Почему преобразования, которые изменяют что-то только в пределах конечной области, являются избыточными?

Я пытаюсь создать некоторую интуицию для очень конкретного определения понятий глобальной и локальной калибровочной симметрии. Определение выглядит следующим образом и появляется, например, в «Квантовой теории поля — современная перспектива» В. П. Наира:

  • Группа калибровочных преобразований г представляет собой группу гладких функций в пространстве-времени, принимающих значения в г , где г является калибровочной группой.
  • Группа локальных калибровочных преобразований г ⋆ состоит из всех преобразований, в которых параметризующие функции имеют компактный носитель. Из этого следует
    г ⋆ "=" {  набор всех  г ( Икс )  такой, что  г → 1  как  | Икс | → ∞ }
  • Группа глобальных калибровочных преобразований задается выражением г / г ⋆ .

Важным моментом является то, что преобразования в г ⋆ являются избыточными , в то время как г / г ⋆ физические симметрии системы. Разница между ними в том, что г ⋆ меняют что-то только в конечной области, а преобразования в г / г ⋆ действуют на всем пути до границы на бесконечности.

Есть ли какой-нибудь интуитивный пример, который мотивирует это различие? Другими словами, почему преобразования, которые изменяют что-то только в пределах конечной области, являются избыточными, тогда как настоящие симметрии действуют вплоть до бесконечности?

@ user1504 дал соответствующий ответ здесь physics.stackexchange.com/a/26947/37286 : «Я думаю, что соглашение состоит в том, чтобы считать калибровочные преобразования теми, которые приближаются к идентичности на бесконечности». Мне интересно, почему это определение интуитивно понятно?
Я ответил на аналогичный вопрос physics.stackexchange.com/questions/377785/… , надеюсь, ответ вам поможет.

Ответы (1)

Физические системы описываются дифференциальными уравнениями и подходящими граничными условиями. (Только когда мы комбинируем дифференциальные уравнения с правильными граничными условиями, мы можем ожидать уникальных решений.)

Например, мы можем наложить

ф ( Икс ) → ф 0 как | Икс | → ∞ .

Теперь необходимо идентифицировать состояния, связанные избыточностью. Напротив, симметрия соединяет физически различные состояния, которые обладают одинаковыми свойствами. Однако принципиальным моментом является то, что состояния, связанные преобразованиями симметрии, в принципе различимы.

Это означает, в частности, что только глобальные преобразования могут изменять наши граничные условия, поскольку разные граничные условия соответствуют физически различным состояниям. Следовательно, избыточность должна сохранять наши граничные условия, что подразумевает

г ( Икс ) → 1 как | Икс | → ∞ .

Этот ответ в основном представляет собой просто краткое изложение комментариев @Prahar здесь .

Почему преобразования, которые изменяют что-то только в пределах конечной области, являются избыточными?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v