Лоренц-инвариантность метрики Минковского

Я считаю, что может быть полезно определить следующие понятия (я не буду здесь слишком формальным по педагогическим соображениям):

Любое событие можно описать с помощью четырех действительных чисел, которые мы принимаем за: момент времени, когда оно происходит, и положение в пространстве, где оно происходит. Мы называем эти четыре числа координатами события. Мы собираем эти числа в кортеж, который мы называем$x\equiv (t,\boldsymbol r)$. Эти числа, конечно, зависят от того, какую систему отсчета мы используем: мы могли бы, например, использовать другое начало координат для$t$или другую ориентацию$\boldsymbol r$. Это означает: для$x$чтобы иметь смысл, мы должны выбрать определенную систему отсчета. Назови это$S$Например.

Если бы мы выбрали другую рамку, скажем$S'$, компоненты одного и того же события будут$x'$, т. е. четыре действительных числа, принципиально отличных от предыдущих. Мы объявляем новую систему отсчета инерциальной тогда и только тогда, когда$x'$и$x$связаны через

Мы определяем вектор как любой набор из четырех действительных чисел, такой что, если его компоненты в$S$находятся$v=(v^0,\boldsymbol v)$, затем в$S'$его компоненты должны быть

Например, координаты$x$события по определению являются вектором, поскольку$(1)$. Примеров векторов в физике больше, например, электромагнитный потенциал , или плотность тока , импульс частицы и т.д.

Оказывается, действительно полезно определить следующую операцию для векторов: если$u,v$два вектора, то мы определяем

Мы определяем операцию$\cdot$через компоненты векторов, но мы знаем, что эти компоненты зависят от системы отсчета, поэтому, если$\cdot$должна быть четко определенной операцией, мы должны иметь

Это отношение$(4)$не будет верным в общем случае, а только для некоторых матриц$\Lambda$. Таким образом, мы объявляем, что матрицы$\Lambda$могут быть только те, которые делают$(4)$быть правдой. Это ограничение на$\Lambda$: только некоторые матрицы будут представлять изменения системы отсчета. Обратите внимание, что в чистой математике любая обратимая матрица определяет изменение базиса. В физике только подмножество матриц является приемлемым изменением базиса.

Итак, какие возможны$\Lambda$это удовлетворяет$(4)$? Что ж, самый простой способ изучить это — переписать$(3)$используя другое обозначение: определить

Это просто матрица, которая упростит наше обсуждение. Мы не должны пытаться найти глубокий смысл для$\eta$(оказывается много геометрии за спиной$\eta$, но это сейчас не важно). С использованием$\eta$, это легко проверить$(3)$можно записать как

Это отношение, которое определяет$\Lambda$: любое возможное изменение системы отсчета должно быть таким, чтобы$(7)$удовлетворен. Если это не так, то$\Lambda$не может связать два разных фрейма. Это отношение на самом деле не является утверждением того, как$\eta$преобразования (как вы говорите в ОП), но на самом деле ограничение$\Lambda$. Принято говорить, что$\eta$трансформируется как$(7)$, что будет объяснено через мгновение. А пока просто подумайте$(7)$каковы возможные матрицы$\Lambda$.

На этом этапе полезно ввести индексную нотацию . Если$v$является вектором, мы называем его компоненты$v^\mu$, с$\mu=0,1,2,3$. С другой стороны, запишем компоненты смены фреймов$\Lambda^\mu{}_\nu$. С этим обозначением$(2)$можно записать как

Кроме того, используя обозначение индекса, произведение двух векторов можно записать как

Обозначение индекса полезно, потому что оно позволяет нам определить следующее понятие: тензор — это объект с несколькими индексами, например$A^{\mu\nu}$. Но не всякий объект с индексами является тензором: компоненты тензора должны изменяться в разных системах отсчета так, чтобы они были связаны через

Мне не нравится слишком часто использовать индексную нотацию:$v'=\Lambda v$легче, чем$v'^\mu=\Lambda^\mu{}_\nu v^\nu$, вам не кажется?. Но иногда приходится использовать индексную запись, потому что матричная запись невозможна: при использовании тензоров с тремя и более индексами нельзя использовать матрицы. Тензоры с одним индексом — это просто векторы. Иногда вы будете слышать, что матрицы — это тензоры с двумя индексами, что не совсем так: если вы помните из своего курса линейной алгебры, вы знаете, что при замене базиса матрицы преобразуются как$M\to C^\mathrm{T} M C$, что похоже на$(10)$в случае одного верхнего/одного нижнего индекса. Следовательно, матрицы похожи на тензоры с одним верхним/одним нижним индексом. Это причина, по которой мы написали$\Lambda$в качестве$\Lambda^\mu{}_\nu$. Это матрица, но это также и тензор.

