подгонка свободных КТП к алгебраической формулировке Хаага-Кастлера

Была ли свободная квантовая теория поля Клейна-Гордона вписана в алгебраическую структуру Хаага-Кастлера? (На самом деле, Джон Баэз сказал мне «да», и он должен знать.) Если да, то можете ли вы описать основную стратегию и/или дать подсказки?

Тот же вопрос для свободной теории поля Дирака.

Оба ответа были полезными, но потребуется время, чтобы их переварить. Интересно отметить, что метод не предполагает начинать с КТП и генерировать алгебры из ограниченных функций размытых полей. Я не могу не удивляться такому подходу. Но, эй, "Теоретическая физика" все равно закрывается.

Ответы (2)

Да, это стандартные примеры. Некоторые ссылки собраны здесь .

Для быстрого обзора/обзора см., например, слайды 11-17 в

  • Эдисон Монтойя, Алгебраическая квантовая теория поля (2009) ( pdf )

Обсуждение свободного скаляра Минковского и искривленного пространства-времени находится в разделе 3.2 книги.

  • Ромео Брунетти, Клаус Фреденхаген, Квантовая теория поля в искривленном пространстве-времени ( arXiv:0901.2063 )

Обсуждение поля Дирака и его деформаций, например, в

  • К. Даппиаджи, Гэндальф Лехнер, Э. Морфа-Моралес, Деформации квантовых теорий поля в пространстве-времени с векторными полями Киллинга , Commun.Math.Phys.305:99-130, (2011), ( arXiv:1006.3548 )

Есть еще много, просто гонитесь за ссылками. Если вообще обсуждается какой-либо пример, то это свободное скалярное поле. Это то, что мотивировало и обучало большую часть теории. Искусство состоит в том, чтобы выйти за рамки этого примера.

Разве нет исключения для безмассового скалярного поля в 2D?
Исключение чего? Фактически, применение AQFT к 2d CFT было наиболее успешным, см. ссылки на ncatlab.org/nlab/show/conformal+net . Мне нравится думать об этом как о некоторой иронии: многие учебники AQFT начинаются с понимания 4d YM и неприязни к теории струн, но затем наиболее серьезные и важные результаты получаются в классификации 2d CFT, и теория струн, вероятно, выиграла больше. от этого усилия, чем у 4d QFT.
Уважаемый Урс, я согласен с тем, что 2D КТП оказалась более успешной как пример аксиоматической обработки, которую можно согласовать со строгими математиками. И это иронично с социологической точки зрения. Но я не согласен с вашим неявным предположением, написанным, по крайней мере, между строк, о том, что сама школа мысли АКФТ представляла собой значительную часть 2D-прозрений. См., например, BPZ (4000 цитирований) www33.atwiki.jp/_pub/sakurazemi/reference/BPZ1984.pdf , документ, который здесь имеет значение. Никаких ссылок на AQFT...
Арнольд, исключение, о котором вы, возможно, думали, — это доказательство Коулмана, что в 2D нет голдстоуновских бозонов, projecteuclid.org/…
Я не занимаюсь наукой, подсчитывая цитирования, но если меня заставят доказать здесь свою точку зрения, указав на авторитетность цитирования, я мог бы указать на arxiv.org/abs/1004.0616 Лонго-Виттена , который использует АКФТ для изучения вопросов, оставшихся в старой книге Виттена. «Некоторые вычисления в независимой от фона теории поля с открытыми струнами».
Уважаемый @Urs, подсчет цитирования далек от совершенства, но вы бы имели гораздо лучшее представление - на много порядков - о ценности различных статей, если бы внимательно их наблюдали. Не хотите же вы предположить, что эта статья Лонго-Виттена сравнима по своему значению с Белавиным-Поляковым-Замолодчиковым? Статья LW — это действительно математика, а не физика. Более того, ссылки на АКФТ являются самоцитированием Лонго+Ререна, так что они, конечно, не несут много информации, не так ли?
∫dⁿ⁻¹p (2p⁰)⁻¹ exp(ip⋅x) неверно определено для d=2, m=0. Таким образом, не существует свободной безмассовой двумерной скалярной КТП. (Подозреваю, что слово «свободный» можно опустить. В этом случае не может быть ни бозона Голдстоуна, ни спонтанного нарушения непрерывной симметрии.) Но это тангенциально.
@GregWeeks: да, это то, что я имел в виду.

Как упомянул Урс в своем ответе, свободные поля действительно представляют собой руководящие примеры для различных аксиоматических систем КТП. Построение свободных полей в пространстве Минковского является стандартной частью теории, хотя может потребоваться некоторое время, чтобы найти точную ссылку, где проверяется, что такая конструкция удовлетворяет желаемому набору аксиом. В частности, для системы аксиом Хаага-Кастлера, когда теория построена на всем пространстве Минковского, необходимо показать инъективность и изоморфизм алгебр, локализованных в подмножествах пространства Минковского, относительно соответствующих включений этих подмножеств.

