Лагранжева механика — правило коммутативности ddtδq=δdqdtddtδq=δdqdt\frac{d}{dt}\delta q=\delta \frac{dq}{dt}

Это следует из исчисления. Вот стандартный способ, которым это обрабатывается (я не буду подробно рассказывать о математических деталях, таких как предположения о гладкости).

Значение$\delta q$.

Учитывая параметризованный путь$q:t\mapsto q(t)$, рассмотрим деформацию пути, которую назовем$\hat q:(t, \epsilon)\mapsto \hat q(t,\epsilon)$удовлетворяющий$\hat q(t,0) = q(t)$. Параметр$\epsilon$– параметр деформации. Теперь мы можем определить вариацию$\delta q$пути$q$следующим образом:

$$\begin{align} \delta q(t) = \frac{\partial\hat q}{\partial \epsilon}(t,0) \tag{$\star$} \end{align}$$ Чтобы мотивировать это определение, обратите внимание, что мы можем расширить Тейлора $\hat q$в $\epsilon$спор о $\epsilon=0$следующим образом: $$\begin{align} \hat q(t,\epsilon) = \hat q(t,0) + \epsilon \frac{\partial\hat q}{\partial\epsilon}(t,0) + O(\epsilon^2) \end{align}$$ что, в свете определения $\delta q$выше можно переписать как $$\begin{align} \hat q(t,\epsilon) = q(t) + \epsilon\delta q(t) + O(\epsilon^2) \end{align}$$ так что мы признаем $\delta q(t)$как коэффициент Тейлора первого порядка деформации $\hat q$когда мы расширяем параметр деформации. Обратите внимание, что некоторые авторы-физики вместо этого определяют $\delta q$с дополнительным коэффициентом $\epsilon$с правой стороны от $(\star)$, но это всего лишь вопрос соглашения.

Свойство коммутативности.

Теперь, когда мы определили$\delta q$, мы обращаемся к коммутативности$\delta$а также$t$-производные. Что ж, теперь, когда все предельно ясно, все довольно просто. Во-первых, мы должны отметить, что$\dot q$это другая кривая, чем$q$, поэтому нам нужно определить его вариацию$\delta\dot q$. Стандартный способ сделать это — вызвать это изменение, используя ту же самую деформацию.$\hat q$. А именно, мы определяем

$$\begin{align} \delta\dot q(t) = \frac{\partial^2\hat q}{\partial \epsilon\partial t}(t,0) \tag{$\star\star$} \end{align}$$ то мы можем вычислить $$\begin{align} \frac{d}{dt}\delta q(t) = \frac{d}{d t}\left(\frac{\partial\hat q}{\partial \epsilon}(t,0)\right) = \frac{\partial^2\hat q}{\partial t\partial \epsilon}(t,0) = \frac{\partial^2\hat q}{\partial \epsilon\partial t}(t,0) = \delta\dot q(t) \end{align}$$ что является желаемым результатом.

Вопросы естественности.

В некотором смысле определения$(\star)$а также$(\star\star)$произвольны, но только в той мере, в какой любое определение всегда произвольно, потому что мы должны его выбрать. Они, однако, стандартны и довольно физически, если вы спросите меня.

Чтобы получить интуицию для$(\star)$, рассмотреть возможность$\hat q(t,\epsilon)$, и представьте, что вы исправляете некоторые$t_*$. Затем, когда мы меняемся$\epsilon$, получаем кривую$\epsilon\mapsto \hat q(t_*, \epsilon)$. Вариация$\delta q(t_*)$является производной этой кривой по$\epsilon$оценивается в$\epsilon = 0$, другими словами, это его касательный вектор в$\epsilon = 0$(думаю скорость). Этот касательный вектор просто указывает нам «направление», в котором исходная кривая$q$меняется в точке$t_*$когда мы применяем к нему деформацию. См. следующую диаграмму (надеюсь, она более ясна, чем то, что я только что сказал)

Вот еще один способ увидеть, что определение$(\star)$естественно, что также показывает, почему$(\star\star)$естественно. В классической механике мы часто рассматриваем систему, описываемую действием, являющимся интегралом локального лагранжиана;

$$\begin{align} S[q] = \int dt\,L(q(t), \dot q(t), t). \end{align}$$ Теперь предположим, что мы хотим определить, что происходит с $S[q]$когда мы деформируем путь $q$. Использование обозначений $\hat q$сверху для деформации это сводится к оценке $S[\hat q(\cdot,\epsilon)]$. Давайте вычислим это количество в первом порядке по эпсилону. Мы находим, что $$\begin{align} S[\hat q(\cdot, \epsilon)] &= \int dt\, L\left(\hat q(t,\epsilon), \frac{\partial\hat q}{\partial t}(t,\epsilon), t\right) \\ &= S[q] +\epsilon \int dt\left[\frac{\partial L}{\partial q}(q(t), \dot q(t), t)\delta q(t) + \frac{\partial L}{\partial \dot q}(q(t), \dot q(t), t)\delta \dot q(t)\right] + O(\epsilon^2) \end{align}$$ Я пропустил некоторые шаги здесь, но дело в том, что количества $\delta q$а также $\delta\dot q$которые мы определили в $(\star)$а также $(\star\star)$естественно возникают в контексте взятия вариации функционала пути $q$. В частности, вариация $\dot q$индуцированный изменением $q$как определено в $(\star\star)$объект, который возникает естественным образом, а не какая-то другая независимая вариация.

