Являются ли аксиомы тавтологией?

Насколько я понимаю, аксиомы — это недоказуемые утверждения, на которых строятся системы. Тавтологии — это, по сути, вещи, которые не могут быть ложными.

Однако теорема Гёделя о неполноте показывает, что они просто недоказуемы. Утверждение, что что-то может быть доказано, не означает, что оно истинно. Просто если они верны, в результате мы получаем целостную систему.

У вас могут быть ложные аксиомы в логической системе. Она сможет создавать системы, которые смогут доказать что угодно, в том числе и собственную достоверность. Если бы они могли быть ложными, не были бы они тавтологиями, а скорее недоказуемыми утверждениями, которые мы предполагаем истинными?

Было бы не только странно говорить: «Я предполагаю, что X истинно, следовательно, X истинно», но можно было бы показать, что это нарушает теорему Лоба.

Так являются ли аксиомы тавтологией? Я вижу, что это утверждается много.

Вы путаете два разных значения слова «недоказуемое». Аксиомы недоказуемы снаружи системы, но внутри нее они (тривиально) доказуемы. В этом смысле они тавтологии, даже если в каком-то внешнем смысле они ложны (что не имеет значения внутри системы). Неполнота Гёделя касается совсем другого рода «недоказуемого» (ни доказуемого, ни опровергаемого). Ложных аксиом недостаточно, чтобы доказать «что угодно», для этого система должна быть непоследовательной. Наконец, чтобы даже говорить об «истинных» или «ложных» аксиомах, нужно зафиксировать интерпретацию, и они обычно не уникальны.
Утверждение чего-то истинного не означает, что это «тривиально доказуемо». Сказать, что вы можете доказать аксиому внутри системы, по определению означает, что эта система несовершенна. По мнению Гёделя, мы не можем доказать истинность этих вещей внутри системы. Следовательно, А не является доказательством А, хотя это и тавтология, исходная аксиома по-прежнему кажется А и может служить предпосылкой, но не заключением.
Утверждать, что что-то является тавтологией , означает говорить, что это истинно в любой интерпретации (что эквивалентно доказуемо в системе по теореме Гёделя о полноте ). Аксиомы (очевидно) истинны в любой интерпретации, следовательно, они тавтологии. Теорема Гёделя о неполноте утверждает, что некоторые утверждения, истинные в той или иной интерпретации, не могут быть доказаны ни в какой формальной системе (первого порядка, с арифметикой и т. д.), расширяющей исходную систему, если только она не противоречива.
Как насчет точки зрения Дэвида Шварца в отношении тривиально доказанных аксиом с самими аксиомами? «Каждое доказательство внутри системы истинно тогда и только тогда, когда верны все аксиомы системы. Но поскольку А является одной из аксиом системы, это означает, что вы доказали, что А истинно тогда и только тогда, когда А истинно. Это доказывает только А, если это А, чего быть не может, потому что это было бы бессвязной самореференцией». -- Я признаю, что аксиомы верны, но не означает ли это, что я не могу окончательно доказать их истинность, не наткнувшись на Гёделя? Я не могу считать их истинными, они сами доказывают их, не так ли?
Является ли А «истинным» (что бы это ни значило в каком-то внешнем смысле), это не дело формальной системы. Выведение А из А — это не бессвязная самореференция, а правильный логический вывод. И вам не нужно принимать аксиомы как истинные, чтобы установить, можно ли из них что-то вывести. Если вы не принимаете их за истину, то вы не должны принимать за истину и то, что они доказывают, но они все же доказывают это, так что вы можете доказать их на себе. Ничто из этого не имеет ничего общего с Гёделем, он показал, что некоторые выводы, которые мы хотим доказать , не могут быть доказуемы , даже если мы расширим систему.
Насколько я понимаю, Гёдель пришел к выводу: «Если все теоремы аксиоматической системы могут быть доказаны, то система противоречива и, следовательно, имеет теоремы, которые могут быть доказаны как истинными, так и ложными». -- Кроме того, вещи в форме, если А доказуемо, то А истинно, по-видимому, нарушают теорему Лоба. А как насчет доказательства аксиомы равенства с помощью аксиомы равенства, когда само доказательство будет напрямую ссылаться на аксиому равенства. А=А, и поскольку «А=А» = «А=А», следовательно, А=А. -- Он не только начал с вывода как предпосылки, но и дошел до вывода, ссылаясь на свою недоказанную сущность.
Ваше понимание Гёделя неверно: то, что все теоремы доказуемы, напрасно верно, потому что «теоремы» определяются как правильно построенные предложения, которые доказуемы. Остальное смешивает теорию объектов и метатеорию . Теорема Лёба имеет смысл только в метатеории и «доказательство аксиомы равенства с помощью аксиомы равенства, когда само доказательство было бы прямым обращением к аксиоме равенства» смешивает язык с метаязыком (это две разные аксиомы равенства, одна действует в формальной системе, другая — в ее метаязыке). -теория).
Аксиомы — это не тавтологии; тавтология в логике — это формула, истинная в любой интерпретации, например: A → A . Аксиома арифметики или теории множеств верна не во всех интерпретациях (она верна только в структурах, являющихся моделью соответствующей теории) и, следовательно, не является тавтологией.

