Как меняется параметр Хаббла с возрастом Вселенной?
Этот вопрос был опубликован недавно, и я почти закончил писать ответ, когда вопрос был удален. Так как стыдно тратить усилия, вот ответ.
Возможно, это может быть один из канонических ответов , предложенных Дану .
Чтобы вычислить постоянную Хаббла, нам нужен масштабный коэффициент , . Это мера того, насколько расширилась Вселенная. Примем масштабный коэффициент равным единице в текущий момент, так что если это означает, что Вселенная расширилась в два раза больше, чем сейчас. Так же означает, что Вселенная расширилась только вдвое меньше, чем сейчас. Постоянная Хаббла рассчитывается на основе масштабного коэффициента с использованием ( подробности см. в ответе Pulsar здесь ):
Расчет того, как меняется со временем, используя уравнение (см. ответ Pulsar еще раз):
Выполнить расчет не так уж и сложно. Гугловская таблица с расчетом здесь . Значения различных параметров взяты из данных Планка:
И результаты выглядят так:
Единицы времени - текущее время Хаббла, миллиардов лет, так что на оси времени соответствует миллиард лет. Обратите внимание, что линия не проходит через точку потому что текущее время Хаббла больше, чем возраст Вселенной , миллиард лет. Это связано с тем, что расширение Вселенной замедляется со временем после Большого взрыва.
В ранние времена мы ожидаем, что в масштабном факторе будет доминировать материя, и это дает зависимость. В последнее время мы ожидаем, что в масштабном факторе будет доминировать темная энергия, и это дает экспоненциальную зависимость от . На графике это хорошо показано, причем переход происходит где-то за половину времени Хаббла.
В качестве побочного вопроса, больно не иметь аналитической формулы для поэтому я установил следующую функцию, чтобы получить достаточно точную приблизительную формулу:
Наиболее подходящими значениями коэффициентов были:
И соответствие выглядит так:
Неплохое совпадение, хотя будьте осторожны с экстраполяцией за пределы .
И, наконец, мы можем вычислить постоянную Хаббла, используя уравнение (1). Обратите внимание на логарифмическую шкалу — постоянная Хаббла стремится к бесконечности, поскольку нуль.:
И время Хаббла - это просто :
Графики показывают, что постоянная Хаббла определенно непостоянна, хотя в последнее время она имеет тенденцию к постоянному значению. Это связано с тем, что в позднем временном расширении преобладает темная энергия, и расширение со временем становится экспоненциальным. Экспоненциальное увеличение означает, что существует постоянное время удвоения (противоположное экспоненциальному распаду, когда существует постоянный период полураспада), а время удвоения - это просто время Хаббла. Таким образом, время Хаббла стремится к константе.
Оставлю пост здесь. Если кому-то нужны подробности о том, как получаются уравнения (1) и (2), прокомментируйте, и я могу добавить еще один ответ с кровавыми подробностями.
Более короткая версия ответа Джона, которая просто фокусируется на том, что произойдет с параметром Хаббла в будущем.
Решение уравнения Фридмана в плоской Вселенной есть
По мере того, как Вселенная расширяется, конечно уменьшается по мере , но остается постоянным. Таким образом, первый член в правой части становится неважным, если он действительно является космологической постоянной.
Таким образом, параметр Хаббла фактически уменьшается от его текущего значения. и асимптотически стремится к по мере того, как время стремится к бесконечности.
Более удобный способ записать сказанное выше — выразить все плотности через критическую плотность. В таком случае
Таким образом, как становится большим, то параметр Хаббла стремится к .
Дану
Qмеханик
Юктерез