Фиксация кулоновской калибровки и «нормализуемость»

Установка

Пусть греческие индексы суммируются по 0 , 1 , … , г и латинские индексы над 1 , 2 , … , г . Рассмотрим векторный потенциал А мю на р г , 1 определяется для калибровочного преобразования как

А мю → А мю ′ знак равно А мю + ∂ мю θ
для некоторой действительнозначной функции θ на р г , 1 . Обычное утверждение о фиксации кулоновской калибровки состоит в том, что условие
∂ я А я знак равно 0
служит для фиксации калибра в том смысле, что ∂ я А я ′ знак равно 0 только если θ знак равно 0 . Обычный аргумент в пользу этого (насколько мне известно) заключается в том, что ∂ я А я ′ знак равно ∂ я А я + ∂ я ∂ я θ , поэтому условия кулоновской калибровки на А мю а также А мю ′ дайте ∂ я ∂ я θ знак равно 0 , но единственное достаточно гладкое нормализуемое (интегрируемое по Лесбегу?) решение этого (лапласовского) уравнения на р г является θ ( т , Икс → ) знак равно 0 для всех Икс → е р г .

Мой вопрос

Каково, если таковое имеется, физическое обоснование ограничений гладкости и нормируемости калибровочной функции? θ ?

РЕДАКТИРОВАТЬ 26.01.2013 Мотивированный некоторыми комментариями, я хотел бы добавить следующий вопрос: есть ли физически интересные примеры, в которых калибровочная функция θ не может быть гладким и/или нормализуемым? Ссылки с более подробной информацией приветствуются. Любош упомянул, что, возможно, в таких случаях могут быть задействованы монополи или солитоны; Я хотел бы знать больше!

Ваше здоровье!

Хороший вопрос, который явно более общий, чем фиксация кулоновской калибровки!
@МайклБраун Спасибо! Да, я сейчас изучаю некоторые сугра, и этот аргумент, который использует исчезновение гладких, нормализуемых решений уравнения Лапласа, кажется, возникает довольно часто, например, когда кто-то хочет исключить определенные гармонические компоненты калибровочного поля.
Гладкость θ нужен, потому что А мю который модифицирован производными θ должен оставаться непрерывным - или гладким, но на один уровень более слабым требованием гладкости, чем для θ . Нормируемость просто означает, что θ никогда не расходится в объеме пространства и достаточно быстро убывает на бесконечности. Когда это не так, нужно было бы обсуждать монополи, инстантоны и т. д., но эти вещи не являются проблемой для калибровочной теории U (1).
Во всяком случае, "достаточная гладкость" и "нормализуемость" - это условия, которые часто требуются в физике, и физики не тратят много времени на такие вещи - это естественные физические условия по разным причинам. Математики часто одержимы этими математическими деталями — они нужны для строгих доказательств — но физики — нет. На самом деле физики действительно думают ровно наоборот, чем то, что вы предлагаете. Они предположили бы, что функции в физике достаточно гладкие и хорошо себя ведут, а если некоторые из них не таковы, они бы забеспокоились или насторожились.
@joshphysics: Чтобы сфокусировать ответы, возможно, вы могли бы указать пару ссылок, где вы столкнулись с таким использованием слова нормализуемый?
@LubošMotl Я понимаю, что физики обычно не беспокоятся о таких вещах, хотя, безусловно, есть простые случаи, когда важна неоднородность физически значимых функций; рассмотрим, например, разрыв электрического поля на поверхностном заряде. Спасибо за замечание о монополях, инстантонах и т. д.; Это интересно.
@Qmechanic Недавно я столкнулся с термином «нормализуемый» в этом контексте в тексте Д. Фридмана / А. Ван Пройена (довольно новом и, надо сказать, неплохом) о супергравитации; (стр. 69, средний абзац).
@joshphysics: Нашел .
Не уверен, что это то, что вам нужно, но повторно. ваше редактирование, вот ссылка , где Ян говорит о картине пучка монополей U (1). Уравнение 6 дает калибровочный потенциал, который определен только в переходной области (следовательно, нарушается глобальная гладкость/хорошо определенность), поскольку А мю является связностью на нетривиальном расслоении.
@twistor59 Спасибо. Я обязательно посмотрю на это.
Вопрос (v3) в основном таков: пересекает ли калибровочная орбита условие кулоновской калибровки не более одного раза?

