Разница между наклонными индексами на тензоре

Каждый из индексов в тензоре имеет определенный порядок слева направо. Этот порядок не может быть изменен, если только тензор не обладает определенной симметрией, которая это допускает (или, скорее, которая уравнивает различные компоненты при перестановке).

Позиции индексов вверх-вниз говорят нам о том, связан ли индекс с использованием базисного вектора (вверх) или базисного ковектора (вниз) для этого индекса, чтобы помочь извлечь компонент. Позволять$v$быть одноиндексным тензором.$v^a$компоненты, связанные с набором базисных векторов$e_{(a)}$, и$v_a$являются компонентами, связанными с набором базисных ковекторов$e^{(a)}$. В общем,$v_a \neq v^a$для произвольной системы координат. Каждый индекс может быть связан с базисными векторами или базисными ковекторами, и нам не нужно использовать одни и те же типы базисных элементов для всех индексов тензора.

В пространстве с метрикой мы можем переходить туда и обратно между использованием базисных векторов и базисных ковекторов для извлечения компонентов тензоров (мы можем повышать или понижать индексы более или менее по желанию), поэтому мы склонны связывать все такие комбинации повышающих векторов. вниз индексы с тем же неотъемлемым объектом. Тем не менее, повышение или понижение конкретного индекса в данной ситуации зависит от того, что удобно или необходимо использовать.

Редактировать: Строго говоря, запись индексированного объекта с двумя индексами, выстроенными друг над другом, на самом деле не имеет смысла. Тем не менее, физики все равно часто делают это, например, для символов Кристоффеля — относительно редко они используются каким-либо иным образом, кроме как в качестве символа.$\Gamma^a_{bc}$. Тем не менее, когда дело доходит до тензора Римана или других подобных объектов, лучше всего думать о том, что каждый индекс занимает целый столбец — ничто другое не должно быть выше или ниже этого индекса, чтобы дать ему место для свободного перемещения вверх или вниз, когда договорились с метрикой.

Простой способ увидеть, что они различны, — это рассмотреть, что происходит при повышении (или понижении) всех индексов.

Например, при снижении

Вам нужно «наклонить» индексы, чтобы следить за правильным порядком при опускании и подъеме. Например, если вы просто напишете$T_{ab}^{cde}$, а вы понижаете индекс$c$, что такое правильный тензор:$T_{acb}^{de}$,$T_{cab}^{de}$, или$T_{abc}^{de}$? Обозначение неоднозначно, если вы не «наклоняете» свои индексы.