Также,$(7)$очень похоже$(10)$, правильно? Вот почему люди говорят$(7)$выражает свойства преобразования$\eta$. Хотя и не ложно, я вам рекомендую не относиться к этому слишком серьезно: формально это правильно, но в принципе$\eta$— это просто набор чисел, который упрощает нашу запись скалярных произведений. Оказывается, вы можете думать об этом как о тензоре, но только апостериорно . В принципе, он не определяется как тензор, но оказывается, что он есть. На самом деле это тривиальный тензор (единственный!), компоненты которого одинаковы во всех системах отсчета (по определению). Если бы вы вычислили, из каких компонентов состоит$\eta$в другой системе отсчета, используя$(10)$, вы обнаружите, что они одинаковы. Это утверждается, поскольку метрика является инвариантной . Фактически мы определяем его как инвариантный. Определим, что такое смена системы отсчета через ограничение$\eta$будучи инвариантным. Нет смысла пытаться доказать$\eta$инвариантно, так как это определение.$(7)$на самом деле не доказывает$\eta$является инвариантным, но на самом деле определяет, что такое изменение ссылки.

Для полноты я хотел бы дать следующие определения:

• Мы говорим, что объект инвариантен , если он принимает одно и то же значение в любой системе отсчета. Вы можете проверить это, если$v$является вектором, то$v\cdot v$принимает одно и то же значение на любом кадре, т. е.$v^2$является инвариантным.

• Мы говорим, что объект является ковариантным , если он не принимает одно и то же значение в каждой системе отсчета, но различные значения связаны четко определенным образом: компоненты ковариантного объекта должны удовлетворять$(10)$. Это означает, что тензоры ковариантны по определению.

Например, вектор не является инвариантным, поскольку его компоненты зависят от системы отсчета. Но поскольку векторы являются тензорами, они ковариантны. Нам очень нравятся инвариантные объекты, потому что они упрощают множество проблем. Нам также нравятся ковариантные объекты, потому что, хотя эти объекты зависят от фрейма, они трансформируются четко определенным образом, что упрощает работу с ними. Вы поймете это лучше после того, как решите много задач в СТО и ОТО: в конце концов, вы будете благодарны за ковариантные объекты.

Итак, что это значит для$\eta$быть инвариантным? Это означает, что его компоненты одинаковы в каждой (инерциальной) системе отсчета. Как мы это докажем? мы на самом деле не можем, потому что мы определяем это как истину. Как мы можем доказать$\eta$единственный инвариантный тензор? Мы не можем, потому что на самом деле это не так. Наиболее общий инвариантный тензор пропорционален метрике. Доказательство: пусть$N^\mu{}_\nu$— инвариантный тензор по определению. Тогда, поскольку это тензор, мы имеем

Но мы также должны иметь$N'=N$чтобы он был инвариантным. Это означает$\Lambda^\mathrm T N\Lambda=N$. Умножить справа на$\eta \Lambda^\mathrm{T} \eta$и использовать$(7)$получить$[N,\Lambda^\mathrm{T}]=0$. По лемме Шура$N$должны быть пропорциональны тождеству. КЭД.

А как насчет символа Леви-Чивиты ? нам обычно говорят, что это также инвариантный тензор, что на самом деле не так: он инвариантен, но это не тензор, это псевдотензор . В SR это не удовлетворяет$(10)$для любого$\Lambda$, но только для определенного подмножества матриц$\Lambda$(проверьте правильную ортохронную группу Лоренца), а в ОТО это тензорная плотность (обсуждается во многих постах на SE).

Доказательство ковариантности символа LC обычно формулируется следующим образом (вам придется заполнить детали): определение определителя матрицы можно сформулировать как$\text{det}(A)\varepsilon^{\mu\nu\sigma\rho}=\varepsilon^{abcd}A^\mu{}_a A^\nu{}_b A^\rho{}_c A^\sigma{}_d$. Собственная группа Orthochronus Lorentz состоит из подмножества матриц с единичным определителем, т. е.$\text{det}(\Lambda)=1$. Если вы используете это вместе с определением$\text{det}$, Вы получаете$\varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma}=\varepsilon^{abcd}\Lambda^\mu{}_a\Lambda^\nu{}_b\Lambda^\rho{}_c\Lambda^\sigma{}_d$, что то же самое, что$(10)$для объекта$\varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma}$. Это доказывает, что при ограничении этим подмножеством группы Лоренца символ Леви-Чивиты является тензором.

