Квантовые поля как дифференциальные операторы

Ну, учитывая теоретико-полевой одновременный CCR

Не каждый оператор может быть представлен в виде дифференциальной формы — хороший пример — спин.

Однако разница между формализмом Гейзенберга и Шредингера заключалась не в разнице между дифференциальными операторами и матрицами. Шредингер построил непротиворечивую квантово-механическую картину на основе волнового уравнения (получившего его имя) — волновую механику , тогда как Гейзенберг построил матричную механику , где динамика описывалась уравнением движения Гейзенберга для операторов. Разница аналогична разнице между уравнениями Гамильтона-Якоби и скобками Пуассона в классической механике. Квантовая механика до сих пор довольно верно относится к этому различию, используя термины « картина Шредингера » и «картина Гейзенберга» для ситуаций, когда зависимость от времени передается волновыми функциями и операторами соответственно.

Я думаю, что знаю, о чем вы спрашиваете, поэтому я отвечу некоторыми примерными идеями, которые могут помочь вам получить некоторое представление.

Каждое сепарабельное гильбертово пространство изометрически изоморфно пространству$L^{2}(\mathbb{R}^n)$. Если у меня есть сепарабельное гильбертово пространство$X$, позволять$i:X\rightarrow L^2(\mathbb{R^n})$быть изоморфизмом. Если$A$является оператором на$X$затем$A'$является оператором на$L^2 (\mathbb{R}^n)$где$A' = i A i^{-1}$. Это дает соответствие между операторами над абстрактными векторами и операторами над функциями.

Основное различие между представлениями Гейзенберга и Шредингера состоит в том, что в представлении Гейзенберга мы рассматриваем операторы как изменяющиеся во времени, в то время как в представлении Шрёдингера операторы фиксированы, а сами состояния зависят от времени. Другими словами, в картине Гейзенберга у нас есть некоторое фиксированное пространство состояний$X$и у нас есть несколько операторов$A(t)$которые действуют на него. $A(t)$является групповым представлением в том смысле, что$A(t + s) = U(s)A(t)U(s)^{-1}$для некоторого унитарного преобразования$U(s)$который плавно зависит от$s$. В квантовой теории поля мы переходим от одного измерения времени к четырем измерениям пространства-времени. Следовательно, мы должны преобразовать операторы как$A(x^{\mu} + s^{\mu}) = U(s^{\mu})A(x^{\mu})U(s^{\mu})^{-1}$.

В картине Шрёдингера мы думаем, что состояния зависят от времени. Итак, есть некоторая кривая$\psi: \mathbb{R} \rightarrow X$представляющих эволюцию государства во времени. Это также должно преобразоваться унитарно, так что$\psi(t + s) = U(s) \psi(t)$. Теперь операторы рассматриваются как фиксированные. В сценарии КТП мы по-прежнему можем рассматривать операторы как фиксированные и думать о состояниях как о зависящих как от пространства, так и от времени. я напишу$\psi(x^{\mu})$но не путайте это с обычной волновой функцией. Для заданной точки пространства-времени$\psi(x^{\mu})$является абстрактным вектором в сепарабельном гильбертовом пространстве. Или мы можем эквивалентно рассматривать его как функцию в некотором геометрическом пространстве (например, в пространстве смещений гармонического осциллятора). У нас есть некоторое унитарное представление U группы Лоренца, так что$\psi(x^{\mu} + s^{\mu}) = U(s^{\mu})\psi(x^{\mu})$. Теперь операторы импульса и положения являются фиксированными операторами.

Традиционная КТП на самом деле использует что-то вроде картины Гейзенберга, о которой я говорил выше. Однако его можно сформулировать так, что «поле» рассматривается как функция, принимающая пространственно-временные точки в качестве входных данных и функции в качестве выходных данных. Возможно, это больше похоже на классическое поле. Каждой точке пространства-времени соответствует волновая функция. Тогда операторы импульса и положения действуют точечно в каждом месте.