Фундаментальное представление SU(3)SU(3)SU(3) является комплексным представлением

Прежде всего, мы имеем дело с унитарными представлениями, так что$T^a$s всегда самосопряжены и представления имеют вид

$$U(v) = e^{i \sum_{a=1}^Nv^a T_a}$$ с $v \in \mathbb R^N$. Когда ты говоришь это $U$реально, вы просто имеете в виду, что представление сделано из очень реального , унитарного, $n\times n$матрицы $U$. Таким образом, условие $(T_a)^* = -T_a$эквивалентно требованию реальности (в собственном смысле).

Давайте перейдем к вашей паре вопросов.

(1) . Вы правы в своем вопросе:

ПРЕДЛОЖЕНИЕ . Унитарное конечномерное представление является комплексным (т. е. ни вещественным, ни псевдовещественным) тогда и только тогда, когда хотя бы один самосопряженный образующий$T_a$имеет собственное значение$\lambda$такой, что$-\lambda$не является собственным значением.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Предположим, что

$$(T_a)^* = -V T_a V^{-1}\tag{1}$$ для некоторой унитарной матрицы $V$и каждый $a=1,2,3,\ldots, N$. Так как мы также знаем, что $T_a$является самосопряженным, существует ортогональный базис собственных векторов $u_j^{(a)}\neq 0$, $j=1,\ldots, n$и собственные значения $\lambda_j^{(a)}$реальны. Следовательно: $$T_au_j^{(a)}= \lambda_j^{(a)} u_j^{(a)}\:.$$ Взяв комплексное сопряжение и используя (1) $$VT_aV^{-1}u_j^{(a)*}= -\lambda_j^{(a)} u_j^{(a)*}$$ чтобы $V^{-1}u_j^{(a)*}\neq 0$является собственным вектором $T_a$с собственным значением $-\lambda_j$. Мы заключаем, что $\lambda$является собственным значением тогда и только тогда, когда $-\lambda$равно (следовательно, если размерность пространства нечетна, $0$также обязательно должно быть собственным значением).

Предположим, наоборот , что для самосопряженной матрицы$T^a$его (действительные) собственные значения удовлетворяют ограничению, что$\lambda$является собственным значением тогда и только тогда, когда$-\lambda$является. В качестве$T^a$является самосопряженным, существует унитарная матрица такая, что:

$$T_a = U diag(\lambda_1, -\lambda_1, \lambda_2, -\lambda_2,..., \lambda_{n/2},-\lambda_{n/2}) U^{-1}$$ когда $n$четно, иначе на диагонали имеется еще один исчезающий последний элемент. Таким образом $$T^*_a = U^* diag(\lambda_1, -\lambda_1, \lambda_2, -\lambda_2,..., \lambda_{n/2},-\lambda_{n/2}) U^{-1*}$$ Заметь $U^*$унитарно, если $U$это так. Обозначим через $e_1,e_2, \ldots, e_n$ортонормированный базис собственных векторов $T^a$где матрица принимает вышеупомянутый диагональный вид. Если $W$является (действительной) унитарной матрицей, которая меняет местами $e_1$с $e_2$, $e_3$с $e_4$и так далее (отъезд $e_n$исправлено, если $n$странно), у нас есть это $$W diag(\lambda_1, -\lambda_1, \lambda_2, -\lambda_2,..., \lambda_{n/2},-\lambda_{n/2}) W^{-1} = - diag(\lambda_1, -\lambda_1, \lambda_2, -\lambda_2,..., \lambda_{n/2},-\lambda_{n/2})$$ и поэтому $$T^*_a = U^*W^{-1}(- UT_aU^{-1}) WU^{-1*} = -S T_a S^{-1}$$ с $S= U^*W^{-1}U$, который является унитарным из-за композиции унитарных матриц.

Мы можем заключить, что, как вы утверждаете, способ показать, что представление является сложным (т. е. оно не реально), состоит в том, чтобы показать, что по крайней мере одна порождающая матрица$T_a$имеет (отличающиеся от нуля) собственные значения, которые не входят в пары плюс-минус.

КЭД

(2) . Ввиду (1) если приведенный вами список собственных значений верен, рассматриваемое представление очевидно сложное.

N-мерное фундаментальное представление SU(N) для N больше двух является комплексным представлением, комплексно-сопряженное представление которого часто называют антифундаментальным представлением.

Таким образом, фундаментальное представление SU(3) является комплексным представлением.

(см. например: Вики )