Однако см. ответ Qmechanic ниже, в котором указывается, что в других контекстах, например, при использовании принципа Даламбера, варианты$q$а также$\dot q$могут иметь не совсем то же значение, что и в контекстах, описанных выше, и в этих контекстах правило коммутативности может не выполняться.

I) Пункт исх. 1 аналогично тому, почему обобщенные позиции $q^j$и обобщенные скорости$\dot{q}^j$в лагранжиане$L(q,\dot{q},t)$являются независимыми переменными, см., например, этот пост Phys.SE. Менее запутанным обозначением, вероятно, было бы обозначение обобщенных скоростей$v^j$вместо$\dot{q}^j$.

Ссылка 1 относится к некоммутативной возможности

$$\tag{1} \delta v^j ~\neq~ \frac{d}{dt}\delta q^j$$

в контексте принципа Даламбера

$$\tag{2} \sum_{i=1}^N(m_i\ddot{\bf r}_i-{\bf F}^{(a)}_i) \cdot \delta {\bf r}_i~=~0,$$

куда${\bf r}_i$являются позиции$i$'-я точечная частица. Здесь$\delta q^j$а также$\delta v^j$являются бесконечно малыми виртуальными вариациями .

Логично допустить некоммутативное правило (1) в принципе Даламбера (2). (На самом деле принцип Даламбера в его основной форме (2) не зависит от$\delta v^j$.)

Принцип Даламбера (2) можно использовать, например, для доказательства центрального уравнения Лагранжа

$$\tag{3} \sum_j\left( \frac{dp_j}{dt} - \frac{\partial T}{\partial q^j}-Q_j \right) \delta q^j~=~0 , \qquad p_j~:=~\frac{\partial T}{\partial v^j},$$

и, в свою очередь, уравнения Лагранжа , не прибегая к принципу стационарного действия, ср. следующий Раздел II. Здесь$T$кинетическая энергия и$Q_j$является обобщенной силой. См. Также, например , этот ответ Phys.SE. исх. 1 и 2 перепишем центральное уравнение Лагранжа (3) в следующем виде

$$\tag{4} \frac{d}{dt}\sum_j p_j\delta q^j ~=~\underbrace{\delta T}_{\sum_j\left(\frac{\partial T}{\partial q^j}\delta q^j+ p_j~\delta v^j\right)} +\sum_j Q_j~\delta q^j +\sum_j p_j\left[\frac{d}{dt} \delta q^j-\delta v^j\right],$$

см. уравнение (1.3.39) в работе. 1 или экв. (6.4.11) в работе. 2. Эта форма (4) также включает$\delta v^j$.

II) Приведенный выше раздел I следует противопоставить функционалу действия

$$\tag{5} S[q] ~:=~ \int_{t_i}^{t_f}dt \ L(q(t),\dot{q}(t),t)$$

и принцип стационарного действия . Здесь$q^j:[t_i,t_f]\to\mathbb{R}$является (возможно, виртуальным) путем. Производная по времени$\dot{q}^j\equiv\frac{dq^j}{dt}$зависит от функции$q^j:[t_i,t_f]\to \mathbb{R}$.

Чтобы вывести уравнения Эйлера-Лагранжа из принципа стационарного действия, мы используем коммутативное правило

$$\tag{6} \delta \dot{q}^j ~=~ \frac{d}{dt}\delta q^j$$

решающим образом. Коммутативное правило (4) в этом контексте не подлежит обсуждению, а следует непосредственно из соответствующих определений бесконечно малой виртуальной вариации

$$\tag{7} \delta q^j~:=~q^{\prime j}-q^j,$$

$$\tag{8} \delta \dot{q}^j~:=~\dot{q}^{\prime j}-\dot{q}^j ~:=~\frac{dq^{\prime j}}{dt}-\frac{dq^j}{dt} ~\stackrel{\text{linearity}}{=}~\frac{d}{dt}(q^{\prime j}-q^j) ~\stackrel{(7)}{=}~\frac{d}{dt}\delta q^j,$$

между двумя соседними путями$q^j$а также$q^{\prime j}$.

Использованная литература:

1. Б. Д. Вуянович и Т. М. Атанакович, Введение в современные вариационные методы в механике и технике , (2004); стр.12.

2. А. И. Лурье, Аналитическая механика (Основы инженерной механики) , (2002); Раздел 1.7.