Антикоммутатор генераторов SU(N)SU(N)SU(N)

Действительно, антикоммутатор

$$S^{AB}\equiv \{T^A,T^B\}$$ находится не в алгебре Ли, а в универсальной обертывающей алгебре (образованной суммами произведений образующих); и, как вы поняли в своем ответе, только для фундаментального представления оно находится в пространстве, включающем тождество и алгебру Ли, - благодаря их полноте в охвате$N\times N$матрицы.

В общем, для других представлений вы выходите за пределы этого пространства.
И действительно, как вы можете тривиально видеть для матриц SU (2) спин-1 3 × 3, антикоммутаторы выходят за пределы 4-мерного пространства тождества с 3 генераторами.

В своем ответе вы правильно разложили все антикоммутаторы на проекции на единицу, пространство алгебры Ли и остаточное ортогональное пространство универсальной алгебры Ли M . На практике, однако, M, к счастью, удается спроецировать из всех значимых количеств, подобно следу трилинейки, которую вы представляете с помощью$d_{ABC}$, изменено ниже.

Тем не менее, эти объекты действительно обладают удивительно простыми свойствами, как вы интуитивно поняли в своем ответе, хотя неясно, оценили ли вы их систематизацию. Дело в том, что эти d -коэффициенты, определяемые следом трилинейки, меняются в зависимости от представления (например, они обращаются в нуль для вещественных представлений, таких как сопряженное), но все они пропорциональны$d_{ABC}$фундаментального представления !

То есть, что$d_{ABC}$основы передает свою тензорную структуру всем остальным повторениям, поскольку они построены из основы (см. ниже). (На самом деле, оно фигурирует в определении кубического инварианта Казимира всех SU( N ) для N > 2. Оно, конечно, равно нулю для SU(2).) Есть и другие свойства, которые вы можете найти в 1970 Д. Б. Лихтенберга. Унитарная симметрия и элементарные частицы , Глава 6.2.

Для заданного представления R образующих$T^A_R$, нормализовать, как это принято в HEP,

$$\mathrm{Tr} (T^A_R T^B_R)= T(R) \delta^{AB},$$ где индекс представления T(R) , например, для основного и присоединенного к SU(N),$T(F)=1/2,~~ T(A)=N$.

След трилинейки

$$A(R) d_{ABC}=2\mathrm{Tr} (T^A_R S_R^{BC})=2\mathrm{Tr} (T^A_R \{T^B_R,T^C_R \} ),$$ где коэффициент аномалии A(R) нормирован таким образом, что, конечно, A(F)=1 , так как d-коэффициенты определены в основном, как в постановке вашего вопроса.

Из трилинейности аргумента следа сразу видно, что$A(R)=-A(\bar{R})$, так что A = 0 для любого вещественного представления, подобного присоединенному (или, в случае SU(2), также и фундаментальному, поскольку оно псевдовещественно!). Кроме того, из свойств следа можно видеть, что

$$A(R_1\oplus R_2)= A(R_1)+A(R_2).$$ Хорошая часть приходит с продуктом Кронекера, побочным продуктом двух повторений, $$A(R_1\otimes R_2)= A(R_1)d(R_2)+ d(R_1)A(R_2) , \tag{*}$$ что обеспечивает свойство nice, упомянутое в следе трилинейки. d(R) — размерность задействованного представления.

Чтобы быть более явным, копроизведение (гомоморфизм колец)

$$T^A_{R_1\otimes R_2}=T^A_{R_1}\otimes 1\!\!1_{R_2}+1\!\!1_{R_2}\otimes T^A_{R_2},$$ который удовлетворяет алгебре Ли, хорошо; даже несмотря на то, что антикоммутатор, в отличие от коммутатора, имеет лишние перемычки (он не примитивен, говоря математическим языком): $$S^{AB}_{R_1\otimes R_2}=S^{AB}_{R_1}\otimes 1\!\!1_{R_2} + 1\!\!1_{R_1} \otimes S^{AB}_{R_2} + 2(T^A_{R_1}\otimes T^B_{R_2}+ T^B_{R_1}\otimes T^A_{R_2} ).$$

Однако обратите внимание, что, вставленные в след, эти надоедливые перекрестные члены проецируются просто в силу фундаментального свойства следа, состоящего в том, что след тензорного произведения является произведением следов тензорных факторов. Как следствие, перекрестные члены при умножении на копроизведение генератора всегда будут давать члены, которые где-то содержат тензорный фактор только одной степени генератора, либо$R_1$или$R_2$, и так будет спроецирована бесследность единичной мощности генератора! Это, таким образом, гарантирует, что след аномалии всегда пропорционален$d_{ABC}$, с коэффициентами аномалий, объединенными указанным выше соотношением (*). (Математики называют эту проекцию следствием теоремы Фридриха, но это неважно.)

