Симметрия с точки зрения матриц

Обычно это делается потому, что различные части при разложении трансформируются «хорошо». Например, симметричные части обычно трансформируются только между собой, а также для антисимметричных частей. Таким образом, такое разложение часто облегчает учет при расчетах.

По духу этот процесс подобен разложению состояний со спином 1/2 многих частиц на состояния с определенным полным суммарным спином: в этом случае состояния с заданным суммарным спином$S$трансформироваться между собой.

Практическим побочным продуктом таких разложений является то, что некоторые члены могут сокращаться «по симметрии», точно так же, как, скажем, некоторые интегралы, очевидно,$0$так как подынтегральная функция нечетная, но интервал интегрирования симметричен.

В качестве другого приложения правила выбора могут также разрешать или запрещать выполнение некоторых процессов на основе только аргументов симметрии, и в этом случае остаются только правильно симметричные части.

ОП в основном спрашивает:

Почему мы разлагаем (приводимые) групповые представления на неприводимые групповые представления?

Частичный ответ:

1. Классифицировать (приводимое) представление.

2. Неприводимые представления не могут быть дополнительно усечены без нарушения групповой симметрии.

3. Потому что некоторые неприводимые подпредставления данного (приводимого) представления могут быть запрещены, например, правилами отбора, другими физическими принципами и т. д., а это всегда полезная информация.

^{Очень интересным примером успешного использования инвариантности симметрии или антисимметрии является кварковая модель барионов, состоящая из трех кварков. Итак, предположим, что мы знаем о существовании только трех кварков:$\boldsymbol{u}$,$\boldsymbol{d}$и$\boldsymbol{s}$. При полной симметрии (одинаковая масса) это основные состояния, пусть}

$$\begin{equation} \boldsymbol{u}= \begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix} \qquad \boldsymbol{d}= \begin{bmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{bmatrix} \qquad \boldsymbol{s}= \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix} \tag{B-01} \end{equation}$$ трехмерного комплексного гильбертова пространства кварков, скажем $\mathbf{Q}\equiv \mathbb{C}^{\boldsymbol{3}}$. кварк $\boldsymbol{\xi} \in \mathbf{Q}$выражается через эти основные состояния как $$\begin{equation} \boldsymbol{\xi}=\xi_1\boldsymbol{u}+\xi_2\boldsymbol{d}+\xi_3\boldsymbol{s}= \begin{bmatrix} \xi_1\\ \xi_2\\ \xi_3 \end{bmatrix} \qquad \xi_1,\xi_2,\xi_3 \in \mathbb{C} \tag{B-02} \end{equation}$$ Возьмем еще 2 кварка, чтобы из 3 кварков построить барионы. $$\begin{equation} \boldsymbol{\eta}=\eta_1\boldsymbol{u}+\eta_2\boldsymbol{d}+\eta_3\boldsymbol{s}= \begin{bmatrix} \eta_1\\ \eta_2\\ \eta_3 \end{bmatrix} \:, \qquad \boldsymbol{\zeta}=\zeta_1\boldsymbol{u}+\zeta_2\boldsymbol{d}+\zeta_3\boldsymbol{s}= \begin{bmatrix} \zeta_1\\ \zeta_2\\ \zeta_3 \end{bmatrix} \tag{B-03} \end{equation}$$ Барионное состояние $\:T\:$в продуктовом пространстве $$\begin{equation} \mathbf{B}=\boldsymbol{3}\boldsymbol{\otimes}\boldsymbol{3}\boldsymbol{\otimes}\boldsymbol{3}=\mathbf{Q}\boldsymbol{\otimes}\mathbf{Q}\boldsymbol{\otimes}\mathbf{Q}\equiv \mathbb{C}^{\boldsymbol{3}}\boldsymbol{\otimes}\mathbb{C}^{\boldsymbol{3}}\boldsymbol{\otimes}\mathbb{C}^{\boldsymbol{3}}=\mathbb{C}^{\boldsymbol{27}} \tag{B-04} \end{equation}$$ является произведением состояний выше 3 кварков $$\begin{equation} T=\boldsymbol{\xi}\boldsymbol{\otimes}\boldsymbol{\eta}\boldsymbol{\otimes}\boldsymbol{\zeta} \tag{B-05} \end{equation}$$ поэтому представляется тензором с тремя индексами $$\begin{equation} T_{ijk}=\xi_{i}\eta_{j}\zeta_{k}\:,\qquad i,j,k \in \left\lbrace 1,2,3\right\rbrace \tag{B-06} \end{equation}$$ Теперь при унитарном преобразовании $\;U=u_{\ell m} \in SU(3)\;$в трехмерном пространстве кварков $\;\mathbf{Q}\;$, то есть $$\begin{equation} \boldsymbol{\xi}^{\prime}=U\boldsymbol{\xi}\:,\qquad\boldsymbol{\eta}^{\prime}=U\boldsymbol{\eta}\:,\qquad \boldsymbol{\zeta}^{\prime}=U\boldsymbol{\zeta} \tag{B-07} \end{equation}$$ или по компонентам $$\begin{equation} \xi^{\prime}_{\rho}=u_{\rho i}\xi_{i}\:,\qquad \eta^{\prime}_{\sigma}=u_{\sigma j}\eta_{j}\:,\qquad \zeta^{\prime}_{\tau}=u_{\tau k}\zeta_{k} \tag{B-08} \end{equation}$$ для преобразования барионного состояния имеем $$\begin{equation} T^{\prime}_{\rho\sigma\tau}=\xi^{\prime}_{\rho}\eta^{\prime}_{\sigma}\zeta^{\prime}_{\tau} =\left(u_{\rho i}\xi_{i}\right)\left(u_{\sigma j}\eta_{j} \right)\left(u_{\tau k}\zeta_{k}\right)=\left(u_{\rho i}u_{\sigma j}u_{\tau k}\right)\xi_{i}\eta_{j}\zeta_{k} \tag{B-09} \end{equation}$$ так ^{[Примечание А]} $$\begin{equation} T^{\prime}_{\rho\sigma\tau}=\left(u_{\rho i}u_{\sigma j}u_{\tau k}\right)T_{ijk} \tag{B-10} \end{equation}$$ ^{Чтобы найти инвариантные подпространства или, другими словами, неприводимые представления, мы попытаемся найти инвариантные свойства закона (B-10). Итак, заметим, что если$\:T_{ijk}\:$симметрична (+) или антисимметрична (-) относительно пары индексов, пусть$\:(i,j)\:$, так же как и преобразованное состояние$\:T^{\prime}_{\rho\sigma\tau}\:$по соответствующей паре индексов, в нашем случае$\:(\rho,\sigma)$, с $$\begin{equation} T_{ijk}=\;\pm\;T_{jik} \Longrightarrow T^{\prime}_{\rho\sigma\tau}=\left(u_{\rho i}u_{\sigma j}u_{\tau k}\right)T_{ijk} =\;\pm\;\left(u_{\sigma j}u_{\rho i}u_{\tau k}\right)T_{jik}=\;\pm\; T^{\prime}_{\sigma\rho\tau} \tag{B-11} \end{equation}$$ Если тензор$\:T_{i_{1}i_{2}\cdots i_{r}\cdots i_{s}\cdots i_{p}}\:$с$\:p\:$индексы симметричны (антисимметричны) относительно любой их пары$\:\left( i_{r},i_{s}\right)$, то мы называем его полностью симметричным (антисимметричным) или просто симметричным (антисимметричным).}

