Вопросы для начинающих по конформной теории поля

по первому вопросу, относящемуся к немецкому тексту Маттиаса Габердиэля (привет ему):

Замкнутая алгебра подразумевает симметрию

Достаточно построить образующие алгебры — в данном случае конформной алгебры — и вычислить их коммутаторы$[L_m,L_n]$и так далее. Если коммутаторы являются линейными комбинациями других образующих, мы говорим, что образующие образуют замкнутую алгебру. Теперь вы правы в том, что мы также хотим использовать некоторую «динамическую информацию о теории». Вы написали, что действие должно быть инвариантным относительно преобразований, которые генерируют эти генераторы, и вас беспокоит, что действие — вся динамическая информация о теории — полностью удалено из доказательства, верно?

Это хороший момент, но динамическая информация не была удалена, потому что конкретный генератор (или, для общего базиса генераторов, линейная комбинация генераторов) является гамильтонианом, который определяет саму динамику. Для конформной симметрии это$L_0+\tilde L_0$который играет роль гамильтониана. Он генерирует перемещения цилиндра или, что то же самое (как мы обсудим ниже), мультипликативные перемещения в радиальной координате. (Возможно, аддитивные сдвиги, такие как$c/24$нужно добавить на один из фонов.)

Потому что$L_0+\tilde L_0$является линейной комбинацией некоторых образующих, и вы можете показать, что множество образующих замыкается относительно операции взятия коммутатора, это доказывает, что вся алгебра, порожденная этим набором образующих, является динамической симметрией. В этом случае коммутатор$[L_m, L_0+\tilde L_0]$не является строго нулевым, поэтому образующие$L_m$не коммутируют с гамильтонианом. Вместо этого коммутатор равен другой комбинации генераторов симметрии. Но мы все еще говорим, что$L_m$является симметрией системы, и мы знаем эту ситуацию и из других контекстов.

Например, в специальной теории относительности угловой момент$J_{12}=J_z$коммутирует с энергией$p_0$. Однако импульсный генератор Лоренца$J_{03}$не коммутирует с гамильтонианом$p_0$: их коммутатор пропорционален$p_3=p_z$, составляющая импульса. Он не равен нулю, но это еще один генератор симметрии. Это нормально для генераторов симметрии, которые действуют нетривиально во времени, например$J_{03}$повышающий генератор в теории относительности или$L_m$в конформной симметрии - иметь ненулевые коммутаторы с гамильтонианом$p_0$или же$L_0+\tilde L_0$, соответственно. Важно то, что коммутатор — это еще один оператор, который, как мы знаем, является генератором симметрии, а алгебра симметрии полностью описывается теорией групп — структурными константами$f$в$[L_m,L_n]=f_{mn}^k L_k$- и нам не нужно знать какую-либо подробную динамическую информацию о полях и т.д.

Вы предложили проверить инвариантность действия относительно генераторов симметрии. Звучит хорошо, за исключением того, что действие подходит только для классического описания — или квантового описания, полученного прямым квантованием классической теории. Такой способ получения квантовой теории является гладким или полезным только в том случае, если квантовая теория «достаточно близка» к классической теории. Самая общая КТП, особенно в 2-х измерениях, настолько сильно «квантовая», что в ней нет естественного понятия действия и классических степеней свободы. Нужно напрямую работать с квантовыми операторами, их коммутаторами, и они не имеют никакого естественного или полезного классического предела. Возьмем в качестве примера модель Изинга CFT. Вы найдете множество полей, таких как поля вращения и поля кручения,$1/16$, то, что было бы немыслимо в классической теории: все измерение происходит из квантовых эффектов. Вот почему структура науки о КТП старается быть как можно более независимой от классических понятий, таких как действие.

Реализация симметрии на операторах

Если у вас есть генератор$G$симметрии Ли он (бесконечно мало) действует на кет-состояния$|\psi\rangle$и состояния бюстгальтера$\langle \varphi|$в качестве

$$\delta |\psi \rangle = i \epsilon G |\psi \rangle, \quad \delta \langle \varphi| = i \epsilon \langle \varphi| G$$ Если вы также определяете действие генератора $G$на общем операторе $M$в качестве $$\delta M = i \epsilon [G,M]$$ тогда вы можете доказать, что все матричные элементы будут инвариантны относительно симметрии, $$\delta \langle \varphi | M | \psi \rangle = 0$$ по правилу Лейбница. Таким образом, естественное действие генераторов симметрии, таких как $L_m$таких операторов, как $\phi(z,\bar z)$является $$\delta \phi(z,\bar z) = i \epsilon [L_m,\phi].$$ Итак, если коммутатор $L_m$с некоторыми полями - операторами - то же, что и соответствующие $(n+1)$-я производная от этих операторов, то образующие $L_m$реализовать симметрию, бесконечно малая форма которой включает $\delta \phi\sim z^{n+1} \partial^{n+1} \phi$.

