Алгебра Ли простыми словами [закрыто]

Это огромная тема, но вкратце:

Группы Ли являются гладкими группами. Технически группы Ли — это множества, которые одновременно являются гладкими многообразиями, такими как, например, сфера, а также имеют групповую структуру (оператор умножения, инверсии и тождество). Групповое умножение и обратное должны быть гладкими (дифференцируемыми) функциями на многообразии.

Как вы упомянули, группа вращений в трехмерном пространстве, называемая SO (3), является примером группы Ли. Вращения имеют групповую структуру, потому что вы можете составлять или инвертировать вращения и получать другие вращения, и они также являются гладким многообразием, потому что вы можете плавно изменять ось или угол и, таким образом, непрерывно переходить от одного вращения к другому.

Есть много других примеров групп Ли. Многие типы геометрических преобразований на разных пространствах образуют группы Ли. Они проявляются в физике в преобразованиях пространства-времени ( группа Пуанкаре , в общем случае) и в так называемых «внутренних симметриях», которые преобразуют разные квантовые поля друг в друга (часто специальные унитарные группы различных измерений). Другим примером являются группы диффеоморфизмов , которые появляются в общей теории относительности и теории струн и также являются группами Ли.

Что касается алгебр Ли , то они тесно связаны с группами Ли. Алгебра Ли в основном состоит из «бесконечно малых элементов» группы Ли, т. е. «элементов, бесконечно малых близких к единице». (Я взял это в страшные кавычки, потому что в стандартном анализе бесконечно малые элементы на самом деле не существуют — технически алгебра Ли определяется в касательном пространстве группы Ли в единице. Тем не менее, представление о бесконечно малых элементах полезно и полезно. интуитивный способ думать об этом.)

Например, в случае поворотов речь шла бы о поворотах вокруг любой оси на бесконечно малые углы.

Когда вы умножаете два элемента группы, которые очень близки к идентичности, групповое умножение выглядит как векторная сумма — в основном так же, как$(1+\delta)(1+\epsilon) \approx 1 + (\delta + \epsilon)$когда$\delta$а также$\epsilon$маленькие. Сходным образом,$(1+\epsilon)^{-1} \approx 1 - \epsilon$и поэтому групповая инверсия выглядит как векторное отрицание. Таким образом, алгебра Ли наследует свои операции от операций базовой группы Ли, но сама по себе не выглядит как группа — вместо этого она выглядит как векторное пространство.

Алгебра Ли также имеет, в дополнение к стандартным операциям векторного пространства, билинейную операцию, называемую скобкой Ли, обозначаемую$[x, y]$(куда$x, y$два вектора в алгебре Ли и$[x, y]$генерирует другой вектор). Эта операция измеряет, «насколько некоммутативна» группа Ли; грубо говоря, он соответствует коммутатору$[A, B] = AB - BA$группы Ли.

Забавная и интересная вещь об алгебре Ли заключается в том, что, хотя она получена из бесконечно малого среза группы Ли, она содержит закодированное в ней почти все, что нужно знать о группе, из которой она возникла! На самом деле вы можете реконструировать всю группу Ли, начиная только с алгебры Ли, используя экспоненциальное отображение — обобщение обычной экспоненциальной функции.

(Это почти потому, что в некоторых случаях разные группы Ли имеют одну и ту же алгебру Ли, но разные глобальные структуры — например, SO(3) и SU(2).)

А поскольку алгебры Ли — это векторные пространства, а скобка Ли — билинейная операция, все, что вам действительно нужно, — это набор базисных векторов для алгебры Ли и знание того, что скобка Ли делает с каждой парой базисных векторов.

Такой набор базисных векторов называется набором образующих группы. Если вы примените скобку Ли к каждой паре образующих и запишете получившиеся векторы в виде координат в том же базисе, то полученный набор чисел будет называться структурными константами .

Из генераторов и структурных констант можно сгенерировать алгебру Ли и, следовательно, всю группу Ли (за исключением неоднозначностей глобальной структуры, упомянутых выше)! Это делает алгебры Ли очень мощным инструментом для понимания групп Ли, которые появляются в физике. Например, в физике элементарных частиц калибровочные бозоны (фотоны, W, Z, глюоны) тесно связаны с генераторами групп внутренней симметрии; импульс и угловой момент связаны с генераторами группы Пуанкаре и так далее.

Об этом можно было бы сказать гораздо больше — я даже не упомянул репрезентации! — но этого, вероятно, достаточно для одного ответа, поэтому я остановлюсь здесь. :)

почему это такая распространенная идея.

В физике элементарных частиц и ядерной физике группы и их представления сыграли очень важную роль в разработке стандартных моделей.

Элементарные частицы в таблице по ссылке выше имеют множество квантовых чисел. Эти квантовые числа привели к наблюдаемым симметриям, которые могут быть описаны представлениями группы SU(3). Эта группа подчиняется алгебре Ли.

Упрощение в теоретических моделях происходит потому, что можно предположить, что в первом порядке все частицы, принадлежащие к данному представлению, будут вести себя при взаимодействии одинаково, игнорируя квантовые числа, которые их различают.

Простым примером является SU(2)-симметрия изотопического спина в конструкции ядра. Протон и нейтрон относятся к представлению, в котором протон получает изотопический спин 1/2, а нейтрон -1/2, но вектор (1/2, -1/2) ведет себя одинаково в первом порядке для сильных взаимодействий ядра (которые вытекают из элементарного сильного взаимодействия, но это уже другая история).

Упорядочивание в групповые структуры упрощает расчеты и упорядочивает данные. Спиновые состояния электронов и нуклонов также могут быть описаны симметрией SU(2), и если спиновыми взаимодействиями нельзя пренебречь, то в дело вступает алгебра Ли. Это книга, посвященная симметриям и группам по физике элементарных частиц, которую можно посмотреть в Интернете.

В заключение, симметрии приводят к групповым структурам и упрощению вычислений, и естественно, что в твердом теле также будет использоваться мощный инструмент алгебр Ли.