Тензорные операторы

Question

Тензорные операторы

джошфизика

Мотивация.

Недавно я просматривал раздел 3.10 в квантовой механике Сакураи, в котором он обсуждает тензорные операторы, и мне захотелось более математически общего/точного обсуждения. Затем я просмотрел страницу Википедии, посвященную тензорным операторам, и тоже почувствовал себя неудовлетворенным. Вот почему

В этих обсуждениях по существу определяется индексированный набор операторов $T_{i_1\cdots i_k}$ быть «декартовым» тензорным оператором ранга $k$ при условии

U (р) Т_{я_{1} \dots я_{к}} U^{†} (р) знак равно р_{я_{1}}^{{Дж}_{1}} \dots р_{я_{1}}^{{Дж}_{1}} Т_{{Дж}_{1} \dots {Дж}_{к}}

$U(R)\, T_{i_1\cdots i_k}\, U^\dagger(R) = R_{i_1}^{\phantom{i_1}j_1}\cdots R_{i_1}^{\phantom{i_1}j_1}T_{j_1\cdots j_k}$ за каждое вращение

R \in S O (3)

$R\in\mathrm{SO}(3)$ куда

U

$U$ является некоторым унитарным представлением

S O (3)

$\mathrm{SO}(3)$ действующий в гильбертовом пространстве (обычно в пространстве некоторой физической системы, поведение которой при вращении мы хотим изучить). Аналогичным образом определяется «сферический» тензорный оператор ранга

n

$n$ как индексированный набор операторов

T_{q}^{(n)}

$T^{(n)}_{q}$ с

- n < q, q^{'} < n

$-n<q,q'<n$ для которого

U (р) Т_{д}^{(н)} U^{†} (р) знак равно \sum_{д^{'} знак равно - н}^{н} Д_{д^{'} д}^{(н)} (р) Т_{д^{'}}^{(н)}

$U(R)\,T_q^{(n)}\,U^\dagger(R) = \sum_{q'=-n}^n D_{q'q}^{(n)}(R)T_{q'}^{(n)}$ куда

D^{(n)}

$D^{(n)}$ является неприводимым представлением

S O (3)

$\mathrm{SO}(3)$ размера

n

$n$ .

Основываясь на этих стандартных определениях, я думаю, что можно определить что-то менее «координатно-зависимое» и распространить на представления любой группы, а не только $\mathrm{SO}(3)$ , следующим образом.

Определение кандидата . Пусть группа $G$ быть данным. Позволять $U$ быть унитарным представлением $G$ на гильбертовом пространстве $\mathcal H$ , и разреши $\rho$ быть представителем $G$ на конечномерном, вещественном или комплексном векторном пространстве $V$ . А $k$ -полилинейная, линейная оператор-функция $T:V^k\to \mathrm{Lin}(\mathcal H)$ называется тензорным оператором относительно пары представлений $U$ а также $\rho$ при условии
$\begin{aligned} U (грамм) Т (в_{1}, \dots, в_{к}) U (грамм)^{†} знак равно Т (р (грамм) в_{1}, \dots, р (грамм) в_{к}) \end{aligned}$ $\begin{align} U(g) T(v_1, \dots, v_k) U(g)^\dagger = T(\rho(g)v_1, \dots, \rho(g)v_k) \end{align}$ для всех $g\in G$ и для всех $v_1, \dots, v_k\in V$ .

Обратите внимание, что если основа $u_1, \dots, u_N$ за $V$ задано, и если мы определим компоненты $T_{i_1,\dots i_k}$ из $T$ в этой основе по

\begin{aligned} Т_{я_{1} \dots я_{к}} знак равно Т ({ты}_{я_{1}}, \dots, {ты}_{я_{к}}) \end{aligned}

$\begin{align} T_{i_1 \dots i_k} = T(u_{i_1}, \dots, u_{i_k}) \end{align}$ и если

ρ (g)_{i}^{j}

$\rho(g)_i^{\phantom ij}$ обозначает матричное представление

ρ (g)