Все представления могут быть получены посредством тензорирования основного, поэтому их коэффициенты аномалии в принципе могут быть вычислены рекурсивно. (И, конечно, некоторые исчезают — для настоящих.)

Наконец, для декомпозиции, которую вы постулируете правильно по форме, согласованность с приведенной выше трассировкой (отслеживание или умножение на T и отслеживание) вместо этого диктует:

$$S^{AB}_R= \frac{2T(R)}{d(R)}\delta^{AB} 1\!\!1_{d(R)} + \frac{A(R)}{2T(R)} d_{ABC}T^C_R +M^{AB}_R~.$$

---

Если вы хотите исследовать зацепление коммутаторов с антикоммутаторами и деволюцию d -коэффициентов в более высокие представления, вы можете использовать, помимо тождества Якоби,

$$[[A,B],C]+ [[B,C],A]+[[C,A],B] =0,$$ множество его смешанных аналогов, $$[\{A,B\},C]+ [\{B,C\},A]+[\{C,A\},B] =0,\\ [\{A,B\},C]+ \{[C,B],A\}+\{[C,A],B\} =0,$$ и т. д.

Многие фундаментальные соотношения получаются при рассмотрении$K^A\equiv d_{ABC}T^BT^C=d_{ABC}S^{BC}$, который хоть и не примитивен, но трансформируется просто,$[K^A,T^B]=if_{ABC}K^C$. Можно показать, как и выше, что это отношение имеет место для всех представлений, где, однако, d в его определении все еще является фундаментальным. Таким образом, согласно вышеизложенному,$\mathrm{Tr}(T_R^A K_R^B)=A(R)(N^2/4-1)~\delta^{AB}/N$, и так далее.

Для общего представления$t^{A}$генераторов$SU(N)$можно вывести следующую форму антикоммутатора

$$\{t^{A},t^{B}\} = \frac{2N}{d}\delta^{AB}\cdot 1_{d} + d_{ABC}t^{C} + M^{AB}$$ где $$\mathrm{Tr}[t^{A}t^{B}] = N\delta_{AB}\\ d_{ABC} = \frac{1}{N}\mathrm{Tr}[\{t^{A},t^{B}\}t^{C}]$$ и объект $M^{AB}$удовлетворяет ряду свойств $$\mathrm{Tr}[M^{AB}] = 0,\quad M^{AA}=0,\quad \mathrm{Tr}[M^{AB}t^{C}] = 0,\quad M^{AB} = M^{BA}, \quad (M^{AB})^{\dagger} = M^{AB}$$ Предпоследнее свойство выражает ортогональность $M^{AB}$к генераторам $t^{A}$показывая, что он не содержится в алгебре. В случае фундаментального представления $M^{AB}=0$поскольку степени свободы исчерпаны (или, альтернативно, образующие и тождество охватывают все пространство эрмитовых матриц).

В случае присоединенных представлений$SU(2)$и$SU(3)$Я выполнил явный расчет$M^{AB}$, проверяя указанные выше свойства.

Я не уверен, что вы спрашиваете. Для каждой антисимметричной d-мерной матрицы$T$вы можете извлечь часть трассировки и, следовательно, иметь

$$T=\frac{I}{d}\cdot tr{T}+(T-tr{T}).$$ Вы можете проверить, что первый член действительно является следовой частью, а второй член не имеет следов. Итак, в вашем уравнении это просто определение $d_{ABC}$. Обратите внимание, что $tr{{T^{AB}}}=2C\delta^{AB}$в вашем уравнении. В более общем случае для любой d-мерной матрицы T можно иметь $$T=\frac{1}{2}({T+T^{T}})+\frac{I}{d}\cdot tr\left({\frac{1}{2}(T-T^T)}\right)+\left(\frac{1}{2}(T-T^T)-\frac{I}{d}\cdot tr\left({\frac{1}{2}(T-T^T)}\right)\right)$$ с симметричной, следовой и бесследовой антисимметричной частями соответственно.