цель? Очевидно, это будет зависеть от философа. Но я могу представить себе два различных вида исследовательской программы, касающейся логики, названия которых я буду придумывать ad hoc , не ссылаясь ни на что конкретное:
Эмпирическая логика: исследуйте логику с целью определить, какая логика лучше всего описывает мир в целом. Не делая слишком много предположений о мире, но реагируя на него более или менее эмпирически (беря данные из окружающего вас мира, но не обязательно строго научным образом: весь личный опыт льет воду на мельницу), какая логика обеспечивает наилучший способ действия ?
Абстрактная логика: исследуйте логику, не особенно заботясь о том, имеет ли предмет изучения прямое применение, и, конечно же, не настаивая на том, чтобы она была особенно полезна во всех практических обстоятельствах. Обратите внимание, когда рассуждения в работах других философов (по предметам онтологии, эпистемологии, этики и т. д. ) могут быть описаны какой-то определенной логической системой, когда они не кажутся простой «классической» логикой. Кроме того: разрабатывайте модели логики только для того, чтобы исследовать, какие любопытные или желательные свойства или достижения могут быть возможны в логической системе.
Различие, которое я представляю себе между ними, похоже на различие между физикой и чистой математикой: одна связана с разработкой правильной модели, чтобы охватить весь мир (или, по крайней мере, обеспечить единую основу для масштабного и более или менее точного исследования). определенная его часть), в то время как другой больше занимается разработкой моделей ради изучения того, какие модели можно разработать, и изучения свойств моделей, которые они разрабатывают. Различие между изобретением инструментов и поиском правильных инструментов ; модальное различие в их целях, между определением того, какую логику вы можете вообразить , и определением, какую логику вы должны использовать .
Конечно, это всего лишь две мыслимые (и очень широкие!) исследовательские программы; они могут не быть исчерпывающими или взаимоисключающими. Они также могут быть не особенно полезны для проведения различий между различными целями людей, работающих в логике: возможно, есть лучшие (или менее тривиальные) различия, чем то, о чем я догадался выше.
Имея это в виду: каковы основные исследовательские программы в современной логике ? В каждой отрасли, какие самые выдающиеся школы мысли и кто самые выдающиеся мыслители/авторы?
Категориальная логика представляет современный интерес. (Элементарный) топос — это обобщение теории множеств (без выбора), а его внутренняя логика — интуиционистская логика более высокого порядка.
Он также имеет геометрический характер: пучок множеств является топосом и, что равносильно (что более ясно обнаруживает его геометрический характер) этальному (проекция локально гомеоморфна) расслоению.
Интересно, что построение форсирования Коэна может тогда быть дано геометрическое описание. Кроме того, если (аксиома) Выбора применяется, то это заставляет логику стать классической.
Гладкие топозы моделируют синтетическую дифференциальную геометрию, в которой тот факт, что закон исключенного третьего не работает, необходим для определения бесконечно малой линии.
Гомотопическая теория типов — это новая интерпретация интенсиональной конструктивной теории типов Мартина-Лёфа. Как естественная логика гомотопии, конструктивная теория типов также связана с понятием высшего топоса.
В то время как теория категорий обсуждалась Лоувером как альтернатива математике в стиле ZFC, Владимир Воеводский предложил новую программу комплексной вычислительной основы математики, основанную на гомотопической интерпретации теории типов.
Несколько квалификаций. Мои знания в предметной области получены в основном из континентальной работы и занятий математической логикой; Я бы предположил, что в аналитических кругах проводится очень много новых исследований, но, к сожалению, в настоящее время я не вижу ни одного из них, поэтому нам придется подождать, пока кто-то более сведущий в философии логики в целом не прокомментирует более широко. на этом. Тогда это действительно точки соприкосновения в современной философии математики, а не исследовательские направления в логике как таковой. В комментариях есть обоснованная критика, ставящая под сомнение некоторые из приведенных ниже предложений.
Чтобы быть действительно ясным: нижеприведенные предложения в основном направлены на то, чтобы познакомить вас в самом общем виде с философами, которые глубоко любопытны и внимательны к математике. Они не представляют собой активные направления исследований в современной логике, но могут помочь обеспечить некоторую собственно философскую мотивацию для философского изучения математики и предоставить концепции, полезные для понимания процесса математических исследований/изобретений/открытий.