$\rho(g)$ в этом базисе, то с помощью полилинейности определяющее свойство тензорного оператора можно записать следующим образом

\begin{aligned} U (грамм) Т_{я_{1} \dots я_{к}} U^{†} (грамм) знак равно р (грамм)_{я_{1}}^{{Дж}_{1}} \dots р (грамм)_{я_{к}}^{{Дж}_{к}} Т_{{Дж}_{1} \dots {Дж}_{к}} \end{aligned}

$\begin{align} U(g) T_{i_1\cdots i_k} U^\dagger(g) = \rho(g)_{i_1}^{\phantom {i_1}j_1}\cdots \rho(g)_{i_k}^{\phantom {i_k}j_k} T_{j_1\cdots j_k} \end{align}$ Таким образом, это определение немедленно воспроизводит приведенное выше определение декартова тензора, если мы возьмем

V = R^{3}

$V =\mathbb R^3$ ,

G = S O (3)

$G=\mathrm{SO}(3)$ , а также

ρ (R) = R

$\rho(R) = R$ , и аналогично для определения сферического тензора, если мы возьмем

V = C^{2 n + 1}

$V=\mathbb C^{2n+1}$ ,

G = S O (3)

$G=\mathrm{SO}(3)$ ,

ρ = D^{(n)}

$\rho = D^{(n)}$ а также

k = 1

$k=1$ .

Вопрос.

Является ли объект, который я только что определил, «правильной» формализацией/обобщением понятия тензорных операторов, используемых в физике; кажется, содержит понятие тензорного оператора, используемого в литературе по физике? Есть ли какая-нибудь литература о том виде объектов, который я здесь определяю? Я думаю, что ответ будет утвердительным, поскольку подобные вещи кажутся мне естественным обобщением, которое физик с математическим складом ума может захотеть изучить.

Тримок

За

S U (N)

$SU(N)$ , существует прямая связь с фундаментальными представлениями и антисимметричными тензорами. То же самое для

S O (N)

$SO(N)$ , (без учета спинориальных представлений). (Обратите внимание, что между этими изображениями существует двойственность благодаря символу Леви-Чивиты)

S P (N)

$SP(N)$ , существует прямая связь с фундаментальными представлениями и симметричными тензорами. Конечно, распространяясь на все представления, вы можете получить соответствие с другими тензорами. Например, присоединенное представление представляет собой смешанный тензор

T_{j}^{i}

$T^i_j$ . Для SU(N) представление

(20....)

$(20....)$ представляет собой симметричный бесследовый тензор.

джошфизика

@Trimok Спасибо за комментарий, но это не вопрос о тензорных представлениях групп, а скорее вопрос о понятии «тензорного оператора» в гильбертовом пространстве, его формализации и существовании существующей математической литературы. на такие вещи.

Петр Кравчук

Я просто хочу отметить, что ваше определение, возможно, слишком высокоуровневое. В том смысле, что вы на самом деле делаете следующее: вы выбираете представление

ρ

$\rho$ , затем вы «тензорируете» его к представлению

τ

$\tau$ воздействуя на тензоры, а затем определить объект, связанный с

τ

$\tau$ скорее, чем

ρ

$\rho$ . Вы могли бы также начать с

τ

$\tau$ . Мне кажется, что также полезно подумать о «линейных объектно-значных операторах», элементах

H o m (H, L \otimes H) = L \otimes H o m (H, H)

$\mathrm{Hom}(\mathcal{H},L\otimes\mathcal{H})=L\otimes\mathrm{Hom}(\mathcal{H},\mathcal{H})$ , куда

L

$L$ векторное пространство, на которое действует некоторое представление

τ

$\tau$ .

Тримок

Второй шанс .... Но не

ρ (g)

$\rho(g)$ всегда (если оно существует) фундаментальное (векторное) представление группы

G

$G$ ?. Я не понимаю твоего предложения с другим представлением, хотя я, вероятно, упустил какой-то момент....

