Хорошо ли определены операторы симметрии в контексте группы проективной симметрии (PSG)?

Рассмотрим подход Швингера-фермиона$\mathbf{S}_i=\frac{1}{2}f_i^\dagger\mathbf{\sigma}f_i$крутить-$\frac{1}{2}$система на двумерных решетках. Как сказал профессор Вен в своей основополагающей статье о PSG , расширенное гильбертово пространство и калибровочная избыточность усложняют наш анализ симметрии.

Теперь возьмем в качестве примера трансляционную симметрию. Унитарный оператор трансляционной симметрии$D$определяется как$D\psi_iD^{-1}=\psi_{i+a}$, где$\psi_i=(f_{i\uparrow},f_{i\downarrow}^\dagger)^T$и$a$— вектор решетки. Как известно, преобразование$\psi_i\rightarrow \widetilde{\psi_i}=G_i\psi_i(G_i\in SU(2))$не меняет спиновые операторы и проективный оператор$P=\prod_{i}(2\hat{n}_i-\hat{n}_i^2)$(Обратите внимание здесь$P\neq \prod _i(1-\hat{n}_{i\uparrow}\hat{n}_{i\downarrow})$). Точно так же в новой основе$\widetilde{\psi_i}$, мы можем определить другой оператор трансляционной симметрии$\widetilde{D}$как:$\widetilde{D}\widetilde\psi_i\widetilde{D}^{-1}=\widetilde\psi_{i+a}$. Но$D\widetilde\psi_iD^{-1}=G_i\psi_{i+a}\neq \widetilde\psi_{i+a}$, Который означает, что$\widetilde{D}\neq D$, операторы трансляции зависят от выбранного нами «фермионного базиса» . Означает ли это, что операторы перевода нефизичны?

Но операторы перевода должны быть физическими, поэтому они эквивалентны в физическом подпространстве, скажем, для любого физического спинового состояния.$\phi=P\phi$, делает$\widetilde{D}\phi=D\phi$? Если это правда, то как это доказать?

Заранее спасибо.