Представление функцией Бесселя пространственноподобного пропагатора КГ

Предварительные сведения : В своем тексте QFT Пескин и Шредер дают пропагатор KG (уравнение 2.50).

$$D(x-y)\equiv\langle0|\phi(x)\phi(y)|0\rangle = \int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{2\omega_\vec{p}}e^{-ip\cdot(x-y)},$$

где$\omega_\vec{p}\equiv\sqrt{|\vec{p}|^2+m^2}$. Для светоподобных разделений мы можем выбрать кадр, в котором$x-y$чисто во времени, и пропагатор можно представить в виде (2.51)

$$D(x-y)=\frac{1}{4\pi^2}\int^\infty_m d\omega\sqrt{\omega^2-m^2}e^{-i\omega (y^0-x^0)} \tag{1}\label{timelike_prop},$$

где я использую$\text{diag }\eta=(-,+,+,+)$соглашение.

Теперь у вас есть следующее интегральное представление модифицированной функции Бесселя ( http://dlmf.nist.gov/10.32.8 )

$$\begin{align} K_1(z) &= z\int^\infty_1 dt \sqrt{t^2-1} e^{-zt} \\ &= \frac{z}{m^2} \int^\infty_m dt \sqrt{t^2-m^2} e^{-zt/m}, \tag{2}\label{int_rep} \end{align}$$

где мы переходим ко второй строке, изменяя масштаб переменной интегрирования$t \to t/m$. Сравнение$\eqref{timelike_prop}$с$\eqref{int_rep}$предлагает

$$D(x-y)=\frac{m}{(2\pi)^2|y-x|}K_1(m|y-x|),$$

где мы записали временной интервал в терминах инварианта Лоренца$i (y^0-x^0)=|y-x|$. (Примечание: в том, что я здесь написал, есть проблема, заключающаяся в том, что интегральное представление$\eqref{int_rep}$действует только для$|arg z|<\pi/2$и$|y-x|$находится на мнимой оси ($|arg z|=\pi$), но я думаю, что можно было бы бесконечно мало сместить$z$от мнимой оси, чтобы получить сходящийся интеграл. Проверьте меня на это.)

Во всяком случае, для пространственноподобных разделений мы можем выбрать кадр, в котором$y-x=\vec{y}-\vec{x}\equiv\vec{r}$. Выполнение полярных интегрирований дает

$$D(x-y)=\frac{-i}{2(2\pi)^2 r}\int^\infty_{-\infty}dp\frac{p e^{ipr}}{\sqrt{p^2+m^2}}.$$

Наконец, PS утверждает, что взятие контурного интеграла в верхней полуплоскости (следя за тем, чтобы избежать среза ответвления в точке +im) даст

$$D(x-y)= \frac{1}{(2\pi)^2r}\int^\infty_m d\rho \frac{\rho e^{-\rho r}}{\sqrt{\rho^2-m^2}}, \tag{3}\label{spacelike_prop}$$ где$\rho\equiv-ip$.

Вопрос: Я знаю из Mathematica, что пространственноподобный пропагатор$\eqref{spacelike_prop}$также может быть выражена как модифицированная функция Бесселя$K_1$. Кроме того, границы интегрирования$\eqref{spacelike_prop}$и$\eqref{int_rep}$даже одинаковы. Однако я не вижу, как преобразовать пространственноподобный интеграл пропагатора$\eqref{spacelike_prop}$в форме$\eqref{int_rep}$. Есть идеи?

(Я бы предпочел, если это вообще возможно, использовать интегральное представление, которое я цитировал$\eqref{int_rep}$и используется для времениподобного случая, а не для какого-либо другого представления модифицированной функции Бесселя.)