Могут ли два тела разной массы, прикрепленные к концам нити, натянутой на блок без трения, создавать одинаковое натяжение с обеих сторон?

Это действительно хороший вопрос, на который книги обычно не дают интуитивного ответа. Позвольте мне дать вам пошаговое интуитивное объяснение, глядя на машину Этвуда:

Начните с баланса сил вокруг троса:

F2 больше, чем F1, так как масса куба больше массы шара. Теперь воспользуемся общепринятым допущением, которое используют учебники, то есть допустим, что масса троса незначительна:

Таким образом, первое уравнение даст:

Странно то, что мы прикладываем к концам троса разные силы, однако трос «чувствует» две равные силы. Но мы точно знаем, что F2 и F1 — это не одно и то же. Так что же это за сила, которую кабель «чувствует» на своих концах? Назовем это напряжением, T:

Поскольку трос «чувствует» на своих концах две равные силы T, то он будет реагировать на тела, к которым он прикреплен, также со значением T. Вот почему в машине Этвуда на первом рисунке натяжение T применяется к каждому телу. Помните, что это верно только для исходного предположения (m = 0), и в ответе danimal упоминается более реалистичный подход.

Конечно, теперь вы можете вычислить значение T, проанализировав FBD сферы и куба. Я оставлю это на ваше усмотрение.

Подсказка: предположим, что оба тела имеют одинаковое ускорение: если положение куба опускается на 1 единицу, то положение сферы также поднимается на 1 единицу (благодаря кабелю постоянной длины). Поскольку перемещения (абсолютное значение),$r(t)$, тел, одинаковы во времени, то одинаковы и их производные, а это означает, что$a_1 = a_2$, где$a_i$есть результирующее ускорение тела i.

Напряжения не являются «реакцией» в том смысле, что они не являются партнерами по 3-му закону весов двух масс, поэтому они не должны быть равны весам. Чтобы натяжение было одинаковым по всей струне, она должна быть «легкой», т. е. безмассовой. Поскольку это равное натяжение не может уравновесить ОБА двух разных весов, каждая масса будет ускоряться, потому что каждая из них будет иметь ненулевую результирующую силу.

Если бы каждое натяжение было равно весу, система не ускорялась бы, и струна не могла бы быть безмассовой. Однако обычно можно с уверенностью предположить, что вопрос в стиле учебника, если не указано иное, что струна не имеет массы, но дурной тон, не говоря уже об этом факте!

В простой модели веревки или струны предполагается, что они не имеют массы (или «легкие»). Эффект этого, с точки зрения модели, заключается в том, что натяжение должно быть одинаковым по всей веревке. Чтобы смоделировать веревку как имеющую массу, вы должны рассмотреть типичный элемент/часть веревки и исследовать силы, действующие на эту часть с обеих сторон; исчисление нужно для получения полной зависимости натяжения от расстояния вдоль веревки, но можно рассмотреть и более простую аналогичную задачу. 3 вагона поезда одинаковой массы$m$тянут по рельсу без трения с одного конца постоянной силой$F$(направо, скажем), с напряжениями$T_1$и$T_2$между каждой парой (слева направо), поддерживаемой тягово-сцепным устройством или чем-то подобным. Теперь правая каретка будет иметь результирующую силу$F-T_2$вправо и, следовательно, ускорение$F-T_2\over m$Направо. Средняя каретка будет иметь результирующую силу$T_2-T_1$вправо и, следовательно, ускорение$T_2-T_1\over m$Направо. Левая каретка будет иметь результирующую силу$T_1$вправо и ускорение$T1/m$Направо. Теперь, если мы знаем, что они жестко связаны друг с другом, их ускорения должны быть равны, и если вы решите полученные уравнения, вы должны получить это$T_1=F/3$и$T_2= 2F/3$, то есть натяжение, ближайшее к тянущей силе F, в два раза больше, чем следующее по порядку. Единственный способ получить разное натяжение — это позволить вагонам не иметь массы. То есть, если веревка (или поезд из вагонов) имеет массу, то натяжение вдоль веревки будет меняться, а если невесомая, то натяжение будет постоянным.

Струна, очевидно, предполагается идеальной. Идеальная струна не растягивается и не расширяется. А поскольку вся струна, огибающая шкив, представляет собой одну струну, она должна испытывать одинаковую силу на обоих концах. Если один конец имеет даже немного большее натяжение, то другой конец будет иметь тенденцию к удлинению. Кроме того, после удлинения он снова будет иметь одинаковое натяжение с обеих сторон.