Что означает «NN {\ bf N} группы»?

ОП написал (v1):

Что это${\bf N}$группы» имеется в виду?

1) Физики имеют в виду неприводимое представление (irrep) для любой группы$G$мы говорим о. Число${\bf N}$относится к размерности ирресп. Дело в том, что невозвраты настолько редки, что невозвраты часто однозначно определяются их размерностью (изоморфизмы по модулю). (В общем случае это не совсем так, и затем физики начинают украшать выделенный жирным шрифтом символ измерения другими орнаментами, например${\bf 3}$а также$\bar{\bf 3}$или например${\bf 8}_v$а также${\bf 8}_s$а также${\bf 8}_c$и т. д., чтобы различать.)

2) Кстати, по поводу группового представления $\rho: G \to GL(V,\mathbb{F})$, куда$G$это группа, где$\mathbb{F}$поле (обычно$\mathbb{F}=\mathbb{R}$или же$\mathbb{F}=\mathbb{C}$), куда$V$это$\mathbb{F}$-векторное пространство и где$\rho$является групповым гомоморфизмом ; имейте в виду, что физики ссылаются как на карту$\rho$и векторное пространство$V$как «представление».

Что подразумевается под "${\bf N}$группы"?

The ${\bf N}$группы на самом деле является сокращением для$N$-мерное неприводимое представление этой группы.

Это просто сокращение для${\bf N}$представление? Если да, то что именно${\bf N}$представление данной группы?

Элементы группы — это абстрактные операции, определяемые тем, как они действуют на заданные объекты. Например, группа вращения в трех измерениях,$\mathrm{SO(3)}$, образован элементами, которые поворачивают системы координат таким образом, что длина любого вектора остается неизменной. Чтобы сделать вещи более явными, мы присваиваем этим группам линейные представления, т. е. мы отображаем элементы группы в матрицы, действующие в некотором векторном пространстве.$\mathbb V$. Если$\mathbb V$является$N$-мерный, так что это групповое представление.

Я упал$N$-мерные матрицы, представляющие элементы группы, могут - с помощью преобразования подобия - быть записаны в блочно-диагональной форме, тогда представление называется приводимым . В противном случае он называется неприводимым (или просто иррепрезентативным ) и может быть помечен$\bf N$что обозначает его размерность. Например, общие вращения в плоскости, составляющие группу$\mathrm{SO(2)}$, можно записать просто как$e^{i\theta}$дающее одномерное неприводимое представление. С другой стороны, двумерное представление

$$\begin{bmatrix} \cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta\\ \end{bmatrix}.$$ приводим, так как его можно представить в диагональной форме $$\begin{bmatrix} e^{i\theta}&0\\ 0&e^{-i\theta}\\ \end{bmatrix},$$ используя преобразование подобия, созданное $$\frac{1}{\sqrt 2} \begin{bmatrix} 1&1\\ -i&i\\ \end{bmatrix}.$$ Мы должны обозначить это одномерное неприводимое представление как $\bf 1$и поэтому двумерное приводимое представление помечается $\bf 1\oplus \bf 1$, где $\bf 1$относится к каждому одномерному блоку, который может быть записан после преобразования подобия. Это представление фактически действует на прямую сумму двух векторных пространств измерений $1$.

• Как конкретно выработать/записать такое представление, как матрицы Паули для$SU(2)$? Буду признателен за простой пример.
• Что это значит, когда что-то «трансформируется, как${\bf N}$"?

Чтобы разработать неприводимые представления, нам нужно иметь дело с алгеброй, а не с группой. Среди всех элементов группы Ли есть специальные, из которых можно порождать любые другие. Их называют генераторами группы, и они удовлетворяют определенной структуре, называемой алгеброй Ли . Например, группа$\mathrm{SU}(2)$имеет алгебру Ли$\mathfrak{su}(2)$чьи генераторы$T_a$,$a=1,2,3$, удовлетворяющий

$$[T_a,T_b]=i\epsilon_{abc}T_c.$$ Представительство $R$из этих абстрактных элементов должен сохранять эту структуру, т. е. $$[R(T_a),R(T_b)]=i\epsilon_{abc}R(T_c),$$ куда $R(T)$следует понимать как $N$-мерная матрица.