Ваши комментарии о «собственных значениях» концептуально ошибочны, поскольку определяющим свойством «собственного значения» является то, что оно должно быть «значением» —$c$-число - но$\partial_z$это не значение - это операция. (Я избегал слова «оператор», потому что$\partial_z$не является оператором, действующим в гильбертовом пространстве КТП; только такие операторы, как$\phi(z,\bar z)$а также$\partial_z \phi(z,\bar z)$или же$L_m$являются операторами, действующими в гильбертовом пространстве CFT. Вместо,$\partial_z$само по себе является просто правилом производить одного оператора из другого. Это был бы оператор, если бы волновые функции — векторы состояния — были эквивалентны функциям$z,\bar z$но в двумерной КТП, конечно, нет.)

Почему цилиндр важен

Что касается вопроса, основанного на тексте Дэвида Тонга (привет Дэвиду!), цилиндр важен именно потому, что КТМ на цилиндре в точности эквивалентна КТМ на бесконечной плоскости. Если$w=\sigma+i\tau$живет на цилиндре - с$\sigma$существование$2\pi$-периодический - и если$z=\exp(-iw)$, то бесконечный цилиндр будет полностью отображен на плоскость взаимно-однозначным образом.

Я на самом деле думаю, что Дэвид очень ясно говорит об этом.

Таким образом, анализ КТМ, определенной на полной плоскости в целом, и ее поведения вблизи$z=0$происхождения в частности, полностью эквивалентна анализу КТМ, заданной на цилиндре вообще, и в пределе$w\to -i\infty$особенно. Эти две проблемы совершенно эквивалентны именно из-за конформной симметрии. Цилиндр имеет периодическую пространственную координату, но эта периодичность не постулируется по специальным причинам. Это постулируется, потому что если вы пишете$z$в форме радиус/фаза,

$$z= \exp(-i\sigma+\tau),$$ затем точки с $\sigma\sim \sigma+2 \pi$отождествляются друг с другом. Координата $\sigma$является периодическим. Это основной факт экспоненциальной функции или ее обратной функции, логарифма, если рассматривать ее как функцию комплексной переменной. И экспоненциальная конформная карта очень полезна, что можно увидеть, если вы проследите, что с ней делает Дэвид. Вы можете запретить экспоненциальную функцию, потому что она вам не нравится (или вы считаете, что другие функции подвергаются дискриминации), но тогда вы не сможете многому научиться исчислению CFT, потому что исчисление CFT в значительной степени зависит от этой умной экспоненциальной конформной карты. .

Поскольку небольшой кусочек любого двумерного мирового листа — независимо от топологии — выглядит как плоская плоскость, а плоская плоскость эквивалентна бесконечному цилиндру, бесконечный цилиндр важен для понимания локальной физики КТМ в любой момент времени. Риманова поверхность - любой топологии.

Верно только то, что я могу просто описать бесконечную плоскость в координатах, одна из которых периодическая. Именно это делает анализ состояний, заданных на цилиндре, — состояний замкнутой струны — автоматически полезным для анализа любых свойств КТП, в том числе ее операторов на плоскости. На самом деле состояния замкнутой струны, полученные путем квантования КТП на цилиндре, находятся во взаимно однозначном соответствии с локальными операторами$\phi_K(0)$в начале координат (или в любой другой точке) из-за того же конформного отображения плоскости в цилиндр.

Вы спросите, а где квантование?

Многие из формул подходят и для классической (не квантовой) конформной теории поля. Однако не существует гильбертова пространства «состояний» замкнутой струны, полученных в результате квантования. Так много интересного, в том числе соответствие оператора состояния, обсуждавшееся двумя абзацами выше, возникает только в квантовой теории. Почти все объекты, такие как$H$,$T_{\rm cylinder}$, и так далее, что Дэвид перечисляет на странице 86 или почти на любой другой странице, являются операторами, поэтому он имеет дело с квантовой теорией.

В некоторых уравнениях Дэвид наверняка также использует коммутаторы, чтобы доказать, что это квантовая теория, но это не обязательно страница 86 или другая страница, на которой нет коммутаторов. ;-) Но ваша жалоба на то, что Дэвид не играет с коммутаторами некоторых полей ровно на той странице, где вы этого ожидаете, уж точно не разумная жалоба, не так ли?

