Почему дырочная и киральная симметрия частицы называются симметриями?

п ЧАС п − 1 знак равно − ЧАС (симметрия частица-дырка) и

Г ЧАС Г − 1 знак равно − ЧАС (хиральная симметрия)

Я понимаю, почему мы получаем отрицательные знаки, но я немного смущен тем, почему такие равенства означают ЧАС частица дырочная и кирально симметричная.

Когда мы говорим ЧАС симметричен относительно некоторой операции, например обращения времени, разве мы обычно не имеем в виду, что ЧАС инвариантен относительно указанного преобразования? Т ЧАС Т − 1 знак равно ЧАС если ЧАС является симметричным с обращением времени.

Напротив, мы говорим ЧАС симметричен относительно дырочных и киральных операций частицы, когда ЧАС получает отрицательный знак. Кажется, это противоречит нашему обычному соглашению о том, что мы подразумеваем под ЧАС быть симметричным (инвариантным).

Первая является динамической симметрией в собственном смысле, поскольку это антиунитарный оператор, таким образом, симметрия Вигнера , и антикоммутирует с гамильтонианом, таким образом сохраняя эволюцию во времени. Последняя является симметрией Вигнера , поскольку она унитарна, но это не динамическая симметрия, поскольку она не сохраняет эволюцию времени (а обращает ее). Поэтому понятие «симметрия» используется здесь в расширенном варианте. Есть много несовместимых терминологий, и каждое утверждение о симметрии всегда должно быть записано в ясной форме (см., например, расплывчатые утверждения о СРТ-симметрии).

Ответы (1)

Их называют симметриями, потому что (когда симметрия существует) они коммутируют со вторым квантованным гамильтонианом:

ЧАС ^ знак равно ∑ А Б ψ ^ А † ЧАС А Б ψ ^ Б ,

куда ЧАС А Б – матричные элементы одночастичного гамильтониана:

Разворот времени:

Т ^ ЧАС ^ Т ^ − 1 знак равно ЧАС ^

Отверстие для частиц:

С ^ ЧАС ^ С ^ − 1 знак равно ЧАС ^

и хиральный

С ^ знак равно С ^ Т ^

Единственные дополнительные данные, необходимые для получения их действия на гамильтониан одной частицы, как написано в вопросе, - это то, как они реализованы в операторах создания и уничтожения:

Т ^ ψ ^ А Т ^ − 1 знак равно ∑ Б ( U Т ) А Б ψ ^ Б

С ^ ψ ^ А С ^ − 1 знак равно ∑ Б ( U С * ) А Б ψ ^ Б †

и вдобавок являются ли они антиунитарными

Т ^ я Т ^ − 1 знак равно − я

( U Т и U С являются унитарными матрицами)

Пожалуйста, см. обзор Людвига (разделы 1-2) и Рю, Шнайдера, Акиры и Людвига (большая сноска после уравнения (5)), где приведенные выше условия переработаны в требуемое действие на одночастичный гамильтониан, и дальнейшее развитие свойств дискретных симметрий.

Разработка

Случай обращения времени

Действуя оператором обращения времени на второй квантованный гамильтониан, получаем

Т ^ ЧАС ^ Т ^ − 1 знак равно Т ^ ψ ^ А † Т ^ − 1 Т ^ ЧАС А Б Т ^ − 1 Т ^ ψ ^ Б Т ^ − 1 знак равно ( U Т * ) А С ψ ^ С † ЧАС А Б * ( U Т ) Б Д ψ ^ Д знак равно ЧАС ^ знак равно ψ ^ С † ЧАС С Д ψ ^ Д
(Обратите внимание, что когда Т ^ действует на числовые параметры ЧАС А Б , он меняет знак я и производит комплексное сопряжение. Таким образом, мы получаем:

( U Т * ) А С ЧАС А Б * ( U Т ) Б Д знак равно ЧАС С Д

которые являются компонентами матричного уравнения:

U Т † ЧАС * U Т знак равно ЧАС

Случай дырки частицы (зарядовое сопряжение) ,

Здесь:

С ^ ЧАС ^ С ^ − 1 знак равно С ^ ψ ^ А † С ^ − 1 С ^ ЧАС А Б С ^ − 1 С ^ ψ ^ Б С ^ − 1 знак равно ( U С ) А Д ψ ^ Д ЧАС А Б ( U С * ) Б С ψ ^ С † знак равно − ψ ^ С † ( U С т ) Д А ЧАС А Б ( U С * ) Б С ψ ^ Д знак равно ЧАС ^ знак равно ψ ^ С † ЧАС С Д ψ ^ Д

(Здесь действие С ^ по числовым параметрам ЧАС А Б , тривиален, поскольку зарядовое сопряжение является унитарным оператором). Знак минус получается из-за изменения порядка ψ и ψ † которые являются переменными Грассмана. Последнее равенство эквивалентно матричному уравнению:

− U С т ЧАС ( U С ) * знак равно ЧАС т

Взяв комплексное сопряжение обеих частей, получим:

U С † ЧАС * U С знак равно − ЧАС † знак равно − ЧАС

Для симметрии частиц с дырками разве у вас не должен быть отрицательный знак в правой части?
С ^ ЧАС ^ С ^ − 1 знак равно − ЧАС ^
Для второй квантованной теории дырка частицы является симметрией, поэтому знака минус не существует, однако, когда действие на гамильтониан одной частицы уточняется, мы получаем знак минус. Это указано в прикрепленных ссылках.
Я добавил уточнения для обращения времени и симметрии частиц с дырками.
Не могли бы вы пояснить, почему выполняется уравнение (5) в статье, т.е. каким образом второй квантованный оператор Ψ А трансформируется. Это важно для следующего обсуждения в вашем ответе. Как я могу понять эту формулу?
Эти уравнения описывают групповые действия. Вы можете доказать этот факт, применив два последовательных преобразования.
Почему дырочная и киральная симметрия частицы называются симметриями?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v