джошфизика

@Trimok Согласны ли вы с тем, что мы можем определить тензорный оператор так, как это сделал я? Если так, то это просто обобщение, в котором

ρ

$\rho$ не ограничивается представлением

G

$G$ . Это своего рода смысл определения, которое я пытаюсь сделать здесь на самом деле. Я думаю, что это обобщение важно, потому что, например, в КТП мы могли бы быть склонны рассматривать объекты, индексы которых преобразуются в представления, отличные от некоторого векторного представления.

Ответы (7)

Тензорные операторы

За $SU(N)$ , существует прямая связь с фундаментальными представлениями и антисимметричными тензорами. То же самое для $SO(N)$ , (без учета спинориальных представлений). (Обратите внимание, что между этими изображениями существует двойственность благодаря символу Леви-Чивиты) $SP(N)$ , существует прямая связь с фундаментальными представлениями и симметричными тензорами. Конечно, распространяясь на все представления, вы можете получить соответствие с другими тензорами. Например, присоединенное представление представляет собой смешанный тензор $T^i_j$ . Для SU(N) представление $(20....)$ представляет собой симметричный бесследовый тензор.
@Trimok Спасибо за комментарий, но это не вопрос о тензорных представлениях групп, а скорее вопрос о понятии «тензорного оператора» в гильбертовом пространстве, его формализации и существовании существующей математической литературы. на такие вещи.
Я просто хочу отметить, что ваше определение, возможно, слишком высокоуровневое. В том смысле, что вы на самом деле делаете следующее: вы выбираете представление $\rho$ , затем вы «тензорируете» его к представлению $\tau$ воздействуя на тензоры, а затем определить объект, связанный с $\tau$ скорее, чем $\rho$ . Вы могли бы также начать с $\tau$ . Мне кажется, что также полезно подумать о «линейных объектно-значных операторах», элементах $\mathrm{Hom}(\mathcal{H},L\otimes\mathcal{H})=L\otimes\mathrm{Hom}(\mathcal{H},\mathcal{H})$ , куда $L$ векторное пространство, на которое действует некоторое представление $\tau$ .
Второй шанс .... Но не $\rho(g)$ всегда (если оно существует) фундаментальное (векторное) представление группы $G$ ?. Я не понимаю твоего предложения с другим представлением, хотя я, вероятно, упустил какой-то момент....
@Trimok Согласны ли вы с тем, что мы можем определить тензорный оператор так, как это сделал я? Если так, то это просто обобщение, в котором $\rho$ не ограничивается представлением $G$ . Это своего рода смысл определения, которое я пытаюсь сделать здесь на самом деле. Я думаю, что это обобщение важно, потому что, например, в КТП мы могли бы быть склонны рассматривать объекты, индексы которых преобразуются в представления, отличные от некоторого векторного представления.

Qмеханик · Answer 1

Определение-кандидат OP - это прямая транскрипция понятия тензорного оператора, используемого в физике (и, например, в разделе 3.10 Сакураи), в явно независимую от координат математическую конструкцию. Тензорные операторы используются, например, в теореме Вигнера-Экарта .

В этом ответе мы предлагаем следующее небольшое обобщение определения кандидата OP. Пусть даны следующие пять предметов:

Позволять $G$ быть группой.
Позволять $H$ быть комплексным гильбертовым пространством.
Позволять $\rho: G \to GL(V,\mathbb{F})$ быть групповым представлением .
Позволять $R:G \to B(H)$ быть представителем группы.
Позволять $T:V\to L(H;H)$ быть линейной картой.

Определение. Давайте позвоним $T$ для $G$ - эквивариантное отображение , если
$\begin{matrix} (*) & \begin{aligned} \forall грамм е грамм, в е В : \\ Т (р (грамм) в) знак равно & А г (р (грамм)) Т (в) \\ знак равно & р (грамм) \circ Т (в) \circ р (грамм)^{- 1} . \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} \forall g\in G, v\in V: &\cr T(\rho(g)v)~=~& {\rm Ad}(R(g))T(v)\cr~:=~&R(g)\circ T(v)\circ R(g)^{-1}. \end{align}\tag{*}$

Определение-кандидат OP можно рассматривать как частный случай определения (*). Например, если $\rho_0: G \to GL(V_0,\mathbb{F})$ является групповым представлением, то можно положить $\rho: G \to GL(V,\mathbb{F})$ в пункте 3 — представление тензорного произведения $\rho=\rho_0^{\otimes m}$ с векторным пространством

В знак равно В_{0}^{\otimes м} знак равно \underset{м факторы}{\underset{⏟}{В_{0} \otimes \dots \otimes В_{0}}} .

