Имеет ли спроецированное спиновое состояние гамильтониана среднего поля d+idd+idd+id на треугольной решетке симметрию обращения времени (TR)?

Рассмотрим следующее$d+id$гамильтониан среднего поля для модели со спином 1/2 на треугольной решетке

$$H=\sum_{<ij>}(\psi_i^\dagger\chi_{ij}\psi_j+H.c.)$$ , с $\chi_{ij}=\begin{pmatrix} 0 & \Delta_{ij}\\ \Delta_{ij}^* & 0 \end{pmatrix}$, фермионные спиноны $\psi_i=\binom{f_{i\uparrow}}{f_{i\downarrow}^\dagger}$, а параметры среднего поля $\Delta_{ij}=\Delta_{ji}$определенные на звеньях, имеют одинаковые величины, а их фазы различаются на $\frac{2\pi}{3}$друг с другом, относящимся к трем направлениям связи.

Мой вопрос в том, делает ли проецируемое спиновое состояние$\Psi=P\phi$имеют симметрию TR? Где$\phi$является основным состоянием среднего поля$H$, и$P$удаляет нефизические состояния с пустыми или дважды занятыми узлами.

Обратите внимание, что с точки зрения петли Уилсона вы можете проверить, что петли Уилсона $W_l=tr(\chi_{12}\chi_{23}\chi_{31})=0$на каждой треугольной плакетке, поэтому все петли Вильсона инвариантны относительно TR-преобразования$W_l\rightarrow W_l^*=W_l$. Таким образом, симметрия TR должна сохраняться.

С другой стороны, с точки зрения$SU(2)$калибровочное преобразование, если существуют$SU(2)$матрицы$G_i$такой, что$\chi_{ij}\rightarrow\chi_{ij}^*=G_i\chi_{ij}G_j^\dagger$, то проектируемое спиновое состояние$\Psi$является TR-инвариантом. Но пока не могу узнать те$SU(2)$матрицы$G_i$. Так может ли кто-нибудь разработать явную форму этих$SU(2)$матрицы$G_i$? Или их вообще нет ?

Заранее спасибо.

Кстати, я думаю, было бы неудобно явно писать форму состояния$\Psi$проверить симметрию TR.