Повышение и понижение индексов : это то, что обычно делается более важным, чем оно есть на самом деле. ИМХО, мы можем полностью сформулировать SR и GR, даже не говоря о повышении и понижении индексов. Если вы определяете объект с поднятыми индексами, вы должны оставить его индексы там, где они есть. В общем, нет веской причины, почему кто-то захочет переместить индекс. При этом я объясню, что это такое, просто для полноты картины.

Первым шагом является определение обратной метрики. Используя матричную нотацию, метрика является обратной самой себе:$\eta \eta=1$. Но мы хотим использовать обозначение индекса, поэтому мы определяем другой объект, называем его$\zeta$, с компонентами$\zeta^{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}$. С этим вы можете проверить, что$\eta\eta=1$можно записать как$\eta_{\mu\nu}\zeta^{\nu\rho}=\delta^\mu_\rho$, куда$\delta$является символом Кронекера. Теперь,$\delta$это просто символ, упрощающий запись. Обратите внимание, что$\zeta$не является стандартным обозначением, но мы сохраним его для следующих нескольких абзацев.

(Люди обычно используют одну и ту же букву для обоих$\eta$и$\zeta$, и писать$\eta_{\mu\nu}=\eta^{\mu\nu}$; мы обсудим, почему в данный момент. А пока обратите внимание, что это разные объекты с разной структурой индекса:$\eta$имеет более низкие индексы и$\zeta$имеет верхние индексы)

Мы можем использовать$\eta$и$\zeta$повышать и понижать индексы, которые мы сейчас определим.

Допустим, у вас есть определенный тензор$A^{\mu\nu}{}_\rho$. Мы хотим определить, что значит поднять индекс$\rho$: это означает определение нового объекта$\bar A$с компонентами

С использованием$(10)$вы можете доказать, что этот новый объект на самом деле является тензором. Обычно мы опускаем планку$\bar{\phantom{A}}$и писать$A^{\mu\nu\rho}$. На самом деле мы не должны этого делать: эти объекты разные. Мы можем отличить их от размещения индекса, поэтому мы ослабляем запись, не записывая черту. В этом посте мы сохраним планку по педагогическим соображениям.

Аналогичным образом можно понизить индекс, например$\mu$index: мы определяем другой объект$\tilde A$, с компонентами

Этот новый объект также является тензором. Три объекта$A,\bar A,\tilde A$на самом деле разные, но мы можем отличить их по размещению индексов, поэтому мы можем опустить тильды и бары. Пока не будем.

Мы обсудим полезность этих операций чуть позже. А пока обратите внимание, что если вы поднимете оба индекса метрики, вы получите

Имея это в виду, мы получаем следующий важный результат:

Итак, какая польза от этих операций? например, что мы получим, если понизим индекс вектора$v$? Итак, мы получили новый тензор, но это не вектор (можете проверить, что$(2)$не выполняется), поэтому мы называем его ковектором . Это не очень важно в СТО, но в других разделах физики векторы и ковекторы действительно очень разные.

Итак, с чем связан ковектор$v$? Назовите этот ковектор$\bar v$. Его составляющие будут$\bar v_\mu=\eta_{\mu\nu} v^\nu$по определению. Почему это полезно? Ну, одна из причин в том, что при понижении индекса скалярное произведение$\cdot$превращается в стандартный матричный продукт:

Довольно интересен следующий факт: мы знаем, что если мы поднимем оба индекса метрики, то снова получим метрику. Но что мы получим, если поднимем к метрике только один показатель? то есть что такое$\bar \eta$?, или, говоря иначе, что такое$\eta^\mu{}_\nu$? Ну, по определению, это

В качестве примечания: вы (как и многие люди) пишете простые числа на индексах, а я (как и многие другие) пишу простые числа на тензорах. ИМХО, последнее соглашение является лучшим, потому что меняется тензор, а не индексы. Например, то, что вы написали$\eta_{\mu'\nu'}=\eta_{\mu\nu}$выглядит лучше, когда написано$\eta'_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}$, поскольку$\mu\nu$компоненты обоих объектов равны, а не$\mu'$равно$\mu$компонента (что на самом деле не имеет смысла и приводит к несоответствию индексов).

Ты прав.$\eta_{\mu\nu}\rightarrow \eta_{\mu^{'}\nu^{'}}=\Lambda^{\alpha}_{\,\,\mu^{'}}\eta_{\alpha\beta}\Lambda^{\beta}_{\,\,\nu^{'}}$просто говорит, что метрика преобразуется как тензор, как и следовало ожидать от ее индексов; в этом нет ничего особенного. Инвариантность означает, что при преобразовании вы получаете ту же матрицу:$\eta_{\mu'\nu'} = \eta_{\mu\nu}$. В матричных обозначениях мы требуем, чтобы$\eta = \Lambda^T \eta \Lambda$. Это неверно для произвольного тензора.