Могут ли два фермиона занимать один и тот же энергетический уровень в бесконечной потенциальной яме?

Полная волновая функция должна быть антисимметричной при обмене частицами. Поскольку каждый электрон находится в одном и том же 1-частичном основном состоянии,$E_0(x)$, пространственная волновая функция будет симметричной при перестановке; следовательно, спиновая волновая функция должна быть антисимметричной.

Двухчастичная волновая функция:

$$E_{0,0}(x_1, x_2) = E_0(x_1)E_0(x_2) = E_0(x_2)E_0(x_1) = E_0(x_2, x_1).$$

Правила сложения углового момента хорошо задокументированы. Антисимметричное основное состояние будет иметь$S=0$, и конечно$S_z=0$:

$$\Xi_{1, 2} = \frac 1{\sqrt{2}}(\uparrow_1\downarrow_2-\downarrow_1\uparrow_2),$$

где нижние индексы обозначают индекс частицы (а стрелки указывают z-компоненту). Обратите внимание, что:

$$\Xi_{2, 1} = \frac 1{\sqrt{2}}(\uparrow_2\downarrow_1-\downarrow_2\uparrow_1) = -\frac 1{\sqrt{2}}(\uparrow_1\downarrow_2-\downarrow_1\uparrow_2)=-\Xi_{1, 2}$$

так что спиновое состояние действительно антисимметрично.

Полная волновая функция является их произведением:

$$\psi_{1, 2} = E_0(x_1)E_0(x_2)\Xi_{1, 2}.$$

Обратите внимание, что утверждение «электроны имеют разный спин» вводит в заблуждение (я бы даже сказал «классическое»): у них один и тот же спин:$J = \hbar\sqrt{j(j+1)} = \sqrt{3/2}\hbar$. Они даже имеют одинаковую проекцию на$z-$ось:$\pm\hbar/2$-- просто их комбинация антисимметрична относительно взаимного обмена.

Наконец: мне нигде не нужно было ссылаться на количественное решение квадратной ямы.