Как меняется параметр Хаббла с возрастом Вселенной?

Чтобы вычислить постоянную Хаббла, нам нужен масштабный коэффициент ,$a(t)$. Это мера того, насколько расширилась Вселенная. Примем масштабный коэффициент равным единице в текущий момент, так что если$a = 2$это означает, что Вселенная расширилась в два раза больше, чем сейчас. Так же$a = 0.5$означает, что Вселенная расширилась только вдвое меньше, чем сейчас. Постоянная Хаббла рассчитывается на основе масштабного коэффициента с использованием ( подробности см. в ответе Pulsar здесь ):

$$H(a) = H_0\sqrt{\Omega_{R,0}\,a^{-4} + \Omega_{M,0}\,a^{-3} + \Omega_{K,0}\,a^{-2} + \Omega_{\Lambda,0}} \tag{1}$$

Расчет того, как$a$меняется со временем, используя уравнение (см. ответ Pulsar еще раз):

$$t(a) = \frac{1}{H_0}\int_0^a \frac{a'\,\text{d}a'}{\sqrt{\Omega_{R,0} + \Omega_{M,0}\,a' + \Omega_{K,0}\,a'^2 + \Omega_{\Lambda,0}\,a'^4}} \tag{2}$$

Выполнить расчет не так уж и сложно. Гугловская таблица с расчетом здесь . Значения различных параметров взяты из данных Планка:

$$\begin{align} H_0 &= 67.3\;\text{km}\,\text{s}^{-1}\text{Mpc}^{-1},\\ \Omega_{R,0} &= 9.24\times 10^{-5},\\ \Omega_{M,0} &= 0.315,\\ \Omega_{\Lambda,0} &= 0.685,\\ \Omega_{K,0} &= 0 \end{align}$$

И результаты выглядят так:

Единицы времени - текущее время Хаббла,$1/H_0 \approx 14.5$миллиардов лет, так что$1$на оси времени соответствует$14.5$миллиард лет. Обратите внимание, что линия не проходит через точку$(1,1)$потому что текущее время Хаббла больше, чем возраст Вселенной ,$13.798$миллиард лет. Это связано с тем, что расширение Вселенной замедляется со временем после Большого взрыва.

В ранние времена мы ожидаем, что в масштабном факторе будет доминировать материя, и это дает$t^{2/3}$зависимость. В последнее время мы ожидаем, что в масштабном факторе будет доминировать темная энергия, и это дает экспоненциальную зависимость от$t$. На графике это хорошо показано, причем переход происходит где-то за половину времени Хаббла.

В качестве побочного вопроса, больно не иметь аналитической формулы для$a(t)$поэтому я установил следующую функцию, чтобы получить достаточно точную приблизительную формулу:

$$a(t) \approx c_1 t^{2/3} + c_2 \left( e^{t/c_3} - 1\right)$$

Наиболее подходящими значениями коэффициентов были:

$$\begin{align} c_1 &= 0.822 \\ c_2 &= 0.0623 \\ c_3 &= 0.645 \end{align}$$

И соответствие выглядит так:

Неплохое совпадение, хотя будьте осторожны с экстраполяцией за пределы$t = 2/H_0$.

И, наконец, мы можем вычислить постоянную Хаббла, используя уравнение (1). Обратите внимание на логарифмическую шкалу — постоянная Хаббла стремится к бесконечности, поскольку$t \rightarrow$нуль.:

И время Хаббла - это просто$1/H_0$:

Графики показывают, что постоянная Хаббла определенно непостоянна, хотя в последнее время она имеет тенденцию к постоянному значению. Это связано с тем, что в позднем временном расширении преобладает темная энергия, и расширение со временем становится экспоненциальным. Экспоненциальное увеличение означает, что существует постоянное время удвоения (противоположное экспоненциальному распаду, когда существует постоянный период полураспада), а время удвоения - это просто время Хаббла. Таким образом, время Хаббла стремится к константе.

Оставлю пост здесь. Если кому-то нужны подробности о том, как получаются уравнения (1) и (2), прокомментируйте, и я могу добавить еще один ответ с кровавыми подробностями.

Более короткая версия ответа Джона, которая просто фокусируется на том, что произойдет с параметром Хаббла в будущем.

Решение уравнения Фридмана в плоской Вселенной есть

$$H^2 = \frac{8\pi G}{3}\rho + \frac{\Lambda c^2}{3},$$ куда $\rho$- плотность материи (включая темную материю) и $\Lambda$является космологической постоянной.

По мере того, как Вселенная расширяется,$\rho$конечно уменьшается по мере$a(t)^{-3}$, но$\Lambda$остается постоянным. Таким образом, первый член в правой части становится неважным, если он действительно$\Lambda$является космологической постоянной.

Таким образом, параметр Хаббла фактически уменьшается от его текущего значения.$H_0$и асимптотически стремится к$H = \sqrt{\Lambda c^2/3}$по мере того, как время стремится к бесконечности.

Более удобный способ записать сказанное выше — выразить все плотности через критическую плотность. В таком случае

$$H^2 = H_0^2 (\Omega_m a^{-3} + \Omega_{\Lambda}),$$ куда $H_0$- современный параметр Хаббла, $\Omega_m$- современное отношение плотности вещества к критической плотности, которое эволюционирует как обратный куб масштабного фактора $a$, а также $\Omega_{\Lambda}$- (предполагаемая) постоянная плотность энергии вакуума, выраженная как отношение к критической плотности.

Таким образом, как$a$становится большим, то параметр Хаббла стремится к$H_0 \sqrt{\Omega_{\Lambda}} \sim H_0 \sqrt{2/3}$.