Ответы (3)

Логику стоит отделить от эпистемологии. Начнем с логики.

Теория (первого порядка) представляет собой набор предложений. Обычно нас интересуют дедуктивные системы, поэтому мы требуем, чтобы теория была замкнута относительно отношения доказуемости. Теория T аксиоматизируема, если существует подмножество T, множество аксиом, такое, что все предложения в T доказуемы из этого набора аксиом. Не все теории аксиоматизируемы, и вообще может быть много разных способов аксиоматизации одной теории. Что касается логики, в членах набора аксиом не должно быть ничего особенного. Они просто обозначают один из способов представления содержания теории. Обычно мы устраняем избыточность в наборе аксиом, не включая в него предложения, которые можно доказать из других предложений.

Что касается эпистемологии: теория часто имеет предполагаемую интерпретацию. Обычно мы хотим, чтобы предложения в T были утверждениями, которые верны в отношении некоторой области. Не обязательно, чтобы предложения были истинными: они могут быть просто неинтерпретированными формулами без истинностного значения или могут быть даже ложными при некоторой интерпретации. Теория не взорвется, если она непротиворечива. Но если мы действительно хотим, чтобы предложения были истинными относительно некоторой интерпретации, у нас есть основания выбирать члены набора аксиом таким образом, чтобы они представляли предложения в T, в которых мы наиболее уверены. Эпистемологическая мотивация состоит в том, чтобы представить теорию как вытекающую из аксиом; аксиомы обеспечивают гарантию или обоснование для принятия теории в целом.

В общем случае аксиомы теории не обязательно должны быть тавтологиями и даже не должны быть истинными. Но здесь есть важный гонщик. Поскольку у логиков опрятный ум, мы часто хотим аксиоматизировать не только наши теории, но и саму нашу логику. Это означает выражение всего, что может быть доказано в рамках некоторой логики L, как следствия некоторого конечного набора аксиом и правил. Когда мы делаем это, предложения, которые могут быть доказаны в рамках нашей логики, являются «логическими истинами». В зависимости от того, каких авторов вы читаете, «логическая истина» может быть синонимом «тавтологии», хотя я предпочитаю использование термина «тавтология» для обозначения логических истин исчисления высказываний. В любом случае мы можем сказать о логике L, что все ее теоремы, включая ее аксиомы, являются логическими истинами, или, если вы хотите быть более осторожным,

Итак, если вы говорите об аксиомах логики, а не теории, то аксиомы являются логическими истинами.

Каждая теория аксиоматизируема — например, возьмем множество всех теорем теории в качестве аксиом. Предположительно, вы имеете в виду «конечно аксиоматизируемый» или «рекурсивно аксиоматизируемый».

Аксиома — это то, что вы считаете истинным без доказательства. Тавтология – это утверждение, истинность которого можно доказать, не опираясь ни на какие аксиомы. Аксиома не является тавтологией, потому что, чтобы доказать эту аксиому, вы должны принять по крайней мере одну аксиому: себя.

Если вы хотите быть более педантичным (что всегда весело), ​​идея о том, что вы можете доказать тавтологию без каких-либо аксиом, будет немного забавной. В конце концов, вы должны использовать правила вывода, чтобы доказать тавтологию, и вы можете утверждать, что эти правила являются аксиомами. При этом вы хотели бы показать, что в том, как мы доказываем вещи, встроены два уровня. Есть допущения, встроенные в систему доказательства (например, в логике предикатов), а есть допущения, встроенные в аргумент (аксиомы).

Если бы тавтологию можно было доказать без аксиом, нам не понадобилась бы аксиома равенства . Самая распространенная первая аксиома — «все тавтологии верны».
@DavidSchwartz Я включил второй абзац, чтобы охватить эту сторону вещей.
Но я думаю, что вы как-то не так. Ваш второй абзац опровергает ваш первый и оставляет вопрос без ответа. (Возможно, это лучшее, что мы можем сделать, но если так, я думаю, это можно сделать более четко.)
@DavidSchwartz Итак, википедия говорит: «Тавтология - это формула, истинная во всех возможных интерпретациях». Вопрос заключается в том, что определяет «каждую возможную интерпретацию». Если вы рассматриваете вселенную только с одной интерпретацией (единственной истинной интерпретацией с текущим набором аксиом), то я полагаю, что каждое утверждение становится тавтологией. С другой стороны, если мы выберем систему доказательств, такую ​​как FOL, то этот термин начнет приобретать большее значение.
Я думаю, что более полезным определением тавтологии является «фраза или выражение, в котором одно и то же дважды говорится разными словами». То есть тавтология — это утверждение, что нечто эквивалентно самому себе. Но я предполагаю, что часть проблемы заключается в том, что можно интерпретировать вопрос как относящийся к системам формальной логики, к философии актуального знания или как-то иначе.

