Можно ли вложить представления Пуанкаре в нестандартные представления Лоренца?

Поле в$(A,B)$Представление группы Лоренца имеет пропагатор, который масштабируется как$|p|^{2(s-1)}$за$|p|\to\infty$, куда$s=A+B$является «спином» поля (см. 1 §12.1). Следовательно, пропагатор является убывающей (или постоянной) функцией$p$если и только если$s=0,\,1/2,\,1$. В противном случае пропагатор растет в УФ и теория неперенормируема (если только у нас нет SUSY ¹ , что в принципе может позволить вам подняться до$s=3/2,2$). Если поля такого типа действительно реализуются в Природе, то их действие в ИК невидимо (по существу, по размерному анализу; более формально, по стандартной классификации нерелевантных взаимодействий, см. [1, § 12.3]). Именно поэтому они до сих пор не обнаружены.

Это оставляет как единственные варианты$(0,0),\,(\frac12,0),\,(0,\frac12),\,(1,0),\,(\frac12,\frac12),\,(0,1)$. Все они используются в Стандартной модели, но для$(1,0),(0,1)$(это самодуальные и антисамодуальные антисимметричные представления второго ранга соответственно). В этих представлениях нет ничего изначально неправильного; они просто не имеют отношения к Стандартной модели: ни одна известная частица не описывается таким полем. Они действительно иногда используются в игрушечных моделях. Позвольте мне процитировать абзац из Ref.1 §5.9:

Хотя обычного четырехвектора для безмассовых частиц спиральности нет$h=\pm1$, нет проблем с построением антисимметричного тензора$F_{\mu\nu}$для таких частиц. [...] Почему мы должны использовать [зависимое от калибра векторное поле$A^\mu$] в построении теорий безмассовых частиц со спином один, а не довольствоваться полями типа$F_{\mu\nu}$[который не зависит от калибровки]? Наличие производных в уравнении. 5.9.34 означает, что плотность взаимодействия, построенная исключительно из$F_{\mu\nu}$и его производные будут иметь матричные элементы, которые исчезают быстрее для малых энергии и импульса безмассовой частицы, чем тот, который использует векторное поле$A^\mu$. Взаимодействия в такой теории будут иметь соответственно быстрое убывание на больших расстояниях, быстрее, чем обычный закон обратных квадратов. Это вполне возможно, но калибровочно-инвариантные теории, использующие векторные поля для безмассовых частиц со спином 1, представляют собой более общий класс теорий, в том числе реально реализуемых в природе.

Параллельные замечания относятся к гравитонам, безмассовым частицам спиральности.$\pm2$. [...] чтобы учесть обычные гравитационные взаимодействия обратных квадратов, нам нужно ввести поле$h_{\mu\nu}$который преобразуется как симметричный тензор, вплоть до калибровочных преобразований, связанных в общей теории относительности с преобразованиями общей координаты. Таким образом, для построения теории безмассовых частиц спиральности$\pm2$которые включают дальнодействующие взаимодействия, необходимо, чтобы они обладали симметрией, похожей на общую ковариантность. Как и в случае электромагнитной калибровочной инвариантности, это достигается путем связывания поля с сохраняющимся «током».$\theta^{\mu\nu}$, теперь с двумя индексами пространства-времени, удовлетворяющими$\partial_\mu\theta^{\mu\nu}=0$. Единственный такой сохраняющийся тензор - это тензор энергии-импульса, за исключением возможных членов полной производной, которые не влияют на дальнодействующее поведение создаваемой силы. Поля безмассовых частиц спина$j\ge3$должны были бы соединиться с сохраняющимися тензорами с тремя или более индексами пространства-времени, но, кроме полных производных, их нет, поэтому безмассовые высокоспиновые не могут создавать силы дальнего действия.

Короче: большинство «нестандартных» репрезентаций хороши, но феноменологически бесполезны. Единственными нетривиальными случаями являются$(1,0),\,(0,1)$, но они, похоже, не реализованы в Природе. Возможная причина в том, что они опосредуют короткодействующие взаимодействия (но не конфайнментальные: можно доказать, что конфайнмент возникает только в том случае, если у вас есть неабелевы калибровочные взаимодействия) и поэтому они не наблюдаются в реальных экспериментах. Если бы такая частица существовала, нам понадобились бы ускорители гораздо большего размера.

Использованная литература.

1. QFT Вайнберга, Vol.1.

^{1: Поля более высокого спина всегда относятся к калибровочному типу из-за обычного несоответствия между компонентами поля и степенями свободы частиц. Если вы рассматриваете бозонное поле произвольного спина, вы всегда можете зафиксировать калибровку таким образом, что его пропагатор$\mathcal O(k^{-2})$в УФ; аналогично, фермионное поле может быть фиксировано по калибровке, так что его пропагатор масштабируется как$\mathcal O(k^{-1})$. Таким образом, оказывается, что любое поле перенормируемо подсчетом мощности. Загвоздка в том, что теория калибровочно-инвариантна тогда и только тогда, когда у вас есть тождество Уорда-Такахаши-Славнова-Тейлора для управления нефизическими степенями свободы. Поэтому вам нужен сохраняющийся ток, который, согласно Коулману-Мандуле-Хаагу-Лопушанскому-Сохниусу и т. д., не более чем векторного типа, если бозонный, или имеет спин$3/2$если фермионный. Другими словами, вы можете представить только$s=1$поля, если симметрии образуют регулярную алгебру, или$s=2$если вы разрешите супералгебры. Вы не можете ввести более высокий спин просто из-за отсутствия сохраняющегося тока (см. цитату Вайнберга выше).}

^{В качестве альтернативы, если вы не хотите исправлять калибровку (скажем, работая с массивными частицами и вводя вспомогательные условия типа Прока), пропагаторы всегда растут как$|p|^{2(s-1)}$, а проблемный$k$поведение отменяется только в том случае, если вы сохранили токи в вершинах (так что члены, пропорциональные$k^\mu$исчезнуть, см. этот пост PSE ). Но, как и в предыдущем абзаце, такие токи могут быть, самое большее, суперсимметричного типа, поэтому ни одна частица со спином выше$s=2$позволено. См. также теорему Вайнберга – Виттена .}