Почему орбитали несимметричны?

Мой ответ во многом совпадает с предыдущим ответом NoEigenvalue, но стал слишком длинным для комментария.

Орбитали разделены по количеству углового момента, который они несут. Нет углового момента,$\ell=0$, называются$s$-орбитали и сферически симметричны. Первые два примера на вашем рисунке$s$-орбитали с$n=1$и$n=2$.

Угловой момент явно нарушает сферическую симметрию, поэтому орбитали с$\ell\neq0$ не может быть сферически симметричным. Если вы определяете какую-либо ось как свою$z$направление, волновая функция с$m=0$имеет нулевое значение в$x$-$y$плоскости, один знак вверху, другой знак внизу. Волновая функция с$m=+1$имеет максимальную величину на кольце в$x$-$y$плоскости, при этом фаза волновой функции увеличивается по мере того, как вы кружите вокруг$z$-ось движется в одну сторону; волновая функция с$m=-1$имеет свою фазу, увеличивающуюся по мере того, как вы обводите$z$-ось в другую сторону. Это соответствует$m=\pm1$волновые функции, представляющие частицы, которые вращаются вокруг$z$-ось, и$m=0$волновые функции, представляющие частицы с векторами углового момента, лежащими в$x$-$y$самолет.

Несколько сбивает с толку то, что большая часть дискуссий об орбиталях в Интернете имеет довольно сильный уклон в химию, где направление вектора углового момента обычно не так важно, как пространственное распределение заряда. Оказывается, если просто сложить две орбитали с$m\neq0$вы получите распределение вероятностей, которое выглядит точно так же, как$m=0$орбитальной, но ориентированной вдоль$x$-ось вместо$z$-ось; это обычно называют$p_x$орбитальный, в отличие от$p_z$. Аналогично, если вы добавите орбитали с относительной фазой$i=\sqrt{-1}$, вы в конечном итоге с$p_y$. Вот что у вас на рисунке:$p_x, p_y, p_z$. У каждого из них есть$\ell=1,m=0$, просто вдоль другой оси, что делает интерпретацию углового момента более запутанной.

Вы будете удовлетворены, узнав, что если у меня есть частица с$\ell=1$но абсолютно никакой информации об ориентации этого углового момента, то моя частица находится в равной смеси$p_x, p_y, p_z$и его распределение вероятностей становится сферически симметричным.

---

Вы спрашиваете в комментарии немного подробнее о знаках и фазах. Мы можем быть явными : помимо нормировочного коэффициента, $\ell=1$сферические гармоники $$\begin{align} Y_1^{-1}(\theta,\phi) &\propto e^{-i\phi} \sin\theta &&= \frac{x-iy}{r} \\ Y_1^{0}(\theta,\phi) &\propto \cos\theta &&= \frac{z}{r} \\ Y_1^{+1}(\theta,\phi) &\propto -e^{i\phi} \sin\theta &&= -\frac{x+iy}{r} \end{align}$$ Здесь $x,y,z$- обычные координаты положения, $r$длина вектора $\vec r$чьи компоненты $(x,y,z)$, угол $\theta$между $\vec r$и $z$-ось, а угол $\phi$находится между проекцией $\vec r$на $x$- $y$самолет и $x$-ось. Полная волновая функция также включает радиальную часть $$\psi_{n\ell m} = R_{n\ell}(r) Y_\ell^m(\theta,\phi)$$ где радиальные волновые функции имеют вид $$R_{n\ell}(r) \propto r^{n-1} e^{-r/r_0}.$$ Это дает нам, для $\ell=1$: $$\begin{align} \psi_{1,1,-1} - \psi_{1,1,+1} &\propto 2x e^{-r/r_0} \\ -\psi_{1,1,-1} - \psi_{1,1,+1} &\propto 2iy e^{-r/r_0} \\ \psi_{1,1,0} &\propto z e^{-r/r_0} \end{align}$$ Это мотивирует $p_x,p_y,p_z$описание выше.

Что касается знаков и фаз: вы можете видеть, что$\cos\theta$положительно, если$\vec r$находится рядом с$z$-ось, отрицательная, если$\vec r$находится рядом с$-z$-оси и ноль на$x$-$y$самолет; это дает интерпретацию «капли противоположного цвета», о которой вы спрашиваете.

Для$m\neq0$гармоники, вы можете видеть, что$\sin\theta$положительный для всех$\theta$(обратите внимание, что из положительного$z$-ось в минус$z$-ось только на пол-оборота, а не на полный оборот). Разница между двумя состояниями есть знак экспоненты в$e^{\pm i\phi}$. Однако$m\neq0$гармоники являются чисто мнимыми на$y$-axis, что немного усложняет их рисование.