Из алгебры Ли можно получить все возможные представления. Обычно это делается путем записи образующих в так называемом базисе Картана-Вейля, который разлагает алгебру на подалгебру Картана (максимальный набор самокоммутирующих или диагонализируемых генераторов) и ступенчатые или лестничные операторы. Тогда состояния данного неприводимого представления задаются собственными векторами образующих Картана. Ясно, что эти состояния$N$-мерные векторы при условии, что представление алгебры$N$-размерный. Поэтому, когда мы говорим, что что-то — например, поле — трансформируется подобно$\bf N$алгебры мы имеем в виду, что этот объект отображается в матрицу-столбец с$N$элементы, базис которых задается упомянутыми выше собственными векторами. Например,$\mathfrak{su}(2)$алгебра имеет только один оператор шага,$T_3$. Для двумерного ирресп. матрица$R(T_3)$имеет два собственных вектора. Поле, преобразующееся подобно$\mathbf N$- или просто как дублет - это$\phi$, такой, что

$$R\phi= \begin{bmatrix} a&b\\ c&d\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \phi_1\\ \phi_2 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} \phi_1'\\ \phi_2' \end{bmatrix}.$$

Например, можно показать, что$\mathfrak{su}(2)$алгебра$N$-мерные представления для любого целого числа$N$. Классические алгебры$\mathfrak{su}(n)$,$\mathfrak{so}(n)$а также$\mathfrak{sp}(n)$имеют по крайней мере синглетное, определяющее и присоединенное представления. Синглет – это одномерное представление, т.е. это всего лишь числа. Обратите внимание, что единственное возможное число, которое может удовлетворять нетривиальной алгебре, состоит в том, что все они равны нулю. Они полезны в физике, когда что-то вообще не трансформируется. Определяющим представлением является$n$-мерное, например трехмерное представление кварка, трансформирующегося под ароматом$\mathfrak{su}(3)$. Когда векторное поле$\mathbb V$является самой алгеброй, представление называется присоединенным. В этом случае размерность алгебры равна размерности представления. Калибровочные поля преобразуются при таком представлении калибровочных групп. Например, алгебра$\mathfrak{su}(5)$имеет$24$генераторы, поэтому$\bf{24}$является присоединенным представлением$\mathfrak{su}(5)$.

Когда мы знаем представление$R(T)$для алгебры Ли мы можем индуцировать ее в группу с помощью экспоненциальной операции,

$$R(g)=\exp\left[i\phi R(T)\right],$$ куда $g$обозначает групповой элемент. Обратите внимание, что если у нас есть синглет алгебры, то синглет группы оказывается просто числом $1$.

Хотя есть некоторые тонкости при переходе от алгебры к группе . Начиная с данной алгебры Ли и присваивая данное представление, можно получить разные группы Ли. Итак, для присоединенного представления$\mathfrak{su}(2)$сгенерированная группа оказывается$\mathrm{SO}(3)$вместо$\mathrm{SU}(2)$.

''$N$группы$G$'' относится к$N$-мерное неприводимое (проективное) представление (обычно полупростой) группы$G$. Представление является гомоморфизмом$U$из$G$в пространство линейных отображений векторного пространства в себя$V$(в проективном случае, действующем на лучи); оно неприводимо, если нет основы, в которой все$U(g)$являются блочно-треугольными. Размерность представления – это размерность$V$.

Например, теория представлений$SO(3)$подразумевает, что существует ровно одно неприводимое проективное представление каждой размерности$N$. Двумерное представление — это спинорное представление, трехмерное — обычное векторное представление.

Если объект$x$трансформируется как$N$тогда$x$является общим элементом из$N$-мерное пространство с представлением$N$, а значит, преобразуется относительно группового элемента$g$посредством$x\to U(g)x$. Например, в случае$SO(3)$, если$x$трансформируется как$2$то это спинор, если он трансформируется как$3$тогда это вектор и т.д.

Во многих случаях размерность определяет представление с точностью до изоморфизма, отсюда и жаргон. (Иначе представления можно назвать$N$а также$\overline N$и т. д., чтобы различать их.) Например, размерность SU (5) равна 24, а 24 характеризует присоединенное представление (которое имеет размерность 24).