Я почти уверен, что если вы внимательно послушаете, вы также поймете, что коммутаторы операторов в КТП могут быть получены из ОРЕ, расширений произведения операторов. Просто поместите два оператора$T_k(z)$а также$T_l(0)$до двух близлежащих точек$0$а также$z$и вычислить их произведение. Продукт, как правило, будет включать сингулярность, которая расходится по мере того, как$z\to 0$- поскольку два оператора находятся очень близко друг к другу. (Сингулярность будет видна при любом разумном ожидаемом значении.) Коэффициент$1/z$или же$1/z^2$или же$1/z^4$- ведущая особенность - это либо$c$-номер или другой оператор. Из этого оператора можно определить коммутатор мод Фурье$T_k$а также$T_l$расширяется по цилиндру и так далее.

Квантовая механика имеет множество эффектов, которых вы не встретите в классической физике. Например, как вы правильно заметили, влияет на переход от цилиндра к плоскости и так далее. Однако я не знаю, что делать с вопросами типа "А я не вижу, где это здесь происходит?" Что здесь должно происходить? Что ж, то, что происходит, вероятно, отличается от того, что вы ожидали, но это та самая причина, по которой вы пытаетесь узнать что-то новое от Дэвида Тога, не так ли? Если бы вы изучали только старые вещи, которые знали, вы бы зря потратили время.

Вещи, которые вы должны изучить, чтобы понять двумерные конформные теории поля, — это не «то же самое», что вы уже изучили для общей квантовой теории поля в общем плоском пространстве (таком как четырехмерное). Это новая тема с новыми особенностями, такими как экспоненциальные карты, ОРЕ, соответствие оператора состояния и т. д., и вам не следует настаивать на том, что физика ОРЕ должна состоять из того же понимания, которое вы уже знали из КЭД в$d=4$. Это не одно и то же — если бы это было одно и то же, люди не учили бы этому дважды.

Так что я бы посоветовал вам спросить о некоторых конкретных утверждениях, которые делает Дэвид и которые вы не понимаете. Необходимое допущение состоит в том, что вы действительно пытаетесь слушать, что говорит Дэвид, вместо того, чтобы пытаться заставить его сказать то, что вы хотели услышать в первую очередь. ;-) Когда вы переключитесь на этот режим обучения, обсуждение может стать немного более конструктивным. Во всяком случае, уверяю вас, что Дэвид говорит в основном о квантово-механических системах, поэтому все наблюдаемые являются операторами в гильбертовом пространстве, которые можно перемножать и чьи средние значения можно вычислить. Предыдущее предложение может помочь, если вы неправильно поняли каждую формулу в лекциях Дэвида, которая включает оператор, а это практически любая формула.

Однако я не могу объяснить вам все другие детали текста Дэвида (и даже не все эффекты квантовой механики, потому что почти все в тексте квантово-механическое), если вы не скажете, в чем именно заключается ваша проблема. Мне пришлось бы взять 107 его страниц, раздуть их в 10 раз, и вы все равно могли бы остаться неудовлетворенными, потому что у вашего недовольства могли быть совсем другие причины. ;-)

Прежде всего, недостаточно иметь представление алгебры Ли на гильбертовом пространстве квантовой теории поля, чтобы утверждать, что теория «симметрична» относительно этой алгебры. Мы говорим о «симметрии» только в том случае, когда корреляционные функции теории подтверждают так называемые тождества Уорда. Тождества Уорда можно сформулировать без обращения к классическому действию или какому-либо процессу квантования, хотя у новичка может не сложиться такого впечатления при первом прочтении обзорных статей. (Действительно, в литературе тождества Уорда часто «выводятся» из классического действия и интеграла по траекториям, но в действительности этот «вывод» представляет собой не более чем цепочку правдоподобных аргументов, объясняющих, почему тождества Уорда должны иметь ту форму, которую они имеют. имеют).постулированные в начале, и всякая теория, проверяющая их, называется симметричной. Чтобы было понятнее, позвольте мне привести пример скалярной теории поля в двумерном пространстве-времени Минковского. Постулируемое тождество Уорда для трансляционной симметрии имеет вид

$$\langle 0\vert\Phi(x_1+a)\Phi(x_2+a)...\Phi(x_n+a)\vert 0>=\langle 0\vert \Phi(x_1)\Phi(x_2)...\Phi(x_n)\vert 0\rangle, \qquad (Ward)$$ куда $\Phi(x)$является операторным распределением (для размазывания гладкими функциями с компактным носителем в пространстве Минковского) и $\vert 0\rangle$вектор вакуума. Конечно, эта форма трансляционного тождества Уорда может быть мотивирована классическим интегралом действия и пути, но для нас это не важно. Тождества $(Ward)$на самом деле просто постулируются, и любая теория, подтверждающая их, по определению называется трансляционно-симметричной.