$V~=~V_0^{\otimes m}~=~\underbrace{V_0\otimes \ldots \otimes V_0}_{m \text{ factors}}.$

тензормен · Answer 2

Определение, предложенное joshphysics и уточненное Qmechanic, уже существует в литературе под тогдашним названием оператора представления . Это обсуждается, например, в « Теории групп и физике » Штернберга , а также в несколько более элементарном тексте Дживанджи «Введение в тензоры и теорию групп для физиков ».

Небольшое ОТ: как вы думаете, стоит ли изучать тензоры из классической книги Туллио Леви-Чивиты? Какую книгу посоветуете для начинающих?
@Larry: Первые несколько глав Jeevanjee представляют собой нежное введение в тензоры для тех, у кого есть образование в области физики (уровень бакалавриата). Для более общего, но все же очень доступного и педагогического введения в тензоры см. Краткий обзор тензорного анализа Симмондса .

Фредерик Брюннер · Answer 3

В первой главе книги Липкина « Группы Ли для пешеходов » дается метод обобщения неприводимых тензорных операторов (и другие особенности квантово-механической алгебры углового момента).

Утверждение состоит в том, что пока можно найти конечное число операторов $X_\rho$ удовлетворяющие коммутационным соотношениям, аналогичным операторам углового момента в квантовой механике, т.е.

[{Икс}_{р}, {Икс}_{о}] знак равно С_{р о}^{т} {Икс}_{т},

$[X_\rho,\;X_\sigma]=C^\tau_{\rho\sigma}X_\tau,$

всегда можно найти неприводимые тензорные операторы. Тогда можно по аналогии с $J_z$ , выберите один (или несколько) операторов диагональными в желаемом представлении. Кроме того, можно провести аналогию с лестничными операторами $J_x\pm iJ_y$ .

Для углового момента ( $SO(3)$ ) неприводимые тензорные операторы задаются соотношением

[{Дж}_{г}, Т_{к д}] знак равно д Т_{к д},

$[J_z,T_{kq}]=qT_{kq},$

куда $q$ количество компонентов и $k$ является рангом тензора. Есть $2k+1$ значения для $q$ , который колеблется от $-k$ к $k$ .

Аналогичные тензорные операторы можно построить, исходя из любой алгебры указанной выше формы. Обратите внимание, что ключевым объектом является алгебра Ли, а не группа Ли, которую можно сформулировать как группу непрерывных преобразований, заданную формулой

ψ^{'} знак равно (1 + я ϵ {Икс}_{р}) ψ .

$\psi^\prime=(1+i\epsilon X_\rho)\psi.$

Это не строгий ответ, так как я сам не разработал доказательство. Могу только порекомендовать вам прочитать книгу.

Фредерик спасибо за ответ, но это все еще не совсем то, что я ищу. Я знаю, что стандартное обращение с тензорными операторами можно сформулировать в терминах алгебры Ли, но изложенная вами процедура не учитывает тот факт, что я надеюсь найти что-то менее «координатно-зависимое», что характеризует конечное число операторов, о которых вы говорите как об одном объекте, во многом так же, как тензорные компоненты в алгебре можно рассматривать как компоненты полилинейных отображений.

Давид Бар Моше · Answer 4

Обобщение «сферических тензорных гармоник» квантовой механики на общий случай компактной группы Ли дается следующим образом: пусть $G$ быть компактной группой Ли и $H$ — замкнутая подгруппа, то гильбертово пространство функций, суммируемых с квадратом на $G/H$ (которые можно принять за собственные функции лапласиана Киллинга) является прямой суммой $G$ -представления, называемые «сферическими представлениями». Эти представления характеризуются наличием $H$ синглет. См., например, приложение B к книге Кампорези " ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ И ПРОПАГАТОРЫ НА ОДНОРОДНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ". Это определение обобщает (и названо в его честь) сферические гармоники квантовой механики. В таком случае $G=SU(2)$ , $H=U(1)$ а также $G/H = SU(2)/U(1)$ . Условие сферичности означает, что сферические гармоники могут быть только представлениями, содержащими $U(1)$ синглет, поэтому должен иметь целочисленный спин.

