Дифференциация векторного произведения

Существует тождество для производной векторного произведения двух вектор-функций$\mathbf A(t)$и$\mathbf B(t)$;

$$\begin{align} \frac{d}{dt} (\mathbf A \times \mathbf B) = \frac{d\mathbf A}{dt}\times \mathbf B + \mathbf A\times \frac{d\mathbf B}{dt} \end{align}$$ Используя это правило с расчетом, который вы рассматриваете, мы получаем $$\begin{align} \frac{d}{dt}\left(m_i\mathbf r_i\times \frac{d\mathbf r_i}{dt}\right) = m_i \frac{d\mathbf r_i}{dt}\times \frac{d\mathbf r_i}{dt} + m_i\mathbf r_i\times \frac{d^2\mathbf r_i}{dt^2} = m_i\mathbf r_i\times \frac{d^2\mathbf r_i}{dt^2} \end{align}$$ где на последнем шаге мы использовали тот факт, что векторное произведение любого вектора на самого себя равно нулю.

1. Векторное произведение вектора$\vec{a}$сам с собой всегда равен нулю:$\vec{a} \times \vec{a} = 0$

2. Для двух гладких вектор-функций$\vec{a},\vec{b} \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}^3$действует правило произведения:

$$\frac{d}{dt} (\vec{a} \times \vec{b}) = \frac{d}{dt} \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \frac{d}{dt} \vec{b}$$

Вы можете увидеть это, например, если выписать компоненты (тогда это просто обычное правило продукта).

Возьмем, к примеру, первый компонент:

$$\begin{align} \left (\frac{d}{dt} (\vec{a} \times \vec{b}) \right)_1 &= \frac{d}{dt} (a_2b_3 - a_3 b_2)\\ &= \frac{d}{dt}(a_2b_3) - \frac{d}{dt}(a_3 b_2)\\ &= \left(\frac{d}{dt}a_2\right) b_3 + a_2 \frac{d}{dt} b_3 - \left(\frac{d}{dt}a_3\right) b_2 - a_3 \frac{d}{dt} b_2\\ &= \left(\frac{d}{dt}a_2\right) b_3 - \left(\frac{d}{dt}a_3\right) b_2 + a_2 \frac{d}{dt} b_3 - a_3 \frac{d}{dt} b_2 \\ &= \left(\frac{d}{dt} \vec{a} \times \vec{b}\right)_1 + \left(\vec{a} \times \frac{d}{dt} \vec{b}\right)_1 \end{align}$$

Объединив это, вы получите результат:

$$\frac{d}{dt}\left(m_i \vec{r}_i\times \frac{d \vec{r}_i}{dt}\right) = m_i \frac{d \vec{r}_i}{dt}\times \frac{d \vec{r}_i}{dt} + m_i \vec{r}_i\times \frac{d^2\vec{r}_i}{dt^2} = m_i\vec{r}_i\times \frac{d^2\vec{r}_i}{dt^2}$$