Какова теперь связь с унитарным представлением группы перевода? Ну, давайте$U(a)$,$a\in \mathbb{R}^2$быть таким представлением, т.е.$U(a)$являются унитарными операторами в гильбертовом пространстве$H$теории такой, что$U(a)U(b)=U(a+b)$. Если к тому же выполняется

$$\begin{equation} U(a)\vert 0\rangle=\vert 0\rangle \qquad(1) \end{equation}$$ а также $$U(a)\Phi(x)U^{-1}(a)=\Phi(x+a)\qquad (2)$$ то мы легко видим, что тождества Уорда $(Ward)$удовлетворены для каждого $n$. Таким образом, мы видим, что существование унитарного представления группы трансляций , удовлетворяющего условиям (1) и (2), дает трансляционную симметрию квантовой теории поля в том смысле, что тождества Уорда проверяются. Кстати, условие (2) часто переформулируют, говоря, что трансляционное преобразование $x\to x+a$«реализуется» унитарным оператором $U(a)$действующий в гильбертовом пространстве. Инфинитезимальный вариант соотношения (2) имеет вид $$i[P,\Phi(x)]=\partial_x\Phi(x)$$ куда $U=\exp{(iaP)}$а также $P$обозначают бесконечно малые (алгебра Ли) генераторы трансляций. В этом смысле следует понимать формулу Габердиэля (3.2.26), где реализуются не только трансляционные, но и все инфинитезимальные конформные преобразования.

Я не буду здесь подробно описывать тождества Уорда для конформной симметрии, потому что это не является предметом вашего вопроса (их можно найти, например, в основополагающей статье BPZ в NPB, 1984). Позвольте мне только упомянуть, что история в этом случае немного сложнее, потому что конформная симметрия мягко нарушается неинвариантным вакуумом, поэтому тождества Уорда являются «аномальными». В любом случае, позвольте мне закончить первую часть моего ответа, сказав, что конформная теория поля — это просто теория, которая удовлетворяет конформным тождествам Уорда BPZ.

Относительно перехода от цилиндра к плоскости: Возможно, лучше всего начать изложение, упомянув переформулировку Эгути-Оогури конформных тождеств Уорда BPZ (NPB, 1987). Эгучи и Оогури работают в евклидовой картине и связывают динамические поля КТП с нединамическим фоновым гравитационным полем (риманова метрика).$g_{ab}$) на мировом листе. В частности, они постулируют, что теория поля называется конформной только в том случае, если ее корреляционные функции изменяются определенным образом при замене фоновой метрики$g_{ab}$по$e^{\sigma}g_{ab}$, куда$\sigma$— произвольная функция на мировом листе. Это означает, что функциональные производные корреляционных функций по фактору Вейля$\sigma$должны иметь особую форму, и соответствующие количественные выражения этого факта можно назвать тождествами Уорда Эгучи-Оогури. В результате стандартные идентификаторы BPZ Ward могут быть получены из идентификаторов Eguchi-Ooguri Ward. Все это означает, что если мы знаем корреляционные функции в данном гравитационном фоне$g_{ab}$мы можем вычислить их также на фоне «эквивалента Вейля»$e^{\sigma}g_{ab}$. Это наблюдение очень полезно, поскольку мы можем изучать некоторые количественные аспекты теории КТП в одном контексте, а другие аспекты — в другом, связанном с Вейлем. Принципиальным примером такой ситуации является как раз переход от цилиндра к плоскости. Корреляционные функции теорий CFT в естественных плоских евклидовых координатах на плоскости обладают очень хорошими аналитическими свойствами (так называемое фундаментальное соотношение OPE Борчерда имеет наилучшую возможную форму), в то время как теория на цилиндре более полезна для построения гильбертова пространства. теории и, например, вопросы, связанные с представлениями алгебры Вирасоро. Позвольте мне добавить несколько технических подробностей по этому вопросу.