сюаньцзи · Answer 5

Если вам нужна более геометрическая точка зрения, эта ссылка — хорошее начало. Это первая глава книги « Применения классической физики » Блэндфорда и Торна. Преимущество формулировки состоит в том, что законы преобразования тензоров могут быть естественным образом выведены из законов преобразования векторов. Затем, если вы хотите, чтобы ваши тензоры преобразовывались определенным образом, просто измените законы преобразования ваших векторов.

Вот очень краткое резюме (для декартовых тензоров, т. е. наши векторы живут в евклидовом пространстве): $k$ тензор определяется как функция от $k$ векторы в вещественное число, например, тензор второго ранга может быть записан как

Т знак равно Т (_,_)

$T = T(\_,\_)$

обратите внимание, что вектор можно рассматривать как тензор ранга 1, $v(w) = v \cdot w$ , и, следовательно, тензор второго ранга также можно рассматривать как функцию от векторов к векторам, что, вероятно, имеет отношение к конкретному применению тензоров в Сакураи. Тензорное произведение определяется как произведение функций

С (_,_) \otimes Т (_,_,_) знак равно С (_,_) Т (_,_,_)

$S(\_,\_) \otimes T(\_,\_,\_) = S(\_,\_)T(\_,\_,\_)$

Как только вы выберете основу, вы можете написать компоненты тензора

Т знак равно Т_{я Дж к} е_{я} е_{Дж} е_{к}

$T = T_{ijk} e_i e_j e_k$

куда $i,j,k$ неявно суммируются. Отсюда можно вывести, как обычная формула для компонентов $T_{ijk}$ трансформироваться при вращении. В качестве примера предположим $T$ имеет ранг 2 и рассматривать его как функцию от векторов к векторам; то мы можем просмотреть $T_ijk$ как компоненты матрицы 3 на 3. Если $T$ несет вектор $v$ к $Tv$ , тогда $T'$ должен нести $Rv$ к $R(Tv)$ , так $T' = RTR^{-1}$ .

Это прямо обобщает вращение на группу Лоренца, а также может быть обобщено на произвольные диффеоморфизмы.
Вы просто описали стандартную формулировку тензоров как полилинейных карт, которая используется как в дифференциальной геометрии, так и в алгебре; Я хорошо осведомлен об этом. Обратите внимание, что мое определение-кандидат выше написано именно в терминах полилинейных карт, которые вы здесь описываете. Однако понятие, которое я хочу здесь определить, немного менее прямолинейно, чем то, что я боюсь.
В вашем вопросе я заметил, что $U$ а также $\rho$ ограничены тем, что оба являются представлениями одной и той же базовой группы, но в стандартной формулировке закон преобразования векторов ( $\rho$ ) полностью определяет закон преобразования тензоров ( $U$ ), поэтому мне было интересно, есть ли какое-то несоответствие. К сожалению, я недостаточно знаком с групповыми представлениями, чтобы быть уверенным.
@zodiac Обратите внимание, что $U$ является представлением группы $G$ на гильбертовом пространстве; это потенциально может быть совсем другой зверь, чем $\rho$ который является представлением $G$ на конечномерном векторном пространстве. В частности, его не обязательно порождать представлением $\rho$ так, как вы описываете.

ZeroTheHero · Answer 6

Тензорный оператор — это совокупность операторов, неприводимо преобразующихся при сопряжении элементами группы, т. е. удовлетворяющих в точности второму условию ОП. Отдельные элементы набора являются компонентами тензоров.

Неприводимость является не существенным, а дополнительным очевидным требованием при работе с группами, представления которых всегда вполне приводимы.

