Выражение для расстояния ближайшего сближения в геодезических исследованиях Шварцшильда

Question

Выражение для расстояния ближайшего сближения в геодезических исследованиях Шварцшильда

Алан Роминджер

В статье Википедии «Задача двух тел в общей теории относительности» используются две переменные масштаба длины: $a$ и $b$ , чтобы упростить математику. Чтобы получить некоторую информацию об этом, рассмотрите следующие утверждения из статьи:

Они являются константами движения и зависят от начальных условий (положения и скорости) пробной частицы.

и

Здесь b можно интерпретировать как расстояние наибольшего сближения.

Они впервые встречаются в этом уравнении:

{(\frac{г р}{г ф})}^{2} "=" \frac{р^{4}}{б^{2}} - (1 - \frac{р_{с}}{р}) (\frac{р^{4}}{а^{2}} + р^{2})

$\left( \frac{dr}{d\varphi} \right)^{2} = \frac{r^{4}}{b^{2}} - \left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) \left( \frac{r^{4}}{a^{2}} + r^{2} \right)$

Некоторую часть необходимой математики можно найти в других статьях, в частности, в геодезических работах Шварцшильда , где в разделе «Орбиты пробных частиц» приведены два уравнения, которые якобы определяют $a$ и $b$ .

(1 - \frac{р_{с}}{р}) (\frac{г т}{г т}) "=" \frac{а}{б}

$\left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) \left( \frac{dt}{d\tau} \right) = \frac{a}{b}$

р^{2} (\frac{г ф}{г т}) "=" а с

$r^{2} \left( \frac{d\varphi}{d\tau} \right) = a c$

Моя первая проблема в том, что я не понимаю, как они определяют $a$ и $b$ . Как следует из предыдущей цитаты, они должны быть вычислимы при заданных начальных условиях пробной частицы, а не зависеть от динамических производных, как подразумевают приведенные выше уравнения. Вернемся к статье о двух телах. В нем упоминается следующее в тексте, подразумевающее прямое выражение $a = h/c$ .

Эффективный потенциал V можно переписать через длину a = h/c

Хотя это и не определено в этой статье, другие статьи по этому вопросу дают последовательное определение $h$ . Здесь, $L$ угловой момент и $\mu$ это приведенная масса. Поскольку мы имеем дело только с пробной частицей с малой массой по сравнению с черной дырой, уменьшенная масса и есть ее масса.

час "=" л / мю "=" л / м

$h = L/ \mu = L / m$

Если вы этого не хотите, нам даже не нужно включать массу частицы. Обозначим угловой момент как $L = \vec{r} \times m \vec{v}$ , поэтому мы можем написать следующее. Это также подразумевает интерпретацию того, что $a$ - удельный относительный угловой момент в геометризированной системе единиц .

час "=" \vec{р} \times \vec{в}

$h = \vec{r} \times \vec{v}$

а "=" (\vec{р} \times \vec{в}) / с

$a = (\vec{r} \times \vec{v}) / c$

Это даже сложнее, чем необходимо, поскольку большая часть работы на странице с двумя телами предполагает движение в одной плоскости, что устранило бы векторную запись. Чтобы завершить этот вопрос, позвольте мне объяснить, что я бы просто решил для $b$ из известного выражения $a$ используя одно из уравнений, которые я опубликовал, но у меня недостаточно информации. Я вижу, что было бы необходимо иметь выражение, относящееся к $d \phi$ и $d \tau$ , поэтому я просмотрел информацию о геодезических схемах Шварцшильда для этого, я не могу ее найти, и я подозреваю, что это из-за упрощений, введенных для математических расчетов для тестовой частицы.

В общем, у нас есть интерпретация $b$ и явное уравнение для $a$ . Что такое явное уравнение для $b$ ?

пользователь10851

Связано: physics.stackexchange.com/q/52315/10851 (в большей степени ответы, чем вопрос, поскольку они определяют

b

$b$ по пути)

Ответы (2)

Выражение для расстояния ближайшего сближения в геодезических исследованиях Шварцшильда

Связано: physics.stackexchange.com/q/52315/10851 (в большей степени ответы, чем вопрос, поскольку они определяют $b$ по пути)

Qмеханик · Answer 1

Википедия утверждает:

Здесь, $b$ можно интерпретировать как расстояние наибольшего сближения.

Да, но эта интерпретация в Википедии сделана для безмассовых частиц с ближайшим сближением, намного превышающим радиус Шварцшильда. $r_s$ . В целом такая интерпретация неверна.

С другой стороны, приведенные выше уравнения OP (v1) относятся к массивной частице, поэтому в дальнейшем давайте сосредоточимся на массивном случае.

Как пишет ОП

а с "=" час "=" \frac{л}{м_{0}}

$ac~=~h~=~\frac{L}{m_0}$ - удельный угловой момент

h

$h$ . В общем,

б "=" с \frac{л}{Е} "=" \frac{м_{0} с}{Е} час "=" а \frac{м_{0} с^{2}}{Е}

$b~=~c\frac{L}{E}~=~\frac{m_0c}{E}h~=~a\frac{m_0c^2}{E}$

представляет собой отношение между (удельным) угловым моментом и (удельной) энергией, умноженной на скорость света. количества $L$ и $E$ являются константами движения, которые, в свою очередь, отражают (некоторые) симметрии Киллинга метрики Шварцшильда.