Ответы (3)

Быстрый ответ, если позволите.

Тебе нужно θ быть гладким, так как вы хотите получить его. Итак, математика заставляет вас выбирать θ гладкий; плавный.

Теперь хитрость: выбор θ быть гладким означает, что вы всегда можете наложить А чтобы быть гладким, и использовать несколько патчей, связанных друг с другом калибровочным преобразованием. Тогда вы всегда должны обсуждать гладкий векторный потенциал... не так ли? Ну, вы должны, если вы хотите сделать правильную математику. Но физиков обычно это не волнует, и они выбирают сингулярный векторный потенциал, чтобы доказать, что конфигурация поля содержит монополь. Примером прототипа является вихрь, связанный с группой/алгеброй Ли U(1). См., например, статью Дирака:

Дирак, П.А.М. Квантованные сингулярности в электромагнитном поле . проц. Р. Соц. Лондон. сер. А 133 , 60–72 (1931)

где векторный потенциал сингулярен на северном или южном полюсе. Заметим, что в то время теория связности на расслоении еще не была открыта! Насколько мне известно, правильная математическая картина появилась в физике поздно. Вот красивое чтение

Ву, Т.Т. и Ян, К.Н. Концепция неинтегрируемых фазовых факторов и глобальная формулировка калибровочных полей. физ. Ред. D 12 , 3845–3857 (1975)

где они выбирают две параметризации окружности: одну для южного и одну для северного полюса, причем эти две параметризации векторного потенциала связаны с другой калибровочным преобразованием.

Как насчет нормализуемого тогда? Ну, я никогда не слышал об этом, и в основном все определяется в компактном пространстве (ях), где вряд ли имеет смысл навязывать норму.

Это означает, что в кулоновской калибровке калибровочная неоднозначность практически снимается, если вы имеете дело с «хорошей» А (что является вашей целью).

Однако это не означает, что вы имеете дело только с излучением (распространяющимися решениями). поперечный А отлична от нуля и для равномерно движущегося заряда.

На самом деле вам не нужна гладкость в целом, вам просто нужно С 2 функция перехода, чтобы лапласиан был четко определенным - без этого у вас нет четко определенного исходного поля, что явно идет вразрез с самой сутью введения калибровочных полей в первую очередь.

В классическом контексте нормируемость предназначена для того, чтобы сделать кулоновскую калибровку уникальной калибровкой, фиксирующей физически реалистичную ситуацию, когда заряды пространственно ограничены. Есть по крайней мере три причины, обосновывающие этот конкретный выбор полного крепления датчика:

  1. Это удовлетворяет физической интуиции, исходящей из локальности, что если источники локализованы, то калибровочные поля должны естественным образом падать до нуля на пространственной бесконечности.
  2. Это часто позволяет нам интегрировать по частям и отбрасывать поверхностные члены, что является уловкой, которая постоянно используется в E&M.
  3. Это дает простейшую функцию Грина для калибровочного поля, ведущую к простому кулоновскому уравнению ф ( Икс ) знак равно ∫ г 3 Икс ′ р ( Икс ′ ) | Икс − Икс ′ | и аналогично для векторного потенциала и электрического тока.

Я менее знаком с квантовой ситуацией, но знаю, что есть всякие тонкости с большими калибровочными преобразованиями в неабелевой калибровочной теории, инстантонах и т.п. Здесь неединственность кулоновской калибровки требует более внимательного рассмотрения границы условия.

Фиксация кулоновской калибровки и «нормализуемость»
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v