Длина и ширина поворота полностью зависят от трех вещей:

1. Какова реальная скорость полета.
2. Каков угол крена поворота?
3. Сохраняется ли горизонтальный полет во время разворота.

Поскольку это проще всего рассчитать и, предположительно, то, что вы намеревались, мы предположим, что № 3 верен (горизонтальный полет). Однако, если вам действительно нужно быстро развернуться, поворот на спуске даст вам крутой поворот без дополнительных перегрузок.

Крейсерская скорость для Боинга-747 зависит от высоты, поколения, правил компании и т. д., но для этого примера мы выберем 0,85 Маха, что кажется приблизительным. Если мы говорим, что это крейсерская высота 35 000 футов в стандартных атмосферных условиях, то получается 490 узлов TAS.

Затем выберите угол крена. Разумный угол крена для этого самолета с пассажирами на борту составляет 25°, а вы, вероятно, могли бы обойтись и 30°. Все, что сверх этого, вызовет жалобы пассажиров. Конечно, если это чрезвычайная ситуация, вы можете подумать о чем-то более высоком. Просто помните, чем больше угол крена, тем сильнее перегрузки, которые будут ощущать люди внутри и сам самолет, который имеет конструктивные ограничения. G-силу можно рассчитать, используя:

$$gforce = \frac{1}{\cos(bank)}$$

---

Для примера выберем крен 25°, так как это наиболее реалистично.

Радиус

Вычислите радиус поворота, используя эту формулу, немного измененную из Википедии , чтобы дать NMI вместо футов:

$$Radius\ of\ turn\ in\ nautical\ miles= \frac{velocity^2}{68579 \times \tan(bank)}$$

Что дает нам:

$$7.51nmi = \frac{490^2}{68579 \times \tan(25°)}$$

Таким образом, сам поворот будет иметь ширину около 15 морских миль (≈ 91 000 футов) без учета ветра.

Пройденный путь

Используя базовую геометрию, расстояние, проходимое для поворота на 180 °, равно$d = r\pi$(половина окружности круга), значит:

$$23.59= 7.51\pi$$

Давая нам 23,59 морских миль.

Продолжительность

$$time\ in\ minutes = \frac{distance \times 60}{TAS}$$

Таким образом, при скорости 490 узлов (морских миль в час) и крене 25° для завершения поворота потребуется около 2 минут 53 секунды.

$$2.89 = \frac{23.59 \times 60}{490}$$

Вы можете просмотреть и рассчитать результаты для любой скорости и угла крена, которые вы хотите. Это верно независимо от типа рассматриваемого самолета.

---

Поворот на спуске

Ваш отредактированный вопрос спрашивает, сколько высоты было бы потеряно, если бы это был не горизонтальный поворот. На этот вопрос также нет однозначного ответа, потому что он полностью зависит от того, как вы выполняете маневр.

Одна из причин, по которой вам, возможно , придется снижаться в повороте, заключается в том, что увеличение подъемной силы приводит к увеличению индуктивного сопротивления, а у двигателей самолета может не хватить мощности для компенсации, что приводит к снижению воздушной скорости и, возможно, к сваливанию. В этом случае уравнения для расчета радиуса разворота точно такие же, как и в горизонтальном полете. Количество потерянной высоты будет зависеть от скорости снижения, необходимой для поддержания воздушной скорости, которая будет варьироваться в зависимости от доступной мощности двигателя, веса самолета и кривой сопротивления при заданной скорости и угле атаки. Ответ Петера Кемпфа дает пример того, как это может выглядеть для 747 при повороте 1,5 g.

Еще одним вариантом поворотного спуска может быть ускоренный спуск. Преимущество в этом случае в том, что он позволяет выполнять повороты без дополнительной перегрузки. Недостатком является то, что вы будете ускоряться вниз, а не спускаться с постоянной скоростью. Это может выйти из-под контроля очень быстро и будет хорошо только для очень коротких ходов.