Ален Бадью может заслуживать некоторого расследования. В частности, я мог бы порекомендовать « Числа и числа » для введения в его философию математики; обратите внимание, что он также представляет собой очень тщательный, хотя и категоричный обзор (и в какой-то степени, возможно, синтез) работы и мыслей некоторых из наиболее важных фигур современной философии математики — я полагаю, что Кантор, Фреге и Дедекинд охвачены каждый в некоторой глубине. Во введении к этому обзору этой книги приведены несколько хороших примеров других способов, которыми современные философы использовали математическую логику для продвижения своих философских исследований:
Дональд Дэвидсон использовал теорию истины Тарского для формальных языков, чтобы обосновать свой подход к семантике естественного языка. Модальная логика часто используется для обсуждения проблем необходимости, времени или убеждений. У. В.О. Куайн сделал сведение математики к теории множеств парадигмой «онтологической приверженности», так что идеализированная формализация физической науки идентифицировала сущности, необходимые для обеспечения фундаментальной «реальности» теории.
Жиль Делёз написал прекрасную небольшую книжку под названием «Логика смысла », которая может представлять некоторый интерес — возможно, это, на удивление, очень забавная и увлекательная работа, наполненная множеством замечательных «парадоксов» того рода, о которых вы спрашивали в предыдущей статье. вопрос . В другой книге своего « Различия и повторения » Делёз рассматривает философские основы исчисления, хотя я боюсь, что это может быть еще дальше. В любом случае, удачи вам в чтении (и спасибо за хороший и интересный вопрос!)
Сегодня стоит упомянуть еще несколько точек соприкосновения. В частности, текстом, который может быть ценным для рассмотрения, будет недавно опубликованный перевод книги Альберта Лаутмана « Математика, идеи и физическая реальность », а также другая работа (которую можно понимать как духовную преемницу) « Синтетическая философия современной математики » Заламеа . Оба этих автора глубоко заинтересованы в тщательном изучении нитей математических исследований на их собственных условиях. В частности, работу Заламеи можно рассматривать как нечто вроде обзора некоторых современных направлений математических исследований с упором на «высшую» математику и, в частности, с уделением много времени таким фигурам, как Гротендик.
Ваше различие между эмпирической и абстрактной логикой важно. Математики, работавшие над концепцией метода логики в 19 веке, в частности Фреге, были существенно и явно мотивированы идеей о том, что правильный метод формальной логики поможет улучшить строгость математических доказательств, что вызывало особую озабоченность в то время. , между двумя крайностями Абеля и Вейерштрасса. Это наводит на мысль о том, что логика по существу не произвольна и, следовательно, по существу эмпирична .
И, по сути, математики, работавшие в то время над логическим методом, должны были полагаться на единственное доступное им эмпирическое свидетельство, то есть на силлогистическую теорию Аристотеля, а также на то, что с тех пор говорили по этому вопросу другие люди, в том числе другие математики, а также их собственной личной интуиции относительно того, какие формулы могут быть приняты в качестве логических истин , это для того, чтобы разработать метод логического исчисления, который они могли бы использовать для повышения строгости доказательства.
Сегодня, на первый взгляд, у нас совершенно иная точка зрения, согласно которой логика чаще понимается, по существу, как математический объект, подобно множеству Действительных чисел, так что логика рассматривается как методы самой логики, используемые математиками. придумали со времен Фреге. С этой точки зрения логика больше не рассматривается как по существу эмпирическая наука, но как пестрый набор теорий, рассматриваемых как произвольные, по крайней мере в принципе , над которыми математики работают как на объекты исследования , а не как на методы, которые они могли бы использовать для улучшения своих знаний. строгость доказательств.
Между тем, сами математики по-прежнему используют и эффективно полагаются на свое собственное, интуитивное чувство логики для доказательства теорем, производя то, что можно назвать полуформальными доказательствами .
Все немногие примеры формальной логики, используемые сегодня для доказательства теорем, основаны на той или иной вариации « естественного » метода доказательства Генцена (придуманного между 1929 и 1935 годами), который по существу является современным обобщением Аристотеля, методом, который эффективно опирается на решающую использование так называемых правил вывода, которые представляют собой формулы, по существу взятые из набора формул, давно признанных логическими истинами в аристотелевской традиции, за некоторыми исключениями.
Так что, по сути, вся текущая практика математического доказательства, будь то интуитивное или с использованием средств доказательства теорем, таких как Изабель в Германии и Кока во Франции, по-прежнему в конечном счете буквально опирается на доступные математикам эмпирические доказательства того, что некоторые логические истины очевидны . Тем не менее, фундаментально эмпирический характер логики, практикуемой самими математиками, сегодня, как и всегда со времен Евклида , несколько вычеркнут из общей картины в пользу более абстрактного понятия.
Дуг Спунвуд
Ниэль де Бодрап
Дуг Спунвуд
Дуг Спунвуд
Ниэль де Бодрап