Сохраняется ли энергия в общей теории относительности? Представляет ли ∇aTabmatter=0∇aTmatterab=0\nabla_aT^{ab}_{\rm Matter}=0 закон сохранения энергии и импульса?

Посмотрев на ответ Джима, я сейчас не уверен в своих знаниях. Однако попробуем разобраться в деталях. Я утверждаю, что тензор энергии-импульса материи в ОТО не сохраняется сам по себе, так как материя всегда взаимодействует с гравитационным полем и вместо этого следует учитывать полную энергию.

Исчезновение ковариантной расходимости$\nabla_a T^{ab}=0$точно отражает эту особенность. Рассмотрим это уравнение, интегрированное по 4-мерному объему

$$\begin{equation} \begin{aligned} 0=&\int_V d^4x \sqrt{-g}\;\nabla_a T^{ab}=\int_V d^4x \nabla_a(\sqrt{-g}\; T^{ab})=\int_V d^4x \partial_a(\sqrt{-g}\; T^{ab})+\ldots\\ =&\int_{\partial V} d\Sigma_a T^{ab}+\ldots, \end{aligned} \end{equation}$$ где точки представляют любые символы Кристоффеля, которые там появляются. Отсюда мы видим, что если выбрать поверхность $\partial V$обычным способом, когда только его $x^0=const$части дают вклад в интеграл, мы получим обычный закон сохранения, деформированный членами связи $$\begin{equation} 0=P^b(x^0=t_2)-P^b(x^0=t_1)+\dots. \end{equation}$$ Итак, поскольку разность 4-импульсов в разное время не обращается в нуль, тензор энергии-импульса материи не сохраняется сам по себе.

Однако, если принять во внимание вклад силы тяжести, который рассчитывается обычным образом

$$\begin{equation} T^{grav}_{ab}=\frac{1}{\sqrt{-g}}\frac{\delta S_{EH}}{\delta g^{ab}}=R_{ab}-\frac12g_{ab}R, \end{equation}$$ мы видим известную особенность ОТО, состоящую в том, что полный тензор энергии-импульса обращается в нуль в силу уравнений Эйнштейна $$\begin{equation} T_{ab}+T_{ab}^{grav}=0. \end{equation}$$ Это отчасти очевидно, потому что тензор полной энергии-импульса получается изменением полного действия относительно $g_{ab}$и поэтому дает именно EOM для гравитационного поля с источником.

Кажется, что потеря энергии излучения переходит в энергию гравитационного поля. Кроме того, вы можете прочитать второй том Ландау-Лофшица, чтобы узнать, как люди определяют псевдотензор энергии-импульса гравитационного поля, который не отменяет тензор энергии-импульса материи и поэтому более полезен для некоторых приложений.

$\nabla T=0$не является законом сохранения. Вы не рассматриваете энергию гравитационного поля таким образом.

Если вы выполните расчет, вы найдете что-то вроде$\partial_{\nu} (\sqrt{-g} T^{\mu \nu}) \neq 0$, поэтому вы не можете определить сохраняющийся заряд, например$P^{\mu}= \int \sqrt{-g} d^4x T^{\mu0}$.

Чтобы объяснить гравитационное скалярное поле, вы могли бы построить псевдотензор, но это неудовлетворительно. В любом случае, в некоторых случаях у вас есть симметрии, которые позволяют вам сохранять количества.

О потерях энергии из-за космологического красного смещения см. Здесь: красное смещение

РЕДАКТИРОВАТЬ: я добавляю кое-что из-за комментариев. Переходя от искривленного пространства к локальной инерциальной системе отсчета, вы, конечно,$\nabla T=0 \rightarrow \partial T=0$и последний ЯВЛЯЕТСЯ законом сохранения. Но не в целом. В общем динамическом пространстве-времени энергия действительно не сохраняется.

Ссылки: Хартл, Гравитация, стр. 482 кап. 22 (Локальные недостатки En-Momentum в искривленном пространстве). См., в частности, пример космологии FRW, который прекрасно отвечает на первоначальный вопрос.

Энергия излучения падает как$a^{-1}$потому что пространство расширяется. По мере расширения пространства пики электромагнитной волны расширяются вместе с ним, что заставляет их отдаляться друг от друга. Это означает, что длина волны излучения увеличивается по мере расширения пространства, поэтому частота уменьшается. Так как энергия$E=h\nu$, если частота уменьшается пропорционально$a^{-1}$, то энергия также падает как$a^{-1}$. Это называется космологическим красным смещением.

Кроме того, как упоминалось в комментариях,$\nabla_{\mu}T^{\mu}_{~\nu}=0$означает, что тензор энергии-импульса сохраняется. Это ОТО-эквивалент закона сохранения энергии и закона сохранения импульса.