Угловой момент и кросс-произведение

Да, обе формулы одинаковы в классической механике и для одиночной частицы или эквивалента, что имеет место. Это потому что

$\vec{L}=\vec{r}\times \vec{p}=\vec{r}\times(m\vec{v})=m(\vec{r}\times \vec{v})$

так как векторное произведение линейно по обеим компонентам (можно извлечь скаляры снаружи и ввести их внутрь одного из множителей).

Что касается вашего примера, то он неверен, потому что вы забыли векторы! Пусть шляпа ^ обозначает единичный вектор в этом направлении, т.е.$\hat{r}$- единичный вектор в радиальном направлении и$\hat{v}$- единичный вектор в направлении скорости.

Тогда вы можете написать

$\vec{L}=5 kg \cdot (2m\cdot \hat{r})\times (4 m/s \ \ \hat{v})$

а затем извлеките скаляры снаружи:

$\vec{L}=5 kg\cdot 2m \cdot 4 m/s \cdot (\hat{r}\times \hat{v})$

Так что да, вы можете сделать умножение одинаково, но не забывая о векторе. Конечно, это векторное произведение также является единичным вектором, перпендикулярным обоим$r$и$v$в то же время при условии, что$\vec{r}\perp\vec{v}$(иначе результат$\sin \theta$раз больше вектора. Давайте назовем это$\hat{n}$. У вас есть

$\vec{L}=(5 kg\cdot 2m \cdot 4 \frac{m}{s}) \cdot \sin \theta \ \hat{n}\\$

и

$\\ |\vec{L}|=5 kg\cdot 2m \cdot 4 \frac{m}{s}\cdot \sin \theta \ $

Обе формулы верны .

Всякий раз, когда вы сталкиваетесь с трудностями в формулах, в первую очередь следует обратиться к анализу размерностей. Размер$L$является$[M L^2 T^{-1}]$.

Размерность RHS второй формулы:$[L]×[M]×[L T^{-1}] = [M L^2 T^{-1}]$, что является размерностью LHS Итак, вторая формула верна.

В векторной записи вторая формула на самом деле$\vec{L} = m(\vec{r} × \vec{v})$. Это получается из первой формулы простым вычитанием массы из перекрестного произведения, поскольку масса является скалярной величиной.

Как заявил @WrichikBasu в своем ответе, правильная формула для углового момента:

$$\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = \vec{r} \times (m \vec{v}) = m ( \vec{r} \times \vec{v} )$$

Сказанное справедливо для системы частиц, каждая из которых расположена$\vec{r}_i$от начала координат с полным угловым моментом относительно начала координат

$$\vec{L}_{\rm origin} = \sum_i m_i (\vec{r}_i \times \vec{v}_i )$$

После долгих математических вычислений вышеприведенное оценивается как

$$\vec{L}_{\rm origin} = {\rm I}_C \omega + \vec{r}_C \times \vec{p} = {\rm I}_C \omega + \vec{r}_C \times m\vec{v}_C$$ где $\vec{r}_C$- положение центра масс, $\vec{v}_C$скорость центра масс и ${\rm I}_C$момент инерции относительно центра масс.