Это можно обобщить на любую группу — группа даже не обязательно должна быть непрерывной. Все, что вам нужно, это групповое действие над набором компонент тензорного оператора.

Стивен Блейк · Answer 7

Я не думаю, что определение кандидата правильное, потому что обозначение $T(v_{1},\ldots ,v_{k})$ подразумевает - по аналогии с математическими обозначениями тензоров - что $T(v_{1},\ldots ,v_{k})$ — оператор, который преобразуется тривиально; но оно явно не трансформируется тривиально, как показывает правая часть определения-кандидата. Тем не менее существует тензор, который тривиально преобразуется относительно группы G. Для простоты рассмотрим случай $k=1$ и, кроме того, предположим, что тензорные операторы $T_{i}$ являются эрмитовыми. До сих пор индексы эрмитовых операторов $T_{i}$ были подавлены в вопросе и ответе; подставляя индексы, мы имеем дело с обычными тензорами,

Т_{я Б}^{\bar{А}} .

$T_{i\ \ B}^{\ \bar{A}} \ .$ Предположим, что эти тензоры тривиально преобразуются относительно группы G. Другими словами,

[Д ({грамм}^{- Т})]_{я}^{к} [Д ({грамм}^{- †})]_{\bar{С}}^{\bar{А}} [Д ({грамм}^{- Т})]_{Б}^{Д} Т_{к Д}^{\bar{С}} знак равно Т_{я Б}^{\bar{А}}

$[D(g^{-T})]_{i}^{\ \ k}[D(g^{-\dagger})]^{\bar{A}}_{\ \ \bar{C}}[D(g^{-T})]_{B}^{\ \ D} T_{k\ \ D}^{\ \bar{C}}=T_{i\ \ B}^{\ \bar{A}}$ Умножьте обе части на

[D (g)]_{l}^{i}

$[D(g)]^{i}_{\ \ l}$ .

[Д ({грамм}^{- †})]_{\bar{С}}^{\bar{А}} [Д ({грамм}^{- Т})]_{Б}^{Д} Т_{л Д}^{\bar{С}} знак равно Т_{я Б}^{\bar{А}} [Д (грамм)]_{л}^{я}

$[D(g^{-\dagger})]^{\bar{A}}_{\ \ \bar{C}}[D(g^{-T})]_{B}^{\ \ D} T_{l\ \ D}^{\ \bar{C}}=T_{i\ \ B}^{\ \bar{A}}[D(g)]^{i}_{\ \ l}$ Подавление индексов эрмитовых операторов восстанавливает стандартное определение набора тензорных операторов.

T_{i}

$T_{i}$ ,

Д ({грамм}^{- †}) Т_{л} Д ({грамм}^{- 1}) знак равно Т_{я} [Д (грамм)]_{л}^{я}

$D(g^{-\dagger})T_{l}D(g^{-1})=T_{i}[D(g)]^{i}_{\ \ l}$ Другими словами, обычный тензор,

Т_{я Б}^{\bar{А}} .

$T_{i\ \ B}^{\ \bar{A}} \ .$ тривиально преобразуется под группой, и менее координатно-зависимое определение нужно исходить из того, что этот тензор преобразуется тривиально.

Еще одна небольшая оговорка заключается в том, что групповые матрицы $[D(g)]^{A}_{\ \ B}$ не обязательно унитарны; если индексы $A,B$ — лоренцевские спинорные индексы, групповые матрицы — определяющий представитель SL(2,C); они унитарны только в том случае, если преобразование Лоренца представляет собой пространственное вращение.