Чтобы проиллюстрировать этот катастрофический вариант, давайте посмотрим, что произойдет при повороте на 1 g при тех же 25° и 490 узлах TAS. Поскольку математика более сложная, будет проще говорить об этой части в метрических единицах. Вот таблица преобразования:

1 nautical mile = 1852 meters
1 knot = 0.514444 meters per second
1 foot = 0.3048 meters

Во-первых, для поддержания постоянной 1g вектор подъемной силы просто поворачивается в повороте (вместо того, чтобы вращаться и увеличиваться для сохранения высоты). Следовательно, величина нашего вектора подъемной силы будет равна ускорению свободного падения у поверхности Земли. Округлим до 9,8 м/с/с.

Внутреннее ускорение

Наше ускорение к центру поворота$a_c$(часть нашего вектора подъемной силы направлена ​​внутрь, а не вверх) можно определить с помощью следующего уравнения, где$\theta$угол крена:

$$\sin(\theta) = \frac{a_c}{g}$$

Решение для$a_c$:

$$a_c = g\sin(\theta)$$

Следовательно

$$4.142 = 9.8\sin(25°)$$

Радиус

Таким образом, 4,142 метра в секунду за секунду — это то, как быстро при крене 25° и 1 g мы будем ускоряться по направлению к центру поворота. С этой информацией, наряду с нашей известной скоростью, мы можем рассчитать радиус поворота, используя это уравнение, где$v$наша скорость в метрах в секунду, и$R$радиус в метрах:

$$R = \frac{v^2}{a_c}$$

Подставьте наши номера:

$$15341 = \frac{(490 \times 0.514444)^2}{4.142}$$

Получается радиус 15341 метр (8,28 морских миль).

Пройденный путь

Теперь, когда у нас есть радиус, мы можем рассчитать, сколько времени нам понадобится, чтобы повернуться на 180°. Эта часть представляет собой то же уравнение, что и раньше.

$$48195 = 15341\pi$$

Получаем 48195 метров (26 морских миль).

Продолжительность

Расстояние, деленное на скорость, дает нам продолжительность.

$$t = \frac{d}{v}$$

В нашем случае:

$$191.2\ seconds = \frac{48195}{490 \times 0.514444}$$

Таким образом, для завершения поворота потребуется 3 минуты 11 секунд.

Ускорение вниз

Последнее значение, которое нам нужно, прежде чем мы сможем вычислить высоту, потерянную в повороте, — это вычислить, насколько быстро мы будем ускоряться по направлению к земле в этом повороте. Давайте сначала вычислим восходящую часть нашего вектора подъемной силы:

$$a_u = g\cos(\theta)$$

Следовательно

$$8.882 = 9.8\cos(25°)$$

Наш вектор подъемной силы ускоряет нас вверх со скоростью 8,882 м/с/с, в то время как гравитация пытается тянуть нас вниз со скоростью -9,8 м/с/с. Получается чистый вектор -0,918 м/с/с.

Потеря высоты

Эта часть требует немного вычислений, потому что скорость нашего спуска увеличивается. Интеграл ускорения есть скорость ($v = at$), а интеграл скорости есть расстояние:

$$d = \frac{at^2}{2}$$

Итак, посчитаем изменение вертикального расстояния (высоты):

$$-16780 = \frac{-0.918 \times 191.2^2}{2}$$

Итак, теоретически наш самолет потерял 16 780 метров высоты (55 052 фута). Конечно, поскольку для начала мы находились всего в 35 000 футов в воздухе, для нас это довольно плохие новости. Помимо удара о землю, вы также рискуете повредить конструкцию планера, потому что в этом примере 490 узлов считается скоростью относительно земли, но общая скорость будет выше (около 596 узлов) к концу поворота. из-за скорости погружения.

Вы также заметите, что, предполагая, что у нас была высота, которую нужно было сбросить, разворот занял больше времени, чем в горизонтальном полете. Это связано с тем, что величина вектора подъемной силы была меньше.

Вы можете свободно экспериментировать с другими скоростями и углами крена, а также можете поэкспериментировать с более высокими g-поворотами (просто замените$g$в уравнениях с$2g$или похожие). В некоторых случаях с перегрузкой более 1 g вы действительно можете набрать высоту, хотя маловероятно, что Боинг-747 сможет выдержать маневр с большой перегрузкой, который набирает высоту.