Аксиома не может быть доказана в системе, в которой она является аксиомой. Если бы это можно было доказать, нам бы это не понадобилось как аксиома. Вы можете либо предположить, что что-то верно, либо доказать, что что-то верно, но вы не можете делать и то, и другое. Если это поможет, подумайте обо всем, что доказано в системе, как о неявном «если все аксиомы этой системы верны, то» перед этим.

Тавтологии можно доказать. Но, конечно, без аксиом ничего не докажешь, даже тавтологии.

Таким образом, вы можете разрушить это различие, утверждая, что прямо или косвенно, хотя бы одна тавтология каким-то образом должна быть принята как аксиома, иначе система не будет работать. Как только тавтология принимается как аксиома, все тавтологии эквивалентны этой аксиоме.

Я полагаю, что можно представить себе систему, в которой ни одна аксиома не является тавтологией, но все тавтологии, выражаемые в этой системе, могут быть доказаны из ее аксиом. В таком случае никакая тавтология не является аксиомой в этой системе.

Одно из основных отличий в том, как они ведут себя, состоит в том, что вы можете ввести тавтологию в любой момент доказательства, не меняя предположений. Введение новой аксиомы меняет предположения, сделанные аргументом.

Каждая аксиома имеет доказательство. Если А является аксиомой, ее доказательством является А. Однострочник.
@ user4894 Каждое доказательство внутри системы истинно тогда и только тогда, когда верны все аксиомы системы. Но поскольку А является одной из аксиом системы, это означает, что вы доказали, что А истинно тогда и только тогда, когда А истинно. Это доказывает только А, если это А, чего не может быть, потому что это было бы бессвязной самореференцией. Система не может доказать свои собственные аксиомы, вы не можете одновременно предположить, что что-то истинно, и доказать, что это истинно, если только «это» не является самореферентной тавтологией. (Отредактировано для уточнения.)
Вы запутались в истине, формальных системах и моделях. «А» — это доказательство А. Это конечная последовательность шагов, каждый из которых является аксиомой или утверждением, вытекающим из аксиом. Истина применима только к моделям, а не к системам аксиом. Доказательство не может быть правдой, ваше первое предложение просто неверно.
@user4894 user4894 «Доказательство» - это демонстрация того, что какой-то вывод следует из некоторых предпосылок. Доказательство доказывает не его заключение, а то, что его заключение следует из его посылок. Если бы вы могли доказать свои посылки, они бы вам не понадобились как посылки. (Прошу прощения за корявую формулировку в моем ответе вам, но моя точка зрения совершенно верна. Внутри системы вы не можете доказать ни одну из предпосылок этой системы. Это потому, что вы уже приняли их за истину. В лучшем случае вы можете показать, что посылки следуют из самих себя.)
Если вы не понимаете, почему «А» является доказательством А, вам нужно изучить основы. Правда братан.
Доказательство чего-либо внутри системы в лучшем случае показывает, что оно следует из аксиом этой системы. Если это одна из аксиом системы, то вы показали, что это следует из самого себя. Это не доказательство. Вы, кажется, не понимаете, что такое аксиома — это то, что система считает верным. Вы не можете одновременно предположить, что что-то верно, и доказать, что это правда. Если вы это допускаете, то все, что вы утверждаете для доказательства, зависит от этого.
... но «быть обусловленным системой аксиом» - это именно то, что означает доказать что-то «внутри системы аксиом». В символических терминах суждение «Γ,A⊢A» явно верно, и @user4894 указывает, что «A» представляет собой доказательство суждения «A⊢A»… но начальная цитата вашего поста отрицает суждение "Г,А⊢А". Ваше намерение , кажется, состоит в том, чтобы отрицать "Γ⊢A", но на самом деле это не то, что вы написали. Я подчеркиваю символическое описание, так как думаю, что вся эта разобщенность — просто уловка естественного языка.
Еще одна оплошность, которую вы, по-видимому, допускаете, заключается в том, что вы предполагаете, что аксиомы обсуждаемой системы аксиом независимы. Система аксиом, безусловно, способна быть избыточной — даже если вы исключите из системы одну из аксиом, она останется доказуемой из остальных аксиом.
@Hurkyl Я не понимаю, какое значение имеет твой последний пункт. Если вы опускаете одну из аксиом из системы, у вас есть какая-то другая система аксиом, которая ничего не говорит нам о системе аксиом, о которой мы спрашивали. В любой системе аксиом, где А является аксиомой, в лучшем случае можно показать, что А истинно, если А истинно. Каждое доказательство в любой системе аксиом, где А является аксиомой, может быть показано как истинное в этой системе аксиом только в том случае, если А истинно.
Являются ли аксиомы тавтологией?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v