Спасибо за ответ, но я думаю, что вы могли неправильно понять обозначение. «Индексы тензоров» генерируются, в моих обозначениях, как и в случае с математикой, путем вычисления полилинейного отображения $T$ на $k$ -набор базисных элементов векторного пространства $V$ . Таким образом, для тензорного оператора ранга $k$ , это дает что-то вроде $T_{i_1\cdots i_k}$ как указано ниже определения; не должно быть лишних индексов. Цель не для каждого $T_{i_1\cdots i_k}$ чтобы быть тензорным оператором, это «набор» из них, который является тензорным оператором.
Предположим, мы используем $SU(n)$ и мы хотим получить тензорное произведение $2$ присоединенные представления. Присоединенное представление означает для объектов, на которые действует преобразование: $ф_{Дж}^{я} \to U_{к}^{я} (U^{†})_{Дж}^{л} ф_{л}^{к}$ $\phi^i_j \rightarrow U^i_k~(U^\dagger)_j^l~\phi^k_l$ Итак, тензорив это, мы получаем: $ф_{Дж}^{я} ф_{{Дж}^{'}}^{' я^{'}} \to U_{к}^{я} (U^{†})_{Дж}^{л} U_{к^{'}}^{я^{'}} (U^{†})_{{Дж}^{'}}^{л^{'}} ф_{л}^{к} ф_{л^{'}}^{к^{'}}$ $\phi^i_j \phi'^{i'}_{j'} \rightarrow U^i_k~(U^\dagger)_j^l~ U^{i'}_{k'}~(U^\dagger)_{j'}^{l'}~\phi^k_l ~\phi^{k'}_{l'}$ Но, по сути, это, очевидно, то же самое преобразование, что и для объекта $\Phi^{i i'}_{jj'}$ : $Φ_{Дж {Дж}^{'}}^{я я^{'}} \to U_{к}^{я} (U^{†})_{Дж}^{л} U_{к^{'}}^{я^{'}} (U^{†})_{{Дж}^{'}}^{л^{'}} Φ_{л л^{'}}^{к к^{'}}$ $\Phi^{i i'}_{jj'} \rightarrow U^i_k~(U^\dagger)_j^l~ U^{i'}_{k'}~(U^\dagger)_{j'}^{l'}~\Phi^{k k'}_{ll'}$
(продолжение.->...) И это то же преобразование, что и для тензорного представления: $ф^{я} ф^{я^{'}} ф_{Дж} ф_{{Дж}^{'}} \to U_{к}^{я} (U^{†})_{Дж}^{л} U_{к^{'}}^{я^{'}} (U^{†})_{{Дж}^{'}}^{л^{'}} ф^{к} ф^{к^{'}} ф_{л} ф_{л^{'}}$ $\phi^i \phi^{i'} \phi_j \phi_{j'} \rightarrow U^i_k~(U^\dagger)_j^l~ U^{i'}_{k'}~(U^\dagger)_{j'}^{l'}~\phi^k \phi^{k'} \phi_l \phi_{l'}$ Итак, наконец, хотя мы начинаем с тензорного произведения 2-х присоединенных представлений, это тот же закон, что и тензорное произведение 2-х фундаментальных и 2-х антифундаментальных (векторных) представлений.

Тензорные операторы

джошфизика

Тримок

джошфизика

Петр Кравчук

Тримок

джошфизика

Ответы (7)

Qмеханик

тензормен

Ларри Харсон

тензормен

Фредерик Брюннер

джошфизика

Давид Бар Моше

сюаньцзи

пользователь4552

джошфизика

сюаньцзи

джошфизика

ZeroTheHero

Стивен Блейк

джошфизика

Тримок

Тримок

Как найти тензорные компоненты всех весов представления SU(3)SU(3)SU(3), например шестимерного представления (2,0)(2,0)(2,0)?

Что такое «вектор SO (n) SO (n) SO (n)»?

Является ли SU(2)×U(1)=U(2)SU(2)×U(1)=U(2)SU(2)\times U(1) = U(2)?

Единственность выражения элемента группы Ли

Каков физический смысл двойной связности группового многообразия SO(3)SO(3)\rm SO(3)?

Теорема Вигнера-Экарта SU (3)

SU(3)SU(3)\mathrm{SU(3)} разложение 3⊗3¯=8⊕13⊗3¯=8⊕1\mathbf{3} \otimes \mathbf{\bar{3}} = \mathbf{8} \oplus \mathbf{1}?

Инвариантные тензоры в общем представлении и их физический смысл

Групповые обозначения ⊗⊗\otimes и ⊕⊕\oplus, используемые для представлений кварков и мезонов.

Применение нематричной группы Ли?