В качестве второго примера рассмотрим разворот на 2g с креном 80° на скорости 400 узлов:

$$a_c = 19.302 = 2g\sin(80°) \\ R = 2193.8 = \frac{400 \times 0.514444}{a_c} \\ d = 6892 = R\pi \\ t = 33.5 seconds \\ a_u = 3.404 = 2g\cos(80°)$$

Общая потеря высоты составляет 3589 метров (11 775 футов) за 33,5 секунды. Однако в конце поворота скорость снижения составит 214 метров (703 фута) в секунду. Это более 42 000 футов в минуту. Оправиться от этого на оставшейся высоте, наверное, можно, но неприятно.

Чтобы рассчитать скорость поворота, лучше всего начать с коэффициента загрузки.$n_z$или угол крена$\Phi$и рассчитать все остальные параметры по этим формулам:

$$n_z = \frac{1}{cos \,\Phi}$$ Радиус: $$R = \frac{v^2}{g\cdot tan\,\Phi}$$ Угловая скорость (рад/сек): $$\Omega = \frac{v}{R} = \frac{g\cdot tan\,\Phi}{v}$$

Авиалайнер в крейсерском режиме будет лететь близко к местной максимальной подъемной силе, поэтому не сможет выдержать крутой вираж. Тяга более чем на несколько процентов от 1 g вызовет более сильные удары по верхнему крылу, что приведет к резкому увеличению сопротивления и может даже привести к остановке самолета. Это называется высокоскоростным сваливанием. К счастью, все очень быстро улучшается, когда самолет немного замедляется. Однако, если он замедлится слишком сильно, он войдет в сваливание на низкой скорости, потому что оба они разделены небольшим диапазоном скоростей при полете в воздухе с низкой плотностью при высоком числе Маха.

Чтобы дать вам представление о том, какой коэффициент нагрузки зависит от угла крена, вот небольшой список:

    Ω       load factor [g]
    0°        1.0
   10°        1.0154
   20°        1.0642
   30°        1.1547
   40°        1.3054
   50°        1.5557
   60°        2.0
   70°        2.9238
   80°        5.7588

Я бы предположил, что в крейсерском режиме крен более 20° будет невозможен. Учитывая, что Боинг 747 может летать со скоростью 0,85 Маха, это означает 500 узлов или 258 м/с на высоте 30 000 футов. Радиус этого поворота составит 18,65 км или 10 миль. Используйте обратную угловую скорость, чтобы вычислить количество секунд на радиан: Полет на 180° ($\Omega = \pi$) займет 227 с или три минуты и 47 секунд.

---

РЕДАКТИРОВАТЬ: Брет Коупленд вдохновил меня добавить еще один случай. Не так экстремально, как Терри, но дает более крутой поворот.

Над разворотом летела без снижения. Я предполагаю, что Боинг 747 не может производить гораздо большую подъемную силу, не сталкиваясь с проблемами сжимаемости, которые значительно увеличили бы сопротивление. Если меня не беспокоит потеря высоты, я могу использовать прирост энергии от погружения для компенсации этого дополнительного сопротивления, и тогда расчет будет выглядеть следующим образом:

Начиная с разворота на 1,5 g с креном 48°, самолет должен развивать подъемную силу на 50 % больше, что возможно только в том случае, если пилот принимает сильные удары и тангаж вниз (Mach Tuck). Но давайте просто предположим, что это возможно. Я ожидаю, что кривая подъемной силы будет далеко за пределом Маха, а сопротивление увеличится как минимум вдвое. Используя данные из этого источника и предполагая, что масса самолета m = 340 т, требуется еще P = 9 МВт мощности в секунду сверх того, что обеспечивают двигатели. Это возможно путем погружения с$w = \frac{P}{m}$= 26,6 м/с. Это угол траектории полета$atan(\frac{26.6}{258})$= 6°. (Я не удивлюсь, если реальное число окажется ближе к 10°, но сейчас у меня нет хороших аэродинамических данных).

Радиус поворота теперь составляет всего 6,11 км, а поворот на 180° завершается за 74,4 с = 1 минута 14 с. Потеря высоты при траектории полета 6° составляет 1980 м или 6500 футов. Более точное решение будет включать в себя тот факт, что требуемая подъемная сила уменьшается с косинусом угла траектории полета, но для оценки первого порядка числа здесь равны достаточно хорошо.

Это не совсем то обращение с самолетом, которое предлагается в справочнике, но раньше этот тип пережил худшее обращение .