Конструкции различных свободных бозонных и фермионных полей, включая конкретные случаи скалярных и дираковских полей, можно найти в этих классических справочниках с несколько разной степенью детализации:

  • Баез, Дж. К., Сигал, И. Е., Чжоу, З., Введение в алгебраическую и конструктивную квантовую теорию поля (Принстон, 1992).

  • Уолд, Р.М., Квантовая теория поля в искривленном пространстве-времени и термодинамика черных дыр (Чикаго, 1994).

В строительстве можно выделить два основных этапа. Нужно построить линейное пространство решений как симплектическое многообразие (это классическое фазовое пространство). Тогда нужно превратить алгебру функций на этом пространстве в некоммутативную С * -алгебра квантовых наблюдаемых (это квантование). Поскольку рассматриваемые теории являются линейными, после проведения необходимого функционального анализа это делается с помощью бесконечномерной версии того, как это делается для простого гармонического осциллятора. Для фермионов это довольно просто. Для бозонов приходится использовать промежуточный прием работы с алгеброй ограниченных функций, порожденных возведенными в степень размытыми полями (это алгебра Вейля). Фактические неограниченные операторы, представляющие размытые поля, строятся путем взятия производных элементов алгебры Вейля после выбора представления.

Те же шаги появляются и в работе над КТП по искривленному пространству-времени, где в разных источниках описаны отдельные шаги с разным уровнем детализации. Чтобы получить из последних построений что-то вроде аксиом Хаага-Кастлера, нужно просто ограничиться пространством-временем, состоящим из причинно-алмазных подпространств пространства Минковского. Классические ссылки на определенные теории поля включают:

Самым большим техническим камнем преткновения в этих ссылках является то, как они обрабатывают (или не обрабатывают) некомпактные поверхности Коши.

Современным обобщением аксиом Хаага-Кастлера на произвольное глобально гиперболическое лоренцево пространство-время являются аксиомы Брунетти-Фреденхагена-Верха (или локально ковариантной квантовой теории поля). Вот несколько современных ссылок, которые дают построение свободных полей (включая большинство приведенных выше конкретных примеров) с большими математическими подробностями, которые непосредственно вписываются в эту структуру:

  • Бэр, К., Жину, Н. и Пфаффле, Ф., Волновые уравнения на лоренцевских многообразиях и квантование (EMS, 2007). http://dx.doi.org/10.4171/037 http://arxiv.org/abs/0806.1036
  • Бэр, К. и Жину, Н., Классические и квантовые поля на лоренцевых многообразиях (2011 г.) http://arxiv.org/abs/1104.1158

(Примечание для знатоков: в этой ограниченной ситуации квантование действительно является функтором!)

Конечно, можно найти намного больше литературы, копаясь вперед и назад в сети цитирования, начиная с приведенных выше ссылок.

Спасибо. Два примечания: текст Baez/Segal/Zhou находится на «reslib.com». И учебник Стритера и Вайтмана сразу же представляет невзаимодействующие теории как примеры аксиом текста, в то время как учебники по алгебре Хаага и Араки этого не делают (исходя из моего ограниченного усвоения последних текстов).
Что касается вашего наброска процедуры: как насчет антикоммутативности фермионов? Другими словами: IIUC классических фермионных решений не существует. (Любому, кто спрашивает: «Тогда как мы интегрируем фермионные решения в интегралах по путям?», Я отвечаю: «Интеграция - это формальная интеграция формальных полиномов от многих формальных переменных».)
Что насчет этого? Вопрос о классических фермионных решениях очень интересен, но в линейном случае он полностью обходится стандартными трактовками. Один использует двойственное пространство (т. е. тестовые функции) для пространства классических (вещественных или комплекснозначных) решений для построения алгебры Клиффорда с использованием CAR. Норма на этой алгебре используется, чтобы дополнить ее до С*. Само фермионное поле можно рассматривать как отображение основных функций на генераторы абстрактной алгебры Клиффорда.
Читая «Примечания и ссылки» на reslib.com/book/… , я вижу, что Хааг, Араки и их друзья не использовали алгебры, порожденные ненаблюдаемыми полями после 1964 года. И это то, что я имел в виду в своем вопросе. Для свободной теории Дирака вакуумный сектор содержал бы только состояния с нулевым лептонным числом. Так ли обстоит дело с описанной вами конструкцией?
Описанная мной конструкция является алгебраической версией той, что используется во всех книгах по КТП. Таким образом, он использует ненаблюдаемые поля. Если вы хотите перейти только к наблюдаемым полям, все, что вам нужно сделать, это ограничиться подалгеброй полей с четным числом фермионов. Затем любое представление большей алгебры при ограничении четной подалгеброй разбивается на сектора суперотбора. Я считаю, что заряд суперотбора здесь — это четность числа фермионов, а не просто число. Хотя я могу ошибаться в этой детали.
Спасибо! (И я использовал «лептонное число» для обозначения количества электронов — количества позитронов.)
подгонка свободных КТП к алгебраической формулировке Хаага-Кастлера
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v