Почему подход интеграла по путям может страдать от проблемы порядка операторов?

1. Любой стандартный вывод учебника соответствия$^1$между

   $$\text{Operator formalism}\qquad \longleftrightarrow \qquad \text{Path integral formalism} \tag{1}$$

   является формальным выводом, который отбрасывает вклады в процессе. Это верно независимо от того, работаем ли мы в конфигурационном пространстве (как в [2]) или в фазовом пространстве; и используем ли мы состояния положения и импульса, когерентные состояния или когерентные спиновые состояния (как в [3]).

   Объекты, появляющиеся в формальном подынтегральном выражении пути, не являются$^2$более длинные некоммутативные операторы, но коммутативные$^3$функции, также известные как символы. См. также этот пост Phys.SE.

   Есть переписка/карта между

   $$\text{Operators}\qquad \longleftrightarrow \qquad \text{Functions/Symbols}.\tag{2}$$

   Проблема порядка/неоднозначности операторов скрыта в том, как выбрать это соответствие/карту (2).

   Пример. Тот же оператор$\frac{\hat{q}\hat{p}+\hat{p}\hat{q}}{2}$переводится в символ$qp-\frac{ih}{2}$,$qp+\frac{ih}{2}$, или$qp$, в зависимости от того, выбираем ли мы$\hat{q}\hat{p}$,$\hat{p}\hat{q}$, или по рецепту Вейля, соответственно. И наоборот, та же функция$qp$транслируется в оператор$\hat{q}\hat{p}$,$\hat{p}\hat{q}$, или$\frac{\hat{q}\hat{p}+\hat{p}\hat{q}}{2}$, в зависимости от того, выбираем ли мы$\hat{q}\hat{p}$,$\hat{p}\hat{q}$, или по рецепту Вейля, соответственно.

2. Укажем здесь, где делаются аппроксимации в соответствии (1) в случае (концептуально более простого) интеграла по траекториям одномерного фазового пространства в картине Гейзенберга. Основная идея вывода интеграла по путям состоит в том, чтобы ввести соотношения полноты

   $$\int \!dq ~|q,t \rangle \langle q,t |~=~{\bf 1}, \qquad \text{and} \qquad \int \!dp~ |p,t \rangle \langle p,t |~=~{\bf 1},\tag{3}$$

   мгновенного$^4$собственные состояния в разное время$t$, чередуя вставки положения и импульса. Главный вклад приводит к формальному интегралу по траекториям

   $$\langle q_f,t_f|q_i,t_i \rangle~\sim~\int_{q(t_i)=q_i}^{q(t_f)=q_f} \!{\cal D}q~{\cal D}p~\exp\left[ \frac{i}{\hbar}S[q,p]\right],\tag{4}$$

   с формальным гамильтоновым действием

   $$S[q,p]~=~\int_{t_i}^{t_f}\!dt~\left[ p\dot{q}- H(q,p)\right],\tag{5}$$

   где$H(q,p)$обозначает символ Вейля для оператора Гамильтона$\hat{H}$. Предписание Вейля лучше, чем другие предписания оператора, но это все еще приближение.

   Ауэрбах в [3] в основном говорит об аналоге$p\dot{q}$член для когерентных спиновых состояний, а не член Гамильтона. Сначала вспомните$pq$формула перекрытия

   $$\langle p,t \mid q,t \rangle~=~\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\exp\left[\frac{pq}{i\hbar}\right]. \tag{6}$$

   См. также этот ответ Phys.SE.

   Далее, два типичных соседних члена в процедуре квантования времени имеют вид

   $$\begin{align} \langle q_{+},& t+\frac{\epsilon}{2} \mid p,t \rangle \langle p,t \mid q_{-},t- \frac{\epsilon}{2}\rangle \cr ~=~&\langle q_{+},t \mid \exp\left[-\frac{i\epsilon}{2\hbar}\hat{H}\right]\mid p,t \rangle \langle p,t \mid \exp\left[-\frac{i\epsilon}{2\hbar}\hat{H}\right]\mid q_{-},t\rangle\cr ~\approx~&\langle q_{+},t \mid p,t \rangle \langle p,t \mid q_{-},t\rangle \exp\left[-\frac{i\epsilon}{\hbar} H\left(\frac{q_{+}+q_{-}}{2},p\right) \right]\cr ~\stackrel{(6)}{=}~& \frac{1}{2\pi\hbar}\exp\left[\frac{i \epsilon}{\hbar}\left(p\frac{q_{+}-q_{-}}{\epsilon} - H\left(\frac{q_{+}+q_{-}}{2},p\right)\right) \right] \cr ~\approx~& \frac{1}{2\pi\hbar}\exp\left[\frac{i\epsilon}{\hbar}(p\dot{q}-H(q,p)) \right]. \end{align}\tag{7}$$

   Подчеркнем, что при выводе уравнения было сделано несколько приближений. (7) например, пренебрегая различиями между разными видами символов (соответствующими разным видам предписаний упорядочения). В общем случае неверно, что такие приближения (7) оправданы в пределе бесконечно малого квантования времени$\epsilon\to 0^{+}$.

Использованная литература:

1. Ф. Бастианелли и П. ван Ньювенхуизен, Интегралы по траекториям и аномалии в искривленном пространстве, 2006 г.

2. Дж. Дж. Сакураи, Современная квантовая механика, 1994, раздел 2.5.

3. А. Ауэрбах, « Взаимодействующие электроны и квантовый магнетизм», 1994, стр. 102 чуть ниже ур. (10.6).

$^1$Интегральное соответствие оператора-пути (1) в общем случае весьма нетривиально. Например, при квантовании нерелятивистской точечной частицы на классическом искривленном фоне гамильтонианы по обе стороны соответствия (1) различаются поправками на кривизну второго порядка по$\hbar$. Видеть. например, ссылка 1. Чтобы упростить обсуждение, мы не рассматриваем вопросы регуляризации/перенормировки соответствия (1) в этом ответе.

$^2$Строго говоря, производные по времени внутри формального подынтегрального выражения пути являются оставшимся источником некоммутативных объектов, поскольку производные по времени следует понимать в упорядоченном по времени виде, чтобы отразить лежащую в основе процедуру разделения времени. См., например , этот и этот ответ Phys.SE.

$^3$Стандартное точечное умножение$fg=gf$функций/символов коммутативна. Существует также так называемый звездный продукт.$f\star g$функций/символов, который является некоммутативным, поскольку отражает некоммутативность соответствующей операторной композиции$\hat{f}\circ \hat{g}$. Звездный продукт$\star$сам по себе зависит от выбора рецепта заказа.

$^4$Мгновенные собственные состояния часто вводятся в учебниках по квантовой механике для вывода формализма интеграла по траекториям из формализма оператора в простейших случаях, см., например, Ref. 2. Обратите внимание, что мгновенные собственные состояния$\mid q,t \rangle$и$\mid p,t \rangle$являются независимыми от времени состояниями (какими они должны быть в картине Гейзенберга).