Рассмотрим евклидову метрику на евклидовой плоскости$ds_1^2=dx^2+dy^2$, и плоская метрика на цилиндре$ds_2^2=d\phi^2+d\rho^2$, куда$\rho$- координата вдоль оси цилиндра и$\phi$угол "координата" вокруг него. Несмотря на то что$\phi$не определено глобально, следующая карта, связывающая плоскость и цилиндр, определена глобально:

$$x=e^\rho\cos{\phi}, \quad y=e^\rho\sin{\phi}.$$ Используя это преобразование, мы видим, что цилиндр можно параметризовать плоскими координатами $x,y$в котором метрика $ds_2^2$становится $$ds_2^2=\frac{1}{x^2+y^2}(dx^2+dy^2).$$ Заметим, что фактор Вейля $\sigma=-$п $(x^2+y^2)$естественно возникло в формализме Эгучи-Оогури, и благодаря тождествам Эгучи-Оогури Уорда существует взаимно-однозначное отношение между корреляционными функциями теории КТП на плоскости и ее «родственной» теории КТП на плоскости. цилиндр.

Что же такое радиальное квантование? На мой взгляд, слово «квантование» является ошибочным термином, и скорее следует говорить о «радиальной реконструкции». Я имею в виду следующее: тождества БПЗ Уорда обычно формулируются на сложном уровне, где они принимают особенно простую форму. Когда у нас есть евклидова конформная теория поля на плоскости (т. е. корреляционные функции, подтверждающие тождества БПЗ Уорда), мы хотели бы знать, существует ли версия Минковского этой теории с ее гильбертовым пространством и ее операторнозначными распределениями в таком Таким образом, средние значения этих распределений в вакууме дают (при подходящем вращении Вика) исходные евклидовы решения тождеств Уорда BPZ. В этом отношении мы должны подчеркнуть, что КТМ Минковского всегда живет на цилиндре!Это означает, что, работая на плоскости, мы не можем принять в качестве евклидова времени, чтобы фитиль вращал плоскую координату$x$или же$y$но вместо этого истинное евклидово время:$\rho=\frac{1}{2}$п$(x^2+y^2)$что является просто логарифмом радиальногополярная координата на плоскости. Истинное «пространство» квантовой теории поля Минковского — это любая окружность на евклидовой плоскости с центром в начале координат. Таким образом, «радиальная реконструкция» - это способ построить гильбертово пространство версии теории Минковского, операторнозначных распределений и генераторов Вирасоро, непосредственно работающих на плоскости, без выполнения преобразования координат в цилиндр. Результатом является обычный материал квантовой теории с ее гильбертовым пространством, операторами и т. д., так что это выглядит как квантование, но на самом деле отправной точкой является не какая-то классическая история, а тоже квантовая, хотя и в евклидовом смысле. Позвольте мне в заключение предупредить, что радиальная реконструкция не всегда работает, т. е. не каждое решение евклидовых тождеств БПЗ Уорда приводит к квантовой теории поля Минковского.

Я не совсем квалифицирован, чтобы ответить, но я думаю, что могу дать подсказку по вашему первому вопросу.

Во-первых, вы должны думать о поле$\phi$как оператор. В частности, я склонен думать о$\phi$как линейная комбинация

$$\hat\phi(z,\bar z) = \int dz d\bar z\ \phi(z,\bar z) \Psi^\dagger(z,\bar z)$$

операторов$\Psi^\dagger(z,\bar z)$которые создают частицы в положениях$(z,\bar z) = (x+iy,x-iy)$(куда$x$а также$y$независимые координаты на плоскости). Конструкция с точки зрения нормальных мод аналогична, за исключением того, что вы используете другую основу — не позиции, а моды (в основном потому, что создание частицы, локализованной точно в одной точке, имеет свои математические проблемы).

РЕДАКТИРОВАТЬ: следующее не очень точно.

Теперь, что это значит для оператора$\mathcal L(\phi, \partial\phi)$быть инвариантным относительно оператора симметрии$T$? Это просто означает, что оба оператора коммутируют,

$$[T,L(\phi, \partial\phi)] = 0$$

Теперь, если оператор симметрии$T=L_n$удовлетворяет рассматриваемому коммутационному соотношению, а лагранжиан как функция инвариантен относительно конформных преобразований, то лагранжиан как оператор коммутирует с$T$. Причина в том, что коммутационное соотношение для$L_n$делает$[L_n,·]$действуют на оператор Лагранжа точно так же, как соответствующая конформная симметрия действует на функцию Лагранжа. (Я думаю, это можно показать, используя приведенную выше картинку$\phi$как оператор)