Уравнение для ближайшего расстояния до черной дыры можно вывести из радиального геодезического уравнения

\frac{1}{с^{2}} {(\frac{г р}{г т})}^{2} "=" {(\frac{Е}{м_{0} с^{2}})}^{2} - (1 - \frac{р_{с}}{р}) ({(\frac{а}{р})}^{2} + 1)

$\frac{1}{c^2}\left( \frac{dr}{d\tau} \right)^{2} = \left(\frac{E}{m_0c^2}\right)^{2} - \left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) \left( \left(\frac{a}{r}\right)^2 + 1 \right)$

для массивной частицы в экваториальной плоскости, положив

\frac{г р}{г т} "=" 0

$\frac{dr}{d\tau}~=~0$

и решить это уравнение третьего порядка для $r$ .

Использованная литература:

С. Кэрролл, Конспект лекций по общей теории относительности, глава 7, стр. 172-179. Файл в формате pdf доступен на его веб-сайте .

Мне потребовалось некоторое время, чтобы обработать, но это хороший ответ. Все константы в результирующем уравнении движения заполнены. Насколько я понимаю, это дифференциальное уравнение может дать радиальное положение как функцию местного времени. Этого достаточно, чтобы идентифицировать все в статье о двух телах.

нервххх · Answer 2

Вы упомянули, что константы не должны «зависеть от динамических производных, как это следует из приведенных выше уравнений». Что ж, эта конкретная комбинация динамических производных сохраняется .

Например, возьмем шарик, привязанный к веревке, движущейся по кругу с постоянной скоростью. $v_x$ и $v_y$ динамичны, т. е. изменяются во времени, но сочетание $\frac{1}{2} m (v_x^2 + v_y^2)$ нет. Кстати, это энергия мяча. Таким образом, постоянная движения вполне может зависеть от динамических переменных!

Теперь вернемся к геодезической Шварцшильда. Метрика Шварцшильда имеет четыре вектора Киллинга. Два вектора Киллинга подразумевают, что частица будет двигаться в плоскости, поэтому мы всегда можем выбрать $\theta = \pi/2$ , а два других вектора Киллинга равны $K^\mu = (1,0,0,0)$ и $R^\mu = (0,0,0,1)$ .

Теперь, если у нас есть вектор Киллинга, вдоль геодезической сохраняется следующее: $K_\mu U^\mu$ где $U^\mu = dx^\mu/d\tau$ . $K$ , времяподобный вектор Киллинга, дает сохранение энергии,

\begin{aligned} Е "=" - К_{мю} \frac{г {Икс}^{мю}}{г т} "=" (1 - р_{с} / р) \frac{г т}{г т}, \end{aligned}

$\begin{align} E = -K_\mu \frac{dx^\mu}{d\tau} = (1 - r_s/r)\frac{dt}{d\tau}, \end{align}$ где

E

$E$ это энергия на единицу массы, но которую Википедия назвала

a / b

$a/b$ .

Для $R$ имеем закон сохранения углового момента,

\begin{aligned} л "=" р_{мю} \frac{г {Икс}^{мю}}{г т} "=" р^{2} \frac{г ф}{г т}, \end{aligned}

$\begin{align} L = R_\mu \frac{dx^\mu}{d\tau} = r^2 \frac{d\varphi}{d\tau}, \end{align}$ который Википедия назвала

a

$a$ (я установил

c = 1

$c = 1$ ).

$E$ и $L$ или эквивалентно $a$ и $b$ , получаются из начальных условий, как вы правильно сказали. Так вот откуда они берутся. (Зачем определять $a$ и $b$ ? Так что в них есть какой-то физический смысл. Согласно Википедии $b$ это «расстояние ближайшего сближения» и $a$ это угловой момент на единицу массы, как вы указали)

Итак, чтобы ответить на ваш вопрос о «явном уравнении» для $b$ ... именно так, как вы написали. Просто подключите начальные условия и выскакивает $a$ и $b$ .

Например, скажем, частица начинает покоиться из бесконечности и падает на радиальную геодезическую... это означает, что $d\varphi/d\tau|_{r = \infty} = 0$ что подразумевает $a = 0$ , а также означает, что $(1-r_s/r)|_{r = \infty} = 1$ и $dt/d\tau|_{r=\infty} = 1$ , что подразумевает $b = a$ так что $a/b$ интерпретируется как равный 1.

Выражение для расстояния ближайшего сближения в геодезических исследованиях Шварцшильда

Алан Роминджер

пользователь10851

Ответы (2)

Qмеханик

Алан Роминджер

нервххх

Что происходит, когда стабильная орбитальная скорость приближается к скорости света?

Почему орбиты вокруг черных дыр стабильны?

Почему Эйнштейн ошибался насчет черных дыр?

Эффективный потенциал в общей теории относительности

Заряженный акселерометр на орбите

Путаница относительно того, что гравитация не является силой

Излучают ли планеты, вращающиеся вокруг звезд, гравитационные волны?

Негеодезическая круговая орбита? [закрыто]

Релятивистские эффекты орбиты вокруг Солнца в другом направлении, чем Земля

Моделирование прохождения релятивистского зонда через внешнюю солнечную систему