Всегда ли возможен выбор калибровки в электродинамике?

Правильная формула калибровочного преобразования должна быть

$$\begin{aligned} \mathbf A &\mapsto \mathbf A + \nabla \lambda \\ \mathbf V &\mapsto V - \frac{\partial\lambda}{\partial t}, \end{aligned}$$ не что-то с "gradL/dt". Кулоновская калибровка требует $\nabla\cdot\mathbf A=0$, а не "rotA = 0". Калибровка Лоренца требует $\nabla\cdot\mathbf A + \frac1{c^2}\frac{\partial V}{\partial t}=0$, а не "gradA+1/c^2 dV/dt".

Калибровка Кулона может быть выбрана путем решения уравнения Пуассона

$$\nabla^2 \lambda = -\nabla\cdot\mathbf A$$

Калибровка Лоренца может быть выбрана путем решения неоднородного волнового уравнения

$$\nabla^2 \lambda - \frac1{c^2}\frac{\partial^2\lambda}{\partial t^2} = -\nabla\cdot\mathbf{A} - \frac1{c^2}\frac{\partial{V}}{\partial{t}}$$

(Подставьте преобразованные потенциалы в условия, чтобы получить УЧП)

Существование решений этих УЧП гарантируется до тех пор, пока исходные термины (вещи в RHS) «хорошо себя ведут» (например,$\nabla\cdot\mathbf A$должен расти медленнее, чем$1/r$в уравнении Пуассона)

Я не уверен, что понял ваш вопрос. Смотрите, все лагранжианы E&M имеют «встроенную» калибровочную свободу в том смысле, что вы можете переписать$E$и$B$поля и лагранжиан не изменится. Поэтому у вас всегда есть возможность сделать выбор калибра, у вас всегда есть такая свобода.

Кстати говоря, вспомните, что говорит теорема Гельмгольца : вы всегда можете разложить «хорошо работающее» векторное поле на сумму ротора и градуированной части. И это именно то, что вы делаете с$E$и$B$поля в уравнениях Максвелла. Итак, теперь у вас возникает вопрос: что происходит, когда вы применяете калибровочное преобразование в этом контексте? То есть, что такое$\nabla\times\nabla$и$\nabla\cdot\nabla$? Что это означает для$A$(какое уравнение вы получите для вектор-потенциала)?

Это должно вас завести...

Википедия по фиксации калибровки, кажется, подразумевает, что фиксация калибровки всегда работает в абелевой теории Янга-Миллса, стандартным примером которой является электродинамика. Но это не всегда работает в неабелевой теории Янга-Миллса. Там вы должны ограничиться подмногообразиями базового пространства-времени, чтобы получить фиксацию калибровки. Обычно к ним относятся термины Грибовский район и тому подобное.

Я не уверен, что Википедия убедила меня в абелевой теории, поскольку фиксация калибровки - это просто способ выбора глобального сечения. Но выбор глобального участка основного пучка просто показывает, что он тривиален, т.е. раскручен. Не все абелевы главные расслоения тривиальны. Например, магнитный монополь Дирака не тривиален. Поэтому и здесь полезна технология Грибовских областей и горизонтов и т.д.

Так как, мой подобный вопрос был закрыт, отвечу здесь.

Калибровочное преобразование

$$\mathbf {A} \rightarrow \mathbf {A} +\nabla \lambda,$$

$$\varphi \rightarrow \varphi - \frac {\partial \lambda}{\partial t},$$ (где$\lambda=\lambda(\vec {r},t)$— произвольная скалярная функция координат$\mathbf{r}$и время$t$) не меняют вида уравнений Максвелла и, следовательно, допустимы с физической точки зрения.

На практике никто не выбирает специальную функцию$\lambda(\vec{r}, t)$per se, хотя один из них всегда неявно предполагается. Но описанная неоднозначность потенциалов с математической точки зрения говорит нам о том, что всегда можно выбрать один, удовлетворяющий одному произвольному дополнительному условию. Один , так как мы можем произвольно выбрать только одну функцию$\lambda(\vec{r}, t)$.

Например, всегда можно выбрать потенциалы поля так, чтобы скалярный потенциал$\varphi = 0$(равно нулю). Сделать векторный потенциал равным нулю невозможно, так как выполняется условие$\mathbf{A} = 0$есть три дополнительных условия (для трех компонент$\mathbf{A}$).

Другой возможный способ - выбрать один произвольный дополнительный

1. Кулоновский датчик :$\mathrm{div}\mathbf{A}' = 0$. Если произвольную функцию можно выбрать так, чтобы она удовлетворяла условию$\nabla^2 \lambda= -\nabla \cdot \mathbf{A}$. Решая уравнение, можно получить следующую функцию.

---

На практике они поступают следующим образом: представьте, что мы знаем, что данное$\mathbf{A}$решает уравнение Максвелла. Мы всегда можем найти калибровочное преобразование, которое преобразует его в новое решение.$\mathbf{A}'$которая удовлетворяет условию калибровки Лоренца

$$\mathrm{div}\mathbf{A}' = 0.$$ Поскольку мы всегда можем сделать это, а не навязывать это условие после решения уравнений Максвелла, мы можем потребовать, чтобы мы искали решения этого типа $$\mathrm{div}\mathbf{A} = 0.$$ прежде чем мы решим это уравнение.

---

2. Для манометра Лоренца $\mathrm{div}\,\mathbf{A}' + {1 \over c^2}{\partial \mathbf{\varphi}' \over \partial t} = 0$, можно выбрать произвольную функцию так, чтобы она удовлетворяла условию$\Box^2 \lambda= - \nabla \mathbf{A} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial \varphi}{\partial t}$.

Точно так же, как разумный выбор координат может облегчить решение проблемы, мы обнаружим, что разумный выбор датчика может облегчить поиск решений.