Орбитали сферически симметричны только для$S$-состояния, для которых число углового момента$l$равен нулю. Итак, на вашей картинке первые две орбитали — это$s=1$и$s=2$состоянии, а остальные три картинки соответствуют$n=2,l=1$с тремя различными возможностями$m_l$.

Есть несколько способов увидеть, что волновые функции с$l=0$сферически симметричны, одна из которых заключается в том, что вы можете записать волновую функцию атома водорода как

$$\psi_{nlm}=R_{nlm}(r)Y_{lm}(\theta,\phi),$$

где$Y$– сферические гармоники, определяющие угловую зависимость волновой функции. Затем, если вы ищете сферическую гармонику с$l=0$, вы видите, что он не имеет угловой зависимости. Волновая функция в этом случае сферически симметрична (и трехмерна, поскольку это «сферические координаты» —$r$).

Просто хотел добавить, что не совсем верно, что нарисованные орбитали - это «области, где можно найти электрон». Но мой ответ рос и рос...

Возьмем нейтральный атом бора, заполнивший 1s- и 2s-оболочки и один электрон на 2р-оболочке. Предположим, что он парит в космосе, вдали от беспорядочных взаимодействий с другими вещами. Итак, вам интересно, на какой 2p-орбитали находится электрон?

Если вы физически подготовите атом в заданном состоянии, то вы физически введете вполне реальную асимметрию. Например, допустим, вы готовите$2p_z$атом, и вы каким-то образом находите способ изобразить, где находятся электроны. После повторения этого на многих и многих одинаково подготовленных атомах и построения статистики для построения вашего экспериментального «облака вероятности» вы обнаружите лепестки сверху и снизу (добавленные к$1s$и$2s$сферические облака).

Но, конечно, его не нужно готовить в состоянии x, y или z. Хотя в принципе можно приготовить атом бора с$2p_x$государство или$2p_y$состоянии, вы также можете приготовить его в$\frac{1}{\sqrt{2}}(|2p_x\rangle + |2p_y\rangle)$состояние суперпозиции или любая другая суперпозиция. Эти суперпозиции также являются действительными орбиталями, не в меньшей степени, чем орбитали, которые вы нарисовали. Так же можно подготовить атомы бора так, чтобы на гипотетическом изображении электронных облаков лепестки были ориентированы под углом 45 градусов от оси z. Или вы можете подготовить атомы так, чтобы у них были не доли, а толстый экватор:$\frac{1}{\sqrt{2}}(|2p_x\rangle + i \, |2p_y\rangle)$.

Для случайно выбранного атома бора в газе нам, конечно, хотелось бы математическое описание, восстанавливающее сферическую симметрию. Вот тут-то и появляется квантово-механическая концепция смешанных состояний и матриц плотности. Это полное описание атома бора, включая неопределенность, говорит вам, что для любого измерения, которое вы делаете, случайно выбранный атом не имеет предпочтительного направления. К сожалению, эта полная квантовая механика математически более запутанна для посвященного, и кажется, что мы не изобрели правильный английский для описания смешанных состояний; вот почему мы говорим такие странные вещи, как «неспаренный борный электрон случайно находится на одной из трех 2p-орбиталей», что в некотором смысле вполне правильно, но может вводить в заблуждение. В равной степени справедливо и для любого другого базиса 2p-орбиталей сказать, что он случайно находится на одной из трех орбиталей.

Техническое примечание: если вы продолжите копать, вы обнаружите, что из-за спин-орбитальной связи шесть спин-орбитальных состояний бора нарушили вырождение. Два из них находятся в основном состоянии, а остальные четыре имеют слегка повышенную энергию ( см. базу данных NIST ). Но означает ли это, что случайный атом бора находится в смешанном состоянии двух орбиталей основного состояния? Неа! Энергетическое расщепление составляет всего 1,9 мэВ; таким образом, для большинства экспериментальных температур все шесть спин-орбитальных состояний будут иметь одинаковую вероятность.

Комментарии к вопросу (v2):

Тот факт, что ТИСЭ инвариантен относительно группы симметрии$G$(в этом случае группа Ли$G=SO(3)$трехмерных вращений) не означает, что решения орбитальной/волновой функции$\psi$должно быть$G$также -инвариант.

(Подумайте, например, о спонтанном нарушении симметрии, когда управляющие законы физической системы инвариантны относительно группы симметрии$G$, но система выбирает основное состояние, которое не является инвариантным относительно$G$. См. также, например , этот пост Phys.SE.)

В более общем смысле, решение повернутой волновой функции снова является решением TISE.

Другими словами, решения волновой функции$\psi$преобразовывать в групповых представлениях Ли$G$, хотя (как сказано выше) не обязательно в тривиальном/единственном представлении. См. также, например , этот пост Phys.SE.