^{В качестве первого шага мы извлекаем из$\:T_{ijk}\:$полностью симметричная часть$\:S_{ijk}\:$и полностью антисимметричная часть$\:A_{ijk}\:$}

$$\begin{equation} T_{ijk}= S_{ijk}+A_{ijk}+R_{ijk} \tag{B-12} \end{equation}$$ и после этого проверьте свойства оставшейся части $\:R_{ijk}.$ ^{Сейчас,$\:T_{ijk}\:$это$\:3^{3}\!=\!27\!-\!$размерная величина, и для нашей цели мы классифицируем множество ее 27 элементов на 10 классов, как в следующей схеме: $$\begin{equation} \begin{matrix} 01)\left[300\right]: & T_{111} \\ 02)\left[210\right]: & T_{112},T_{121},T_{211} \\ 03)\left[201\right]: & T_{113},T_{131},T_{311} \\ 04)\left[120\right]: & T_{122},T_{212},T_{221} \\ 05)\left[111\right]: & T_{123},T_{231},T_{312},T_{321},T_{213},T_{132} \\ 06)\left[102\right]: & T_{133},T_{313},T_{331}\\ 07)\left[030\right]: & T_{222} \\ 08)\left[021\right]: & T_{223},T_{232},T_{322} \\ 09)\left[012\right]: & T_{332},T_{323},T_{233} \\ 10)\left[003\right]: & T_{333} \end{matrix} \tag{B-13} \end{equation}$$ Кодовый номер каждого класса представляет собой строку$\;\left[ x_{1}x_{2}x_{3}\right]\;$что означает, что 3 индекса элементов класса содержат$x_{1}$умножить число$1$,$x_{2}$умножить число$2$и$x_{3}$умножить число$3$. Количество классов равно 10, потому что [Примечание B] : так много упорядоченных трезвучий.$\;\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)\;$целых неотрицательных чисел, по которым целое число 3 ($\equiv$количество индексов) можно разделить:
$$\begin{equation} x_{1}+x_{2}+x_{3}=3 \tag{B-14} \end{equation}$$ Расположим 27 компонентов тензора$\:T_{ijk}\:$на куб. В этом случае 10 классам его элементов, см. уравнение (Б-13), соответствуют 10 геометрических фигур: $$\begin{equation} \begin{matrix} \left[300\right],\left[030\right],\left[003\right] & : & \textbf{3} & \textbf{points} \text{ on the main diagonal} \hphantom{===============}\\ \left[210\right],\left[201\right],\left[120\right],\left[102\right],\left[021\right],\left[012\right] & : & \textbf{6} & \textbf{equilateral triangles} \text{ normal to the main diagonal}\hphantom{==}\\ \left[111\right] & : & \textbf{1} & \textbf{regular hexagon} \text{ normal to the main diagonal}\hphantom{====} \end{matrix} \tag{B-13a} \end{equation}$$ Это представление дано на рисунке ниже. Каждая из этих 10 фигур инвариантна относительно любой пары индексов своих элементов. Итак, если к элементам каждой фигуры присоединить переменную, независимую от 9 переменных, присоединенных к остальным 9 фигурам, мы получим полностью симметричный тензор$\:S_{ijk}$. Этот тензор по способу получения 10-мерный. Такое производство приведено в уравнении (B-15). Посмотреть каждую из 10 фигур отдельно в большем размере можно здесь: 10 неизменяемых фигур . Итак, мы извлекли бы из $\:T_{ijk}\:$10-мерная полностью симметричная часть$\:S_{ijk}\:$следующее : $$\begin{equation} \begin{split} 1)\left[300\right]: & S_{111}=T_{111} \\ 2)\left[210\right]: & S_{112}=S_{121}=S_{211}=\dfrac{T_{112}+T_{121}+T_{211}}{3}\\ 3)\left[201\right]: & S_{113}=S_{131}=S_{311}=\dfrac{T_{113}+T_{131}+T_{311}}{3}\\ 4)\left[120\right]: & S_{122}=S_{212}=S_{221}=\dfrac{T_{122}+T_{212}+T_{221}}{3}\\ 5)\left[111\right]: & S_{123}=S_{231}=S_{312}=S_{321}=S_{213}=S_{132}=\\ & \dfrac{\left(T_{123}+T_{231}+T_{312}\right)+\left(T_{321}+T_{213}+T_{132}\right)}{6}\\ 6)\left[102\right]: & S_{133}=S_{313}=S_{331}=\dfrac{T_{133}+T_{313}+T_{331}}{3}\\ 7)\left[030\right]: & S_{222}=T_{222} \\ 8)\left[021\right]: & S_{223}=S_{232}=S_{322}=\dfrac{T_{223}+T_{232}+T_{322}}{3}\\ 9)\left[012\right]: & S_{332}=S_{323}=S_{233}=\dfrac{T_{332}+T_{323}+T_{233}}{3}\\ 10)\left[003\right]: & S_{333}=T_{333} \end{split} \tag{B-15} \end{equation}$$ это берет$^{\prime\prime}$среднее значение$^{\prime\prime}$в каждом классе.}

^{Для полностью антисимметричной части$\:A_{ijk}\:$: если элемент имеет одинаковое значение по крайней мере для двух индексов, то он равен нулю. Понятно, что элементы$\:A_{123}, A_{231}, A_{312}\:$должно иметь одинаковое значение, скажем$\:b_{0}\:$, а также$\:A_{321},A_{213},A_{132}\:$должен сделать и более того [Примечание C]}

$$\begin{equation} A_{123}=A_{231}=A_{312}=\;b_{0}\;=-A_{321}=-A_{213}=-A_{132} \tag{B-16} \end{equation}$$ <sup>Хотя в этом нет смысла, элементы$\:A_{ijk}\:$классифицируются в вышеупомянутых 10 классах и компоненте$\:b_{0}\:$уравнения (B-16) определяется как $$\begin{equation} b_{0}=\dfrac{\left(T_{123}+T_{231}+T_{312}\right)-\left(T_{321}+T_{213}+T_{132}\right)}{6}\\ \tag{B-17} \end{equation}$$ $$\begin{equation} \begin{split} 1)\left[300\right]: & A_{111}=0 \\ 2)\left[210\right]: & A_{112}=A_{121}=A_{211}=0\\ 3)\left[201\right]: & A_{113}=A_{131}=A_{311}=0\\ 4)\left[120\right]: & A_{122}=A_{212}=A_{221}=0\\ 5)\left[111\right]: & A_{123}=A_{231}=A_{312}=-A_{321}=-A_{213}=-A_{132}=\\ &\dfrac{\left(T_{123}+T_{231}+T_{312}\right)-\left(T_{321}+T_{213}+T_{132}\right)}{6}\\ 6)\left[102\right]: & A_{133}=A_{313}=A_{331}=0\\ 7)\left[030\right]: & A_{222}=0 \\ 8)\left[021\right]: & A_{223}=0\\ 9)\left[012\right]: & A_{332}=A_{323}=A_{233}=0\\ 10)\left[003\right]: & A_{333}=0 \end{split} \tag{B-18} \end{equation}$$ Компонент$\:b_{0}\:$одномерного$\:A_{ijk}\:$может быть любым произвольным комплексным числом. Приведенный выше выбор, см. уравнение (B-17), необходим для подачи остальной части тензора $$\begin{equation} R_{ijk} \equiv T_{ijk}-S_{ijk}-A_{ijk} \tag{B-19} \end{equation}$$ с инвариантным свойством $$\begin{equation} R_{ijk}+R_{jki}+R_{kij}=0\;, \quad \text{cyclic permutation of the indices } \;i,j,k \tag{B-20} \end{equation}$$ То, что свойство в (B-20) остается инвариантным относительно закона преобразования (B-10), доказывается следующим образом. $$\begin{equation} \begin{split} R^{\prime}_{\rho\sigma\tau}+R^{\prime}_{\sigma\tau\rho}+R^{\prime}_{\tau\rho\sigma}&=\left(u_{\rho i}u_{\sigma j}u_{\tau k}\right)R_{ijk}+\left(u_{\sigma j}u_{\tau k}u_{\rho i}\right)R_{jki}+\left(u_{\tau k}u_{\rho i}u_{\sigma j}\right)R_{kij}\\ &=\left(u_{\rho i}u_{\sigma j}u_{\tau k}\right)\underbrace{\left(R_{ijk}+R_{jki}+R_{kij}\right)}_{0}=0 \end{split} \nonumber \end{equation}$$ Компоненты 16-мерного тензора$\: R_{ijk}\:$приведены ниже $$\begin{equation} \begin{split} 1)\left[300\right]: & R_{111}=0 \\ 2)\left[210\right]: & R_{112}=\dfrac{2T_{112}-\left(T_{121}+T_{211}\right)}{3}, R_{121}=\dfrac{2T_{121}-\left(T_{211}+T_{112}\right)}{3}, R_{211}=\dfrac{2T_{211}-\left(T_{112}+T_{121}\right)}{3}\\ 3)\left[201\right]: & R_{113}=\dfrac{2T_{113}-\left(T_{131}+T_{311}\right)}{3}, R_{131}=\dfrac{2T_{131}-\left(T_{311}+T_{113}\right)}{3}, R_{311}=\dfrac{2T_{311}-\left(T_{113}+T_{131}\right)}{3}\\ 4)\left[120\right]: & R_{122}=\dfrac{2T_{122}-\left(T_{212}+T_{221}\right)}{3}, R_{212}=\dfrac{2T_{212}-\left(T_{221}+T_{122}\right)}{3}, R_{221}=\dfrac{2T_{221}-\left(T_{122}+T_{212}\right)}{3}\\ 5)\left[111\right]: & R_{123}=\dfrac{2T_{123}-\left(T_{231}+T_{312}\right)}{3}, R_{231}=\dfrac{2T_{231}-\left(T_{312}+T_{123}\right)}{3}, R_{312}=\dfrac{2T_{312}-\left(T_{123}+T_{231}\right)}{3}\\ & R_{321}=\dfrac{2T_{321}-\left(T_{213}+T_{132}\right)}{3}, R_{213}=\dfrac{2T_{213}-\left(T_{132}+T_{321}\right)}{3}, R_{132}=\dfrac{2T_{132}-\left(T_{321}+T_{213}\right)}{3}\\ 6)\left[102\right]: & R_{133}=\dfrac{2T_{133}-\left(T_{313}+T_{331}\right)}{3}, R_{313}=\dfrac{2T_{313}-\left(T_{331}+T_{133}\right)}{3}, R_{331}=\dfrac{2T_{331}-\left(T_{133}+T_{313}\right)}{3}\\ 7)\left[030\right]: & R_{222}=0\\ 8)\left[021\right]: & R_{223}=\dfrac{2T_{223}-\left(T_{232}+T_{322}\right)}{3}, R_{232}=\dfrac{2T_{232}-\left(T_{322}+T_{223}\right)}{3}, R_{322}=\dfrac{2T_{223}-\left(T_{232}+T_{322}\right)}{3}\\ 9)\left[012\right]: & R_{233}=\dfrac{2T_{233}-\left(T_{323}+T_{332}\right)}{3}, R_{323}=\dfrac{2T_{323}-\left(T_{332}+T_{233}\right)}{3}, R_{332}=\dfrac{2T_{332}-\left(T_{233}+T_{323}\right)}{3}\\ 10)\left[003\right]: & R_{333}=0 \end{split} \tag{B-21} \end{equation}$$ Тензор$\: R_{ijk}\:$не является симметричным или антисимметричным относительно любой пары индексов. Таким образом, он еще больше уменьшится, если мы разделим его на симметричные$\: X_{ijk}\:$и антисимметричная часть$\: Y_{ijk}\:$относительно одной и только одной пары индексов, скажем$\:(i,j)\:$ $$\begin{equation} R_{ijk}=X_{ijk}+Y_{ijk}\;, \quad X_{ijk}=\;+\;X_{jik}\;, \quad Y_{ijk}=\;-\;Y_{jik} \tag{B-22} \end{equation}$$
Как обсуждалось в абзаце рядом с законом преобразования (B-10), симметричные и антисимметричные свойства$\: X_{ijk}\:$и$\: Y_{ijk}\:$соответственно относительно парных индексов$\:(i,j)$, остаются инвариантными по указанному выше закону. Из (Б-22) $$\begin{equation} X_{ijk}=\dfrac{R_{ijk}+R_{jik}}{2}\;, Y_{ijk}=\dfrac{R_{ijk}-R_{jik}}{2} \tag{B-23} \end{equation}$$ Тензор$\: X_{ijk}\:$симметричен только относительно одной пары индексов, характеризуется как смешанно-симметричный (МС), он 8-мерный и его элементы заданы в (B-24) $$\begin{equation} \begin{split} 1)\left[300\right]: & X_{111}=0 \\ 2)\left[210\right]: & X_{112}=-2X_{121}=-2X_{211}=\dfrac{2T_{112}-\left(T_{121}+T_{211}\right)}{3}\\ 3)\left[201\right]: & X_{113}=-2X_{131}=-2X_{311}=\dfrac{2T_{113}-\left(T_{131}+T_{311}\right)}{3}\\ 4)\left[120\right]: & X_{221}=-2X_{122}=-2X_{212}=\dfrac{2T_{221}-\left(T_{122}+T_{212}\right)}{3}\\ 5)\left[111\right]: & X_{123}=X_{213}=\dfrac{2\left(T_{123}+T_{213}\right)-\left(T_{231}+T_{312}+T_{132}+T_{321}\right)}{6}\\ & X_{231}=X_{321}=\dfrac{2\left(T_{231}+T_{321}\right)-\left(T_{312}+T_{123}+T_{213}+T_{132}\right)}{6}\\ & X_{312}=X_{132}=-\left( X_{123}+X_{231}\right) =\dfrac{2\left(T_{312}+T_{132}\right)-\left(T_{123}+T_{231}+T_{321}+T_{213}\right)}{6}\\ 6)\left[102\right]: & X_{331}=-2X_{133}=-2X_{313}=\dfrac{2T_{331}-\left(T_{133}+T_{313}\right)}{3}\\ 7)\left[030\right]: & X_{222}=0\\ 8)\left[021\right]: & X_{223}=-2X_{232}=-2X_{322}=\dfrac{2T_{223}-\left(T_{232}+T_{322}\right)}{3}\\ 9)\left[012\right]: & X_{332}=-2X_{233}=-2X_{323}=\dfrac{2T_{332}-\left(T_{233}+T_{323}\right)}{3}\\ 10)\left[003\right]:& X_{333}=0 \end{split} \tag{B-24} \end{equation}$$ Тензор$\: Y_{ijk}\:$антисимметричен только по одной паре индексов, характеризуется как смешанный антисимметричный (СС), он также 8-мерный и его элементы даны в (Б-25) $$\begin{equation} \begin{split} 1)\left[300\right]: & Y_{111}=0 \\ 2)\left[210\right]: & Y_{112}=0,Y_{121}=-Y_{211}=\dfrac{T_{121}-T_{112}}{2}\\ 3)\left[201\right]: & Y_{113}=0,Y_{131}=-Y_{311}=\dfrac{T_{131}-T_{113}}{2}\\ 4)\left[120\right]: & Y_{221}=0,Y_{122}=-Y_{212}=\dfrac{T_{122}-T_{212}}{2}\\ 5)\left[111\right]: & Y_{123}=-Y_{213}=\dfrac{2\left(T_{123}-T_{213}\right)-\left(T_{231}+T_{312}-T_{132}-T_{321}\right)}{6}\\ &Y_{231}=-Y_{321}=\dfrac{2\left(T_{231}-T_{321}\right)-\left(T_{312}+T_{123}-T_{213}-T_{132}\right)}{6}\\ & Y_{312}=-Y_{132}=-\left(Y_{123}+Y_{231}\right)=\dfrac{2\left(T_{312}-T_{132}\right)-\left(T_{123}+T_{231}-T_{321}-T_{213}\right)}{6}\\ 6)\left[102\right]: & Y_{331}=0,Y_{133}=-Y_{313}=\dfrac{T_{133}-T_{313}}{2}\\ 7)\left[030\right]: & Y_{222}=0\\ 8)\left[021\right]: & Y_{223}=0,Y_{232}=-Y_{322}=\dfrac{T_{232}-T_{223}}{2}\\ 9)\left[012\right]: & Y_{332}=0,Y_{323}=-Y_{233}=\dfrac{T_{323}-T_{332}}{2}\\ 10)\left[003\right]:& Y_{333}=0 \end{split} \tag{B-25} \end{equation}$$ Неприводимое представление$\:\boldsymbol{3}\boldsymbol{\otimes}\boldsymbol{3}\boldsymbol{\otimes}\boldsymbol{3}\:$показано на (B-26) ниже. Используемые индексы$\:A=A$нтисимметричный (полностью),$S=S$симметричный (полностью),$MS=M$фиксированный$S$симметричный и$MA=M$фиксированный$A$нтисимметричный. $$\begin{equation} \boldsymbol{3}\boldsymbol{\otimes}\boldsymbol{3}\boldsymbol{\otimes}\boldsymbol{3}= \boldsymbol{1}_{A}\boldsymbol{\oplus}\boldsymbol{10}_{S}\boldsymbol{\oplus} \boldsymbol{8}_{MS}\boldsymbol{\oplus}\boldsymbol{8}_{MA} \tag{B-26} \end{equation}$$ в то время как его связь с вышеупомянутыми тензорами показана в (B-27) $$\begin{equation} \begin{matrix} \underbrace{T_{ijk}}_{\boldsymbol{3}\boldsymbol{\otimes}\boldsymbol{3}\boldsymbol{\otimes}\boldsymbol{3}}\quad = \underbrace{A_{ijk}}_{\boldsymbol{1}_{A}} +\underbrace{S_{ijk}}_{\boldsymbol{10}_{S}} +\underbrace{ X_{ijk}}_{\boldsymbol{8}_{MS}}+\underbrace{ Y_{ijk}}_{\boldsymbol{8}_{MA}} \end{matrix} \tag{B-27} \end{equation}$$ Уравнение (B-27) представляет собой альтернативное выражение без нижних индексов. $$\begin{equation} \boldsymbol{3}\boldsymbol{\otimes}\boldsymbol{3}\boldsymbol{\otimes}\boldsymbol{3}= \boldsymbol{1}\boldsymbol{\oplus}\boldsymbol{10}\boldsymbol{\oplus} \boldsymbol{8}^{\boldsymbol{\prime}}\boldsymbol{\oplus}\boldsymbol{8} \tag{B-28} \end{equation}$$ Связь любой независимой компоненты тензора с барионом достигается:

(а) заменой каждой$\:T_{ijk}\:$в выражении компонента набором его индексов
$\:ijk\:$и в этом множестве подставляя числа$\:1,2,3\:$кварками$\:\boldsymbol{u},\boldsymbol{d},\boldsymbol{s}\:$соответственно $$\begin{equation} 1\longrightarrow \boldsymbol{u}\;,\quad 2\longrightarrow \boldsymbol{d}\;,\quad 3\longrightarrow \boldsymbol{s} \tag{B-29} \end{equation}$$ (b) нормализация результирующего основного состояния бариона. В дальнейшем символ$\:\left[q_{1},q_{2}\right]\:$используется для антисимметричного выражения$\:q_{1}q_{2}-q_{2}q_{1}\:$ $$\begin{equation} \left[q_{1},q_{2}\right]\equiv q_{1}q_{2}-q_{2}q_{1} \tag{B-30} \end{equation}$$ Итак:
(А) синглет$\:\boldsymbol{1}\:$ $\:\Lambda^{0}_{1}\:$от$\:A_{ijk}.$ К полному антисимметричному одномерному тензору$\:A_{ijk}\:$, см. (Б-18), и к компоненту $$\begin{equation} A_{123}=\dfrac{\left(T_{123}+T_{231}+T_{312}\right)-\left(T_{321}+T_{213}+T_{132}\right)}{6} \tag{B-31} \end{equation}$$ соответствует синглет, барион $$\begin{equation} \Lambda^{0}_{1}\sim\dfrac{\left(uds+dsu+sud\right)-\left(sdu+dus+usd\right)}{6} \tag{B-32} \end{equation}$$ который нормализован и после использования символа (B-30) $$\begin{equation} \Lambda^{0}_{1}=\frac{1}{\sqrt{6}}\Bigl(\left[d,s\right]u+\left[s,u\right]d+\left[u,d\right]s\Bigr) \tag{B-33} \end{equation}$$ (B) Decuplet $\:\boldsymbol{10}\:$ $\:\lbrace \Delta^{++},\Delta^{+},\Delta^{0},\Delta^{-},{\Sigma^{*}}^{^{\boldsymbol{+}}},{\Sigma^{*}}^{^{\boldsymbol{0}}},{\Sigma^{*}}^{^{\boldsymbol{-}}},{\Xi^{*}}^{^{\boldsymbol{0}}},{\Xi^{*}}^{^{\boldsymbol{-}}},\Omega^{-}\rbrace\:$ from $\:S_{ijk}.$ To the total symmetric 10-dimensional tensor $\:S_{ijk}\:$, see (B-15), there corresponds component by component the following decuplet $$\begin{equation} \begin{split} 1.\quad S_{111}: & \qquad \Delta^{++}=uuu \\ 2.\quad S_{112}: & \qquad \Delta^{+}=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(uud+udu+duu\right)\\ 3.\quad S_{122}: & \qquad \Delta^{0}=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(udd+dud+ddu\right)\\ 4.\quad S_{222}: & \qquad \Delta^{-}=ddd\\ 5.\quad S_{113}: & \qquad {\Sigma^{*}}^{^{\boldsymbol{+}}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(uus+usu+suu\right)\\ 6.\quad S_{123}: & \qquad {\Sigma^{*}}^{^{\boldsymbol{0}}}=\frac{1}{\sqrt{6}}\left(uds+dsu+sud+sdu+dus+usd\right)\\ 7.\quad S_{223}: & \qquad {\Sigma^{*}}^{^{\boldsymbol{-}}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(dds+dsd+sdd\right)\\ 8.\quad S_{133}: & \qquad {\Xi^{*}}^{^{\boldsymbol{0}}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(uss+sus+ssu\right)\\ 9.\quad S_{233}: & \qquad {\Xi^{*}}^{^{\boldsymbol{-}}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(ssd+sds+dss\right)\\ 10.\quad S_{333}: & \qquad \Omega^{-}=sss \end{split} \tag{B-34} \end{equation}$$ (C) Octet $\:\boldsymbol{8}\:$ $\:\:\lbrace p,n,\Sigma^{+},\Sigma^{0},\Sigma^{-},\Lambda^{0},\Xi^{0},\Xi^{-}\rbrace\:$ from $\:Y_{ijk}.$ To the mixed anti-symmetric 8-dimensional tensor $\:Y_{ijk}\:$, see (B-25), there corresponds component by component the following octet $$\begin{equation} \begin{split} 1.\quad Y_{121}: & \qquad p=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(udu-uud\right)\\ 2.\quad Y_{122}: & \qquad n=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(udd-dud\right)\\ 3.\quad Y_{131}: & \qquad \Sigma^{+}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(usu-uus\right)\\ 4.\quad Y^{\prime}_{231}: & \qquad \Sigma^{0}=\dfrac{1}{2}\Bigl(\left[d,s\right]u+\left[u,s\right]d\Bigr)\\ 5.\quad Y_{232}: & \qquad \Sigma^{-}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(dsd-dds\right)\\ 6.\quad Y_{123}: & \qquad \Lambda^{0}=\frac{1}{\sqrt{12}}\left[ 2\left(uds-dus\right) -\left( dsu+sud-usd-sdu\right)\right]\\ & \qquad \quad =\frac{1}{\sqrt{12}}\Bigl(2\left[u,d\right]s-\left[d,s\right]u-\left[s,u\right]d\Bigr)\\ 7.\quad Y_{133}: & \qquad \Xi^{0}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left(uss-sus\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left[u,s\right]s\\ 8.\quad Y_{323}: & \qquad \Xi^{-}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left(sds-ssd\right)\\ \end{split} \tag{B-35} \end{equation}$$ Note that for the formation of the $\:\Sigma^{0}\:$ baryon as eighth independent component in place of $\: Y_{231}\:$ is used the linear combination $$\begin{equation} Y^{\prime}_{231} \equiv Y_{231}-Y_{312}=\dfrac{\left(T_{231}-T_{321}\right)+\left(T_{132}-T_{312}\right)}{2} \tag{B-36} \end{equation}$$</sup>

^{(D ) Octet $\:\boldsymbol{8'}\:$ from $\:X_{ijk}.$ To the mixed symmetric 8-dimensional tensor $\:X_{ijk}\:$, see (B-24), there corresponds component by component the following octet}

$$\begin{equation} \begin{split} 1.\quad X_{121}: & \qquad \frac{1}{\sqrt{6}}\left(udu+duu-2uud\right)\\ 2.\quad X_{131}: & \qquad \frac{1}{\sqrt{6}}\left(usu+suu-2uus\right)\\ 3.\quad X_{122}: & \qquad \frac{1}{\sqrt{6}}\left(udd+dud-2ddu\right)\\ 4.\quad X_{123}: & \qquad \frac{1}{\sqrt{12}}\left(2uds+2dus-usd-sud-dsu-sdu\right)\\ 5.\quad X'_{231}: & \qquad \frac{1}{\sqrt{2}}\left(sdu+dsu-sud-usd\right)\\ 6.\quad X_{133}: & \qquad \frac{1}{\sqrt{6}}\left(uss+sus-2ssu\right)\\ 7.\quad X_{232}: & \qquad \frac{1}{\sqrt{6}}\left(dsd+sdd-2dds\right)\\ 8.\quad X_{233}: & \qquad \frac{1}{\sqrt{6}}\left(dss+sds-2ssd\right)\\ \end{split} \tag{B-37} \end{equation}$$ ^{Note that for the formation of the member 5. baryon as eighth independent component in place of $\: X_{231}\:$ is used the linear combination $$\begin{equation} X^{\prime}_{231} \equiv X_{231}-X_{312}=\dfrac{\left(T_{321}-T_{312}\right)+\left(T_{231}-T_{132}\right)}{2} \tag{B-38} \end{equation}$$}

^{$========================Notes==========================$}

^{[Примечание A]: преобразование$\:\left(u_{\rho i}u_{\sigma j}u_{\tau k}\right)\:$в (B-10) это произведение}

$$\begin{equation} u_{\rho i}u_{\sigma j}u_{\tau k} \longrightarrow U\!\boldsymbol{\otimes}\!U\!\boldsymbol{\otimes}\!U=U^{\boldsymbol{\otimes}3} \tag{N-01} \end{equation}$$ [Примечание B]: Пусть набор комплексных чисел представлен математической величиной. $T_{i_{1}i_{2}\cdots i_{p-1}i_{p}}$с $p$индексы. Эти индексы принимают значения в множестве $\left\lbrace 1,2,3, \cdots ,d\!-\!1,d \right\rbrace$. Здесь $\:p\:$и $\:d\:$являются положительными целыми числами, поэтому
$$\begin{equation} \begin{split} T_{i_{1}i_{2}\cdots i_{p-1}i_{p}} \in \mathbb{C}\;, \qquad & i_{k}\in \left\lbrace 1,2,3, \cdots ,d-1,d \right\rbrace\\ & p, d \in \mathbb{N}=\left\lbrace 1,2,\cdots\right\rbrace \end{split} \tag{N-02} \end{equation}$$ Положительное целое число $\:d\:$обычно представляет размерность линейного пространства. ^{Общий тензор$\:T_{i_{1}i_{2}\cdots i_{p-1}i_{p}}\:$определяется уравнением (N-02), имеет$\:d^{p}\:$линейно независимые элементы, классифицированные в$\:N\!\left(p,d\right)\:$классы. Каждый класс имеет код или имя$\:\left[ x_{1}x_{2}\cdots x_{d}\right]\:$, где в этом классе$x_{1}$индексы принимают значение$1$,$x_{2}$индексы принимают значение$2$и так далее$x_{d}$ indices take the value $d$. So, the number of the classes $\:N\!\left(p,d\right)\:$ is the number of the ordered solutions $\:\mathbf{x}=\left(x_{1}, x_{2},\cdots x_{d}\right)\:$ of the equation
$$\begin{equation} x_{1}+x_{2}+\cdots + x_{d}=p \tag{N-03} \end{equation}$$ where all $x_{k}$ are nonnegative integers. From combinatorics this number is $$\begin{equation} N\!\left(p,d\right)=\binom{p\!+\!d\!-\!1}{d\!-\!1} \tag{N-04} \end{equation}$$ The number of elements in class $\:\left[ x_{1}x_{2}\cdots x_{d}\right]\:$ is $$\begin{equation} \text{number of elements in class }\:\left[ x_{1}x_{2}\cdots x_{d}\right] =\frac{p!}{x_{1}!x_{2}!\cdots x_{d}!} \tag{N-05} \end{equation}$$ so $$\begin{equation} \sum_{x_{1}\!+\!x_{2}\cdots \!+\!x_{d}=p}\frac{p!}{x_{1}!x_{2}!\cdots x_{d}!}=d^{p} \tag{N-06} \end{equation}$$ If $\:T_{i_{1}i_{2}\cdots i_{p-1}i_{p}}\:$ is symmetric with respect to any pair of indices, called totally symmetric, then taking one and only one element of each class we form the set of its $\:N\!\left(p,d\right)\:$ linearly independent elements. For example, if $\:p=3\:$ and $\:d=3\:$ then $$\begin{equation} N\!\left(p,d\right)=N\!\left(3,3\right)=\binom{3\!+\!3\!-\!1}{3\!-\!1}=\binom{5}{2}= 10 \tag{N-07} \end{equation}$$ In the Figure below the 27 components of a tensor $\mathrm{a}_{ijk}$ are arranged on a cube. If this tensor is totally symmetric then its linear independent components are 10. A choice of such a $^{\prime\prime}$decuplet$^{\prime\prime}$ of elements is the 10 elements on the pyramid shown (green balls). This pyramid is formed from two diagonal planes : a diagonal plane which separates the elements of the cube because of the symmetry with respect to the pair of indices $\left(k,i\right)$и диагональная плоскость, разделяющая элементы куба из-за симметрии относительно пары индексов$\left(j,k\right)$. Тогда автоматически существует симметрия относительно третьей пары индексов$\left(i,j\right)$.} См. 3D-версию приведенного выше рисунка здесь: Полностью симметричная матрица.

^{[Примечание C]: На рисунке ниже полностью антисимметричный тензор$\mathrm{b}_{ijk}$Показано. Тензор одномерный.}

См. 3D-версию приведенного выше рисунка здесь